《（浙江專用）2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 兩條平行直線間的距離學(xué)案 新人教A版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 兩條平行直線間的距離學(xué)案 新人教A版必修2（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)目標定位1.證明并掌握直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理.2.能運用性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.3.理解“平行”與“垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化.自 主 預(yù) 習(xí)1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言ab圖形語言作用線面垂直線線平行作平行線2.平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直符號語言a圖形語言作用面面垂直線面垂直作面的垂線即 時 自 測1.判斷題(1)兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，另一條也垂直于這

2、個平面.()(2)垂直于同一平面的兩個平面平行.()(3)如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點且垂直于第二個平面的直 線在第一個平面內(nèi).即，A，Ab，bb.()(4)如果平面平面，那么平面內(nèi)的所有直線都垂直于平面.()提示(2)垂直于同一平面的兩個平面可以相交也可以平行.(4)直線與平面位置關(guān)系不確定.2.ABC所在的平面為，直線lAB，lAC，直線mBC，mAC，則直線l，m的位置關(guān)系是()A.相交 B.異面 C.平行 D.不確定解析因為lAB，lAC，AB，AC且ABACA，所以l，同理可證m，所以lm.答案C3.在長方體ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一點E，作EFA1B1于

3、F，則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是()A.平行 B.EF平面A1B1C1D1C.相交但不垂直 D.相交且垂直解析在長方體ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1平面A1B1C1D1且平面A1ABB1平面A1B1C1D1A1B1，又EF面A1ABB1，EFA1B1，EF平面A1B1C1D1，答案D正確.答案D4.已知a、b為直線，、為平面.在下列四個命題中，正確的命題是_(填序號).若a，b，則ab；若a，b，則ab；若a，a，則；若b，b，則.解析由“垂直于同一平面的兩直線平行”知真；由“平行于同一平面的兩直線平行或異面或相交”知假；由“垂直于同一直線的兩平面平行”知真；易知假.答案

4、類型一直線與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用【例1】 如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，EF與異面直線AC、A1D都垂直相交.求證：EFBD1.證明如圖所示，連接AB1、B1D1、B1C、BD，DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理可證BD1B1C，又ACB1CC，BD1平面AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.規(guī)律方法證明線線平行常有如下方法：(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點；(2)利用三線平行公理：證兩線同時平行于第三條直

5、線；(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直；(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.【訓(xùn)練1】 如圖，已知平面平面l，EA，垂足為A，EB，垂足為B，直線a，aAB.求證：al.證明因為EA，l，即l，所以lEA.同理lEB，又EAEBE，所以l平面EAB.因為EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.因此，al.類型二平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用【例2】 已知：、是三個不同平面，l為直線，l.求證：l.證明法一設(shè)a，b，在內(nèi)任取一點P，過P在內(nèi)作直線ma，nb，如圖.，m，n

6、，又l，ml，nl，又mnP，l.法二如圖，a，b，在內(nèi)作ma，在內(nèi)作nb.，m，n，mn.又n，m，m，又l，m，ml，l.規(guī)律方法1.證明或判定線面垂直的常用方法有：(1)線面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性質(zhì)定理；(3)若ab，a則b；(a，b為直線，為平面).(4)若a，則a；(a為直線，為平面).2.兩平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們要將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，方法是在其中一個面內(nèi)作(找)與交線垂直的直線.【訓(xùn)練2】 設(shè)平面平面，點P在平面內(nèi)，過點P作平面的垂線a，試判斷直線a與平面的位置關(guān)系.解如圖，設(shè)c，過點P在平面內(nèi)作直線bc.根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理有b.因為過一點有且只有一

7、條直線與平面垂直，所以直線a與直線b重合，因此a.類型三線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用(互動探究)【例3】 如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，且DAB60，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點，求證：BG平面PAD；(2)求證：ADPB.思路探究探究點一運用面面垂直的性質(zhì)定理的一般策略是什么？提示運用面面垂直的性質(zhì)定理時，一般要作輔助線：過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線.這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化成線面垂直或線線垂直了.探究點二線線、線面、面面垂直關(guān)系之間有怎樣的轉(zhuǎn)化關(guān)系？提示證明(1)在菱形ABCD中，DAB60，ABD為正三角

8、形，又G為AD的中點，BGAD.又平面PAD平面ABCD，BG平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.(2)連接PG，如圖，PAD為正三角形，G為AD的中點，PGAD.由(1)知BGAD，PGBGG，AD平面PGB，PB平面PGB，ADPB.規(guī)律方法證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理.本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理.利用面面垂直的性質(zhì)定理.證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：(1)兩個平面垂直；(2)直線必須在其中一個平面內(nèi)；(3)直線必須垂直于它們的交線.【訓(xùn)練3】 如圖，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，

9、ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，側(cè)面PBC底面ABCD.PA與BD是否相互垂直？請證明你的結(jié)論.解PA與BD相互垂直.證明如下：如圖，取BC的中點O，連接PO、AO.PBPC，POBC，又側(cè)面PBC底面ABCD，平面PBC平面ABCDBC，PO底面ABCD，又BD平面ABCD.POBD，在直角梯形ABCD中，易證ABO BCD，BAOCBD，CBDABD90，BAOABD90，AOBD，又POAOO，BD平面PAO，BDPA，即PA與BD相互垂直.課堂小結(jié)1.線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù).2.面面垂直的性質(zhì)

10、定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：1.下列說法正確的是()A.垂直于同一條直線的兩直線平行B.垂直于同一條直線的兩直線垂直C.垂直于同一個平面的兩直線平行D.垂直于同一條直線的一條直線和平面平行解析由線面垂直的性質(zhì)定理知C正確.答案C2.設(shè)l是直二面角，直線a，直線b，a，b與l都不垂直，那么()A.a與b可能垂直，但不可能平行B.a與b可能垂直，也可能平行C.a與b不可能垂直，但可能平行D.a與b不可能垂直，也不可能平行解析當a，b都與l平行時，則ab，所以A、D錯，如圖，若ab過a上一點P在內(nèi)作al，因為，所以a，又b，a

11、b，b，而l，bl，與b和l不垂直矛盾，所以B錯.答案C3.如圖，在三棱錐PABC內(nèi)，側(cè)面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，則PB_.解析側(cè)面PAC底面ABC，交線為AC，PAC90(即PAAC)，PA平面PAC，PA平面ABC，又AB平面ABC，PAAB，PB.答案4.如圖所示，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC底面ABCD，求證：平面SCD平面SBC.證明底面ABCD是矩形，BCCD.又平面SDC平面ABCD，平面SDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，BC平面SCD.又BC平面SBC，平面SCD平面SBC基 礎(chǔ) 過 關(guān)1.下列命題中錯誤的是()A.如果平

12、面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B.如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C.如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D.如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面解析由平面與平面垂直的有關(guān)性質(zhì)可以判斷出D項錯誤.答案D2.如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐ABCD，則在三棱錐ABCD中，下列命題正確的是()A.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDCD.平面ADC平面ABC解析如圖，在平面圖形中CDBD，折起后仍然滿足CDBD，由于平面ABD平面BC

13、D，平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，故CD平面ABD，又AB平面ABD，CDAB.又ABAD，ADCDD，故AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ADC平面ABC.答案D3.設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A.若，m，n，則mnB.若，m，n，則mnC.若mn，m，n，則D.若m，mn，n，則解析如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，平面BCC1B1平面ABCD，BC1平面BCC1B1，BC平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A錯誤.平面A1B1C1D1平面ABCD，B1D1平面A1B1C1D1，AC平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故

14、B錯誤.ABA1D1，AB平面ABCD，A1D1平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1平面ABCD，故C錯誤.故選D.答案D4.a，b是兩條不同直線，為平面，以下命題中正確的是_(填序號).a；b；ab；b.解析中a可能在內(nèi)；中b也可能與平行，正確 .答案5.若，AB，a，aAB，則a與的關(guān)系為_.解析如圖，過a作平面，設(shè)b，a，ab.又aAB，bAB.又，AB，b，b，a.答案a6.如圖三棱錐PABC中，已知ABC是等腰直角三角形，ABC90，PAC是直角三角形，PAC90，ACP30，平面PAC平面ABC.求證：平面PAB平面PBC.證明平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC

15、，PAAC，PA平面PAC，PA平面ABC.又BC平面ABC，PABC.又ABBC，ABPAA，BC平面PAB.又BC平面PBC，平面PAB平面PBC.7.如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別是CD和PC的中點.求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.證明(1)因為平面PAD底面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，PA平面PAD，所以PA底面ABCD.(2)因為ABCD，CD2AB，E為CD的中點，所以ABDE，且ABDE.所以四邊形ABED為平行四邊形.所以BEAD.又因為BE

16、平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因為ABAD，而且四邊形ABED為平行四邊形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.又PAADA，所以CD平面PAD.又PD平面PAD，所以CDPD.因為E和F分別是CD和PC的中點，所以PDEF.所以CDEF.又因為CDBE，EFBEE，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.能 力 提 升8.如圖所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，則點C1在底面ABC上的射影H必在()A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.ABC內(nèi)部解析連接AC1，B

17、AC90，即ACAB，又ACBC1，ABBC1B，所以AC平面ABC1.又AC平面ABC，于是平面ABC1平面ABC，且AB為交線，因此，點C1在平面ABC上的射影必在直線AB上，故選A.答案A9.如圖，正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，現(xiàn)在沿SE、SF、EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3重合，重合后的點記為G.給出下列關(guān)系：SG平面EFG；SE平面EFG；GFSE；EF平面SEG.其中成立的有()A.與 B.與 C.與 D.與解析由SGGE，SGGF，GEGFG，得SG平面EFG，排除C、D；若SE平面EFG，則SGSE，這與SGSES矛盾，排除A

18、，故選B.答案B10.如圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點.若CD2，平面ABCD平面DCEF，則線段MN的長等于_.解析取CD的中點G，連接MG，NG.因為ABCD，DCEF為正方形，且邊長為2，所以MGCD，MG2，NG.因為平面ABCD平面DCEF，平面ABCD平面DCEFCD，所以MG平面DCEF，由于GN平面CDEF，可得MGNG，所以MN.答案11.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，已知AD2AB2a，BDa，ACBDE，將其沿對角線BD折成直二面角.求證：(1)AB平面BCD；(2)平面ACD平面ABD.證明(1)在ABD中，AB

19、a，AD2a，BDa，AB2BD2AD2，ABD90，ABBD.又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，AB平面BCD.(2)折疊前四邊形ABCD是平行四邊形，且ABBD，CDBD.AB平面BCD，CD平面BCD.ABCD.ABBDB，CD平面ABD.又CD平面ACD，平面ACD平面ABD.探 究 創(chuàng) 新12.在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形.(1)若ACBC，證明：直線BC平面ACC1A1；(2)設(shè)D，E分別是線段BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE平面A1MC？請證明你的結(jié)論.(1)證明因為四邊形ABB1A1和A

20、CC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因為AB，AC為平面ABC內(nèi)兩條相交的直線，所以AA1平面ABC.因為直線BC平面ABC，所以AA1BC.又由已知，ACBC，AA1，AC為平面ACC1A1內(nèi)兩條的相交直線，所以BC平面ACC1A1.(2)解取線段AB的中點M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設(shè)O為A1C，AC1的交點.由已知，O為AC1的中點.連接MD，OE，則MD，OE分別為ABC，ACC1的中位線，所以MD綉AC，OE綉AC，因此MD綉OE.連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DEMO.因為直線DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直線DE平面A1MC.即線段AB上存在一點M(線段AB的中點)，使直線DE平面A1MC.13