《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-1（17頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì).2.會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問題知識(shí)點(diǎn)一拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)思考觀察下列圖形，思考以下問題：(1)觀察焦點(diǎn)在x軸的拋物線與雙曲線及橢圓的圖形，分析其幾何圖形存在哪些區(qū)別？(2)根據(jù)圖形及拋物線方程y22px(p0)如何確定橫坐標(biāo)x的范圍？答案(1)拋物線與另兩種曲線相比較，有明顯的不同，橢圓是封閉曲線，有四個(gè)頂點(diǎn)，有兩個(gè)焦點(diǎn)，有中心；雙曲線雖然不是封閉曲線，但是有兩支，有兩個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)，有中心；拋物線只有一條曲線，一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，無中心(2)由拋物線y22px(p0)有所以x0

2、.梳理四種形式的拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)FFFF準(zhǔn)線方程xxyy頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e1通徑長(zhǎng)2p知識(shí)點(diǎn)二直線與拋物線的位置關(guān)系直線ykxb與拋物線y22px(p0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程組解的個(gè)數(shù)，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的個(gè)數(shù)當(dāng)k0時(shí)，若0，則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；若0，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；若0，b.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x21，bb，由在直線yx3上，即b3，解得b2，聯(lián)立得

3、解得1已知拋物線的對(duì)稱軸為x軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線2x4y110上，則此拋物線的方程是()Ay211xBy211xCy222xDy222x考點(diǎn)由拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程題點(diǎn)由簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求拋物線的方程答案C解析在方程2x4y110中，令y0，得x，拋物線的焦點(diǎn)為F，設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，則，p11，拋物線的方程是y222x，故選C.2已知點(diǎn)A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為()AB1CD考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)拋物線性質(zhì)的綜合問題答案C解析因?yàn)閽佄锞€C：y22px的準(zhǔn)線為x，且點(diǎn)A(2,3)在準(zhǔn)線上，故2，解得p4，所以y28x

4、，所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，這時(shí)直線AF的斜率kAF.3若拋物線y22px(p0)上三個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，那么這三個(gè)點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F的距離的關(guān)系是()A成等差數(shù)列B既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列C成等比數(shù)列D既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)拋物線性質(zhì)的綜合問題答案A解析設(shè)三點(diǎn)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，則y2px1，y2px2，y2px3.因?yàn)?yyy，所以x1x32x2，即|P1F|P3F|2，所以|P1F|P3F|2|P2F|.4已知過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)為

5、8，則p_.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題題點(diǎn)與弦長(zhǎng)有關(guān)的其他問題答案2解析設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，易知過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F，且傾斜角為45的直線的方程為yx，把xy代入y22px，得y22pyp20，y1y22p，y1y2p2.|AB|8，|y1y2|4，(y1y2)24y1y2(4)2，即(2p)24(p2)32.又p0，p2.5已知圓C：x2y26x8y210，拋物線y28x的準(zhǔn)線為l，設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P到直線l的距離為m，則m|PC|的最小值為_考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)拋物線定義與其他知識(shí)結(jié)合的應(yīng)用答案解析圓心C(3，4)，由拋物線的定義知，m|P

6、C|最小時(shí)為圓心與拋物線焦點(diǎn)(2,0)間的距離，即.1拋物線的中點(diǎn)弦問題用點(diǎn)差法較簡(jiǎn)便2軸對(duì)稱問題，一是抓住對(duì)稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，二是抓住兩點(diǎn)連線的斜率與對(duì)稱軸所在直線斜率的關(guān)系3在直線和拋物線的綜合問題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點(diǎn)問題解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化一、選擇題1.(2017嘉興一中期末)已知點(diǎn)A(0,2)，拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，若，則p的值等于()A.B2C4D8答案B2拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OFM

7、的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36，則p的值為()A2B4C6D8考點(diǎn)由拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程題點(diǎn)由簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求拋物線的方程答案D解析OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑圓的面積為36，圓的半徑為6.又圓心在OF的垂直平分線上，|OF|，6，p8.3拋物線yx2上的點(diǎn)到直線4x3y80的距離的最小值是()A.B.C.D3考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)求距離最小值問題答案A解析設(shè)拋物線yx2上一點(diǎn)為(m，m2)，該點(diǎn)到直線4x3y80的距離為，當(dāng)m時(shí)，取得最小值為.4已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，其上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C的橫

8、坐標(biāo)之比為345，則以|FA|，|FB|，|FC|為邊長(zhǎng)的三角形()A不存在B必是銳角三角形C必是鈍角三角形D必是直角三角形考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)應(yīng)用答案B解析設(shè)A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，x13k，x24k，x35k(k0)，由拋物線定義，得|FA|3k，|FB|4k，|FC|5k，易知三者能構(gòu)成三角形，|FC|所對(duì)角為最大角，由余弦定理可證該角的余弦值為正數(shù)，故該三角形必是銳角三角形5等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y22px(p0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OAOB，則AOB的面積是()A8p2B4p2C2p2Dp2考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)拋物線

9、的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)應(yīng)用答案B解析因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x軸，內(nèi)接AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對(duì)稱性，知直線AB與拋物線的對(duì)稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45.由方程組得或所以易得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2p,2p)和(2p，2p)所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.6(2017牌頭中學(xué)期中)已知F為拋物線y2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則ABO與AFO面積之和的最小值是()A2B3C.D.答案B解析設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a2，a)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(b2，b)，直線AB的方程為xtym，與拋物線y2x聯(lián)立得y2tym0，故abm，由2得a2

10、b2ab2，故ab2或ab1(舍去)，所以m2，所以ABO的面積為m|ab|ab|，AFO的面積等于|a|，所以ABO與AFO的面積之和為23，當(dāng)且僅當(dāng)，即|a|時(shí)“”成立，故選B.7已知拋物線y22px(p0)，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()Ax1Bx1Cx2Dx2考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用答案B解析拋物線的焦點(diǎn)為F，所以過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為yx，即xy，代入y22px消去x，得y22pyp2，即y22pyp20，由根與系數(shù)的關(guān)系得p2(y1，y2分別為點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo))，所以拋

11、物線方程為y24x，準(zhǔn)線方程為x1.二、填空題8已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)拋物線性質(zhì)的綜合問題答案(1,2)或(1，2)解析拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)A，則，由4，得y02，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2)或(1，2)9(2017嘉興一中期末)過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|AF|3，則AOB的面積為_答案10已知在拋物線yx2上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N關(guān)于直線ykx對(duì)稱，則k的取值范圍為_考點(diǎn)直線與拋物線位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線位置關(guān)系答案解析設(shè)M(x1，x)，N(x2，x)，

12、兩點(diǎn)關(guān)于直線ykx對(duì)稱，顯然k0時(shí)不成立，即x1x2.設(shè)MN的中點(diǎn)為P(x0，y0)，則x0，y0k4.又中點(diǎn)P在拋物線yx2內(nèi)，42，即k2，k或k.三、解答題11(2017嘉興一中期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y24x相交于不同的A，B兩點(diǎn)(1)如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求的值；(2)如果4，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)解(1)由題意知拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)l：xty1，代入拋物線y24x，消去x，得y24ty40，16t2160，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24t，y1y24，x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(

13、y1y2)1y1y24t24t2143.(2)設(shè)l：xtyb，代入拋物線y24x，消去x，得y24ty4b0，16t216b0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24t，y1y24b，x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2.直線l過定點(diǎn)(2,0)若4，則直線l必過一定點(diǎn)(2,0)12已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線截直線x2y10所得的弦長(zhǎng)為，求此拋物線的方程考點(diǎn)由拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程題點(diǎn)已知弦長(zhǎng)求拋物線的方程解設(shè)拋物線方程為x2ay(a0)由方程組消去y，

14、得2x2axa0.直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，(a)242a0，即a0或a8.設(shè)兩交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|AB|.|AB|，即a28a480，解得a4或a12，所求拋物線的方程為x24y或x212y.13設(shè)拋物線C：y24x，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，過F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)(1)設(shè)l的斜率為2，求|AB|的值；(2)求證：是一個(gè)定值考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線的綜合問題(1)解依題意得F(1,0)，直線l的方程為y2(x1)設(shè)直線l與拋物線的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，整理得x23x10，x1x23，x1x21.方法

15、一|AB|5.方法二|AB|AF|BF|x1x2p325.(2)證明設(shè)直線l的方程為xky1，直線l與拋物線的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去x，整理得y24ky40，y1y24k，y1y24.(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143，是一個(gè)定值四、探究與拓展14已知直線l過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)且與拋物線相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為(2p,2p)，則其焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度為_考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題題點(diǎn)求拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)答案解析由題意，知直線l過和(2p,2p)，所以直線l：y.設(shè)另一交點(diǎn)坐標(biāo)

16、為(x1，y1)，聯(lián)立整理得8x217px2p20.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x12p，所以焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度為x12pp.15已知拋物線y22x.(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，求拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離的最小值d，并寫出df(a)的函數(shù)表達(dá)式考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線的綜合問題解(1)設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|22y222x2.因?yàn)閤0，且在此區(qū)間上|PA|2隨著x的增大而增大，所以當(dāng)x0時(shí)，|PA|min，故距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)，最短距離是.(2)同(1)求得|PA|2(xa)2y2(xa)22xx(a1)2(2a1)當(dāng)a10，即a1時(shí)，|PA|2a1，解得|PA|min，此時(shí)xa1；當(dāng)a10，即a1時(shí)，|PA|a2，解得|PA|min|a|，此時(shí)x0.所以df(a)17