5、
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，則
Sn＝?·Δx
＝·
＝
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5
＝×＋5＝－.
(3)取極限
?(3x＋2)dx＝ Sn＝ ＝.
反思與感悟 利用定義求定積分的步驟
跟蹤訓(xùn)練1 利用定積分的定義計(jì)算?(x＋2)dx.
考點(diǎn) 定積分的概念
題點(diǎn) 定積分的概念
解 令f(x)＝x＋2.
將區(qū)間[2,3]平均分為n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δxi＝，
[xi－1，xi]＝，i＝1,2，…，n.
取ξi＝xi＝2＋，則f(ξi)＝2＋＋2＝4＋.
則f(ξi)Δxi＝ ·
＝ ＝n·＋
＝4＋.
∴?(x＋2)dx＝ ＝
6、.
類(lèi)型二 利用定積分的性質(zhì)求定積分
例2 已知?x3dx＝，?x3dx＝，?x2dx＝，?x2dx＝，求下列各式的值．
(1)?(3x3)dx；
(2)?(6x2)dx；
(3)?(3x2－2x3)dx.
考點(diǎn) 定積分性質(zhì)的應(yīng)用
題點(diǎn) 定積分性質(zhì)的應(yīng)用
解 (1)?(3x3)dx＝3?x3dx
＝3
＝3×＝12.
(2)?(6x2)dx＝6?x2dx
＝6
＝6×＝126.
(3)?(3x2－2x3)dx＝?(3x2)dx－?(2x3)dx
＝3?x2dx－2?x3dx＝3×－2×＝－.
反思與感悟 若函數(shù)f(x)的奇偶性已經(jīng)明確，且f(x)在[－a，a]上
7、連續(xù)，則
(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則?f(x)dx＝0.
(2)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則?f(x)dx＝2?f(x)dx.
跟蹤訓(xùn)練2 若f(x)＝
且?(2x－1)dx＝－2，?e－xdx＝1－e－1，求?f(x)dx.
考點(diǎn) 定積分性質(zhì)的應(yīng)用
題點(diǎn) 定積分性質(zhì)的應(yīng)用
解 ?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx
＝?(2x－1)dx＋?e－xdx
＝－2＋1－e－1＝－(e－1＋1)．
類(lèi)型三 利用定積分的幾何意義求定積分
例3 用定積分的幾何意義求下列各式的值．
(1)?dx；
(2).
考點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
題點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
8、
解 (1)由y＝得x2＋y2＝4(y≥0)，其圖象如圖所示．
?dx等于圓心角為60°的弓形CED的面積與矩形ABCD的面積之和，
S弓形CED＝××22－×2×＝－，
S矩形ABCD＝AB·BC＝2，
∴?dx＝2＋－＝＋.
(2)∵函數(shù)y＝sin x在x∈上是奇函數(shù)，
∴＝0.
跟蹤訓(xùn)練3 求定積分：?(－x)dx.
考點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
題點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
解 ?dx表示圓心在(2,0)，半徑等于2的圓的面積的，即?dx＝×π×22＝π.
?xdx表示底和高都為2的直角三角形的面積，
即?xdx＝×22＝2.
∴原式＝?dx－?xdx
＝π－2
9、.
1．下列結(jié)論中成立的個(gè)數(shù)是( )
①?x3dx＝·；②?x3dx＝·；
③?x3dx＝ ·.
A．0 B．1 C．2 D．3
考點(diǎn) 定積分的概念
題點(diǎn) 定積分的概念
答案 C
解析?、冖鄢闪ⅲ?
2．關(guān)于定積分a＝?(－2)dx的敘述正確的是( )
A．被積函數(shù)為y＝2，a＝6
B．被積函數(shù)為y＝－2，a＝6
C．被積函數(shù)為y＝－2，a＝－6
D．被積函數(shù)為y＝2，a＝－6
考點(diǎn) 定積分的幾何意義及性質(zhì)
題點(diǎn) 定積分的幾何意義
答案 C
解析 由定積分的概念可知，
?(－2)dx中的被積函數(shù)為y＝－2，
由定積分的幾何意義知，?(－2)dx
10、等于由直線x＝－1，x＝2，y＝0，y＝－2所圍成的圖形的面積的相反數(shù)，
∴?(－2)dx＝－2×3＝－6.
3．已知定積分?f(x)dx＝8，且f(x)為偶函數(shù)，則?f(x)dx等于( )
A．0 B．16
C．12 D．8
考點(diǎn) 定積分的幾何意義及性質(zhì)
題點(diǎn) 定積分性質(zhì)
答案 B
解析 ?f(x)dx＝2?f(x)dx＝16.
4．由函數(shù)y＝－x的圖象，直線x＝1，x＝0，y＝0所圍成的圖形的面積可表示為( )
A．?(－x)dx B．?|－x|dx
C．?xdx D．－?xdx
考點(diǎn) 定積分的幾何意義及性質(zhì)
題點(diǎn) 定積分的幾何意義
答案 B
11、
解析 由定積分的幾何意義可知，所求圖形的面積為
S＝?|－x|dx.
5．計(jì)算?(－x3)dx.
考點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
題點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
解 如圖所示，
由定積分的幾何意義得?dx＝＝，
?x3dx＝0，
由定積分性質(zhì)得?(－x3)dx＝?dx－?x3dx＝.
1．定積分?f(x)dx是一個(gè)和式f(ξi)的極限，是一個(gè)常數(shù)．
2．可以利用“分割、近似代替、求和、取極限”求定積分．對(duì)于一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分．
3．定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡(jiǎn)化定積分運(yùn)算．
一、選擇題
1．根據(jù)定積分的定義，?x2dx等于( )
A.2
12、· B． 2·
C.2· D． 2·
考點(diǎn) 定積分的概念
題點(diǎn) 定積分的概念
答案 D
解析 根據(jù)定積分的定義，?x2dx＝ 2·.
2．下列定積分的值等于1的是( )
A．?1dx B．?(x＋1)dx
C．?dx D．?xdx
考點(diǎn) 定積分的幾何意義及性質(zhì)
題點(diǎn) 定積分性質(zhì)
答案 A
解析 D項(xiàng)，?xdx＝，C項(xiàng)，?dx＝，
B項(xiàng)，?(x＋1)dx＝，A項(xiàng)，?1dx＝1，故選A.
3．下列命題不正確的是( )
A．若f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則?f(x)dx＝0
B．若f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，則?f(x)dx＝2?f(x)dx
C．若f(
13、x)在[a，b]上連續(xù)且恒正，則?f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b]上連續(xù)且?f(x)dx>0，則f(x)在[a，b]上恒正
考點(diǎn) 定積分的幾何意義及性質(zhì)
題點(diǎn) 定積分性質(zhì)
答案 D
解析 A項(xiàng)，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以x軸上方的面積和x軸下方的面積相等，故積分是0，所以A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故y軸兩側(cè)的圖象都在x軸上方或下方且面積相等，故B項(xiàng)正確；由定積分的幾何意義知，C項(xiàng)顯然正確；D項(xiàng)，f(x)也可以小于0，但必須有大于0的部分，且f(x)>0的曲線圍成的面積比f(wàn)(x)<0的曲線圍成的面積大．
4．與定積分相等的是
14、( )
A.
B.
C．?sin xdx－
D.
考點(diǎn) 定積分的幾何意義及性質(zhì)
題點(diǎn) 定積分性質(zhì)
答案 C
解析 當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，sin x≥0；
當(dāng)x∈時(shí)，sin x<0.
∴由定積分的性質(zhì)可得，
＝?|sin x|dx＋
＝?sin xdx＋
＝?sin xdx－.
5．下列各陰影部分的面積S不可以用S＝?[f(x)－g(x)]dx求出的是( )
考點(diǎn) 定積分的幾何意義及性質(zhì)
題點(diǎn) 定積分的幾何意義
答案 B
解析 定積分S＝?[f(x)－g(x)]dx的幾何意義是求函數(shù)f(x)與g(x)之間的陰影部分的面積，必須注意f(x)的圖象要在g
15、(x)的圖象上方．對(duì)照各選項(xiàng)可知，B項(xiàng)中f(x)的圖象不全在g(x)的圖象上方，故選B.
6．由直線y＝x，y＝－x＋1及x軸圍成的平面圖形的面積為( )
A．?[(1－y)－y]dy
B．
C．
D．?[x－(－x＋1)]dx
考點(diǎn) 定積分的幾何意義及性質(zhì)
題點(diǎn) 定積分的幾何意義
答案 C
解析 聯(lián)立
解得
故A.
由圖知陰影部分的面積可表示為.
7．設(shè)a＝?dx，b＝?x2dx，c＝?x3dx，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b
C．a(chǎn)＝b>c D．c>a>b
考點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
題點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)
16、用
答案 A
解析 根據(jù)定積分的幾何意義，易知?x3dxb>c，故選A.
8．若?|56x|dx≤2 016，則正數(shù)a的最大值為( )
A．6 B．56
C．36 D．2 016
考點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
題點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
答案 A
解析 由?|56x|dx＝56?|x|dx≤2 016，
得?|x|dx≤36，
∵?|x|dx＝a2，∴a2≤36，即0
17、 定積分性質(zhì)的應(yīng)用
答案
解析 ∵??f(x)dx＝?f(x)dx＝1，
∴??f(x)dx＝2.
又?3f(x)dx＝3??f(x)dx＝2，
∴?f(x)dx＝.
∴??f(x)dx＝??f(x)dx＋??f(x)dx
＝＋2＝.
10．如圖所示的陰影部分的面積用定積分表示為_(kāi)_______．
考點(diǎn) 定積分的幾何意義及性質(zhì)
題點(diǎn) 定積分的幾何意義
答案 ?dx
11．定積分?(2＋)dx＝________.
考點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
題點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
答案 2＋
解析 原式＝?2dx＋?dx.
因?yàn)?2dx＝2，?dx＝，
所以?(2＋
18、)dx＝2＋.
12．已知f(x)是一次函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)(3,4)且?f(x)dx＝1，則f(x)的解析式為_(kāi)_______．
考點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
題點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
答案 f(x)＝x＋
解析 設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(x)圖象過(guò)(3,4)點(diǎn)，∴3a＋b＝4.
又?f(x)dx＝?(ax＋b)dx＝a?xdx＋?bdx＝a＋b＝1.
解方程組
得∴f(x)＝x＋.
三、解答題
13．已知f(x)＝求f(x)在區(qū)間[0,5]上的定積分．
考點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
題點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
解 如圖畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象．
由定
19、積分的幾何意義得?xdx＝×2×2＝2，
?(4－x)dx＝×(1＋2)×1＝，
?dx＝×2×1＝1.
所以?f(x)dx＝?xdx＋?(4－x)dx＋
?dx＝2＋＋1＝.
四、探究與拓展
14．若定積分?dx＝，則m等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
考點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
題點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
答案 A
解析 根據(jù)定積分的幾何意義知，定積分?dx的值就是函數(shù)y＝的圖象與x軸及直線x＝－2，x＝m所圍成的圖形的面積．y＝是一個(gè)以(－1,0)為圓心，1為半徑的半圓，其面積等于，而?dx＝，所以m＝－1.
15.如圖所示，拋物線y＝x2將圓x2＋y2≤8分成兩部分，現(xiàn)在向圓上均勻投點(diǎn)，這些點(diǎn)落在圓中陰影部分的概率為＋，
求?dx.
考點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
題點(diǎn) 定積分幾何意義的應(yīng)用
解 解方程組
得x＝±2.
∴陰影部分的面積為?dx.
∵圓的面積為8π，
∴由幾何概型可得陰影部分的面積是
8π·＝2π＋.
由定積分的幾何意義得，
?dx
＝?dx＝π＋.
13
（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5 定積分的概念 1.5.3 定積分的概念學(xué)案 新人教A版選修2-2
