《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第6節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第6節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 理（15頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第6節(jié)數(shù)學(xué)歸納法最新考綱1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題知 識(shí) 梳 理1數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立2數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)初始值n0不一定是1.2推證nk1時(shí)一定要用上nk時(shí)的假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法診 斷 自 測(cè)1思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n2

2、2n31”，驗(yàn)證n1時(shí)，左邊式子應(yīng)為122223.()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用()(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由nk到nk1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)()解析對(duì)于(2)，有些命題也可以直接證明；對(duì)于(3)，數(shù)學(xué)歸納法必須用歸納假設(shè)；對(duì)于(4)，由nk到nk1，有可能增加不止一項(xiàng)答案(1)(2)(3)(4)2(選修22P99B1改編)在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于()A1 B2 C3 D4解析三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗(yàn)n3.答案C3已知f(n)，則

3、()Af(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Bf(n)中共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Cf(n)中共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Df(n)中共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)解析f(n)共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，故f(2).答案D4(2018臺(tái)州月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明11)，第一步要證的不等式是_解析當(dāng)n2時(shí)，式子為12.答案10，且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當(dāng)b2時(shí)，記bn2(log2an1)(nN*)證明：對(duì)任意的nN*，不等式成立(1)解由題意，Snbnr，當(dāng)n2時(shí)，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0，且b1，所以n2時(shí)，an是以b為公

4、比的等比數(shù)列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)證明由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所證不等式為.當(dāng)n1時(shí)，左式，右式，左式右式，所以結(jié)論成立假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，要證當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立，只需證，即證，由基本不等式可得成立，故成立，所以當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由可知，nN*時(shí)，不等式成立規(guī)律方法應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk成立，推證nk1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮

5、法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法【訓(xùn)練2】 (2018寧波十校適應(yīng)性考試)已知數(shù)列an(nN*)，滿足a11，2an1an.(1)求證：an1an；(2)設(shè)數(shù)列an(nN*)的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn.n1時(shí)，2a2，a2，結(jié)論成立，假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，即ak1，則nk1時(shí)，2ak2ak11，ak2，即nk1時(shí)，結(jié)論成立，an1，an1anan0.an1an；(2)問題等價(jià)于證明Sn，即(ai)，設(shè)bnan，則b1，2an1an可化為2bn1bn1，bn，Sn，Sn0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通項(xiàng)公式；(2)證明(1)中的猜想(1)解當(dāng)n1時(shí)，由已知得a11，即a2a120.

6、a11(a10)當(dāng)n2時(shí)，由已知得a1a21，將a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)證明由(1)知，當(dāng)n1，2，3時(shí)，通項(xiàng)公式成立假設(shè)當(dāng)nk(k3，kN*)時(shí)，通項(xiàng)公式成立，即ak.由于ak1Sk1Sk，將ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1時(shí)通項(xiàng)公式成立由可知對(duì)所有nN*，an都成立規(guī)律方法(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性(2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗(yàn)歸納猜想證明”高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題

7、【訓(xùn)練3】 設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表達(dá)式；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)nN*，猜想g(1)g(2)g(n)與nf(n)的大小，并加以證明解由題設(shè)得，g(x)(x0)(1)由已知，g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可猜想gn(x).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時(shí)，g1(x)，結(jié)論成立假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即gk(x).那么，當(dāng)nk1時(shí)，gk1(x)g(gk(x)，即結(jié)論成立由可知，結(jié)論對(duì)nN*成立(2)已知f(x

8、)ag(x)恒成立，即ln(1x)恒成立設(shè)(x)ln(1x)(x0)，則(x)，當(dāng)a1時(shí)，(x)0(僅當(dāng)x0，a1時(shí)等號(hào)成立)，(x)在0，)上單調(diào)遞增又(0)0，(x)0在0，)上恒成立，a1時(shí)，ln(1x)恒成立(僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立)當(dāng)a1時(shí)，對(duì)x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上單調(diào)遞減，(a1)1時(shí)，存在x0，使(x)nln(n1)證明如下：上述不等式等價(jià)于，x0.令x，nN*，則ln.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時(shí)，ln 2，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)結(jié)論成立，即ln(k1)那么，當(dāng)nk1時(shí)，ln(k1)(n2，nN*)”的過程中，由“nk”變到“nk1”時(shí)，左邊增加了()A1項(xiàng) B

9、k項(xiàng)C2k1項(xiàng) D2k項(xiàng)解析左邊增加的項(xiàng)為共2k項(xiàng)，故選D.答案D5對(duì)于不等式n1(nN*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，不等式k1成立，當(dāng)nk1時(shí)，(k1)1.當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A過程全部正確Bn1驗(yàn)得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確解析在nk1時(shí)，沒有應(yīng)用nk時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法答案D6用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2解析當(dāng)nk時(shí)，左端123k2.當(dāng)nk1時(shí)，左端123k2(k21)(k22

10、)(k1)2，故當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上(k21)(k22)(k1)2.故選D.答案D二、填空題7設(shè)Sn1，則Sn1Sn_解析Sn11，Sn1.Sn1Sn.答案8(2018杭州月考)設(shè)f(n)62n11，則f(k1)用含有f(k)的式子表示為_解析f(k)62k11，f(k1)62(k1)113662k1136(62k11)3536f(k)35.答案36f(k)359凸n多邊形有f(n)條對(duì)角線則凸(n1)邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(n1)與f(n)的遞推關(guān)系式為_解析f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1.答案f(n1)f(n)n110(2017紹興調(diào)研)數(shù)列an中，已知a12，an

11、1(nN*)，依次計(jì)算出a2，a3，a4的值分別為_；猜想an_解析a12，a2，a3，a4.由此，猜想an是以分子為2，分母是以首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列an.答案，三、解答題11用數(shù)學(xué)歸納法證明：12(nN*，n2)證明(1)當(dāng)n2時(shí)，12，命題成立(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立，即12.當(dāng)nk1時(shí)，12222，命題成立由(1)(2)知原不等式在nN*，n2時(shí)均成立12數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*)(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；(2)證明(1)中的猜想(1)解當(dāng)n1時(shí)，a1S12a1，a11；當(dāng)n2時(shí)，a1a2S222a2，a2；當(dāng)n3時(shí)，a1a2a3S323a

12、3，a3；當(dāng)n4時(shí)，a1a2a3a4S424a4，a4.由此猜想an(nN*)(2)證明當(dāng)n1時(shí)，a11，結(jié)論成立假設(shè)nk(k1且kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak，那么nk1時(shí)，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.ak1.所以當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由知猜想an(nN*)成立能力提升題組13設(shè)n為正整數(shù)，f(n)1，經(jīng)計(jì)算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，觀察上述結(jié)果，可推測(cè)出一般結(jié)論()Af(2n) Bf(n2)Cf(2n) D以上都不對(duì)解析因?yàn)閒(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以當(dāng)n1時(shí)，有f(2n).答案C14設(shè)f(x)

13、是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命題總成立的是()A若f(1)1成立，則f(10)100成立B若f(2)an；(2)證明：ancos；(3)證明：Snn.證明(1)因?yàn)閍n0，且2a2aan12a(1an)(12an)，故要證an1an，只需要證明an1即可下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，a11成立；假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，ak1成立，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak11，綜上所述，對(duì)任意n，有anan.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明ancos.當(dāng)n1時(shí)，a1coscos成立；假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，akcos，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak1cos.所以綜上所述，對(duì)任意n，ancos.(3)由11asin21(n2)故當(dāng)n1時(shí)，S11；當(dāng)n2時(shí)，Snnn.綜上所述，Snn.15