《(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 立體幾何 規(guī)范答題示例4 空間角的計算問題學(xué)案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 立體幾何 規(guī)范答題示例4 空間角的計算問題學(xué)案(5頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、規(guī)范答題示例4空間角的計算問題典例4(15分)(2017浙江)如圖,已知四棱錐PABCD,PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PCAD2DC2CB,E為PD的中點(diǎn)(1)證明:CE平面PAB;(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值審題路線圖方法一(1)規(guī) 范 解 答分 步 得 分構(gòu) 建 答 題 模 板方法一(1)證明如圖,設(shè)PA的中點(diǎn)為F,連接EF,F(xiàn)B.因?yàn)镋,F(xiàn)分別為PD,PA中點(diǎn),所以EFAD且EFAD,又因?yàn)锽CAD,BCAD,所以EFBC且EFBC,所以四邊形BCEF為平行四邊形,所以CEBF.4分因?yàn)锽F平面PAB,CE平面PAB,因此CE平面PAB.6分(
2、2)解分別取BC,AD的中點(diǎn)為M,N,連接PN交EF于點(diǎn)Q,連接MQ.因?yàn)镋,F(xiàn),N分別是PD,PA,AD的中點(diǎn),所以Q為EF的中點(diǎn),在平行四邊形BCEF中,MQCE.由PAD為等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,N是AD的中點(diǎn)得BNAD,又PNBNN,PN,BN平面PBN,所以AD平面PBN.9分由BCAD得BC平面PBN,又BC平面PBC,那么平面PBC平面PBN.過點(diǎn)Q作PB的垂線,垂足為H,連接MH.MH是MQ在平面PBC上的投影,所以QMH是直線CE與平面PBC所成的角.12分設(shè)CD1.在PCD中,由PC2,CD1,PD得CE,在PBN中,由PNBN1,PB得QH,在RtMQH中,
3、QH,MQ,所以sinQMH,所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值是.15分第一步找平行:通過三角形中位線,找出線線平行進(jìn)而得到線面平行第二步找夾角:通過作輔助線及線線、線面及面面之間的關(guān)系找到夾角第三步找關(guān)系:由圖形找出各線段之間的長度關(guān)系,進(jìn)而求得夾角的正弦值.第四步得結(jié)論:得到所求夾角的正弦值.審題路線圖方法二(1)(2)規(guī) 范 解 答分 步 得 分構(gòu) 建 答 題 模 板方法二(1)證明設(shè)AD的中點(diǎn)為O,連接OB,OP.PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,OPAD.BCADOD,且BCOD,四邊形BCDO為平行四邊形,又CDAD,OBAD,OPOBO,OP,OB平面OPB,AD平面O
4、PB.2分過點(diǎn)O在平面POB內(nèi)作OB的垂線OM,交PB于M,以O(shè)為原點(diǎn),OB所在直線為x軸,OD所在直線為y軸,OM所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.4分設(shè)CD1,則有A(0,1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0)設(shè)P(x,0,z)(z0),由PC2,OP1,得解得x,z.即P,E為PD的中點(diǎn),E.設(shè)平面PAB的法向量為n(x1,y1,z1),(1,1,0),即解得令y1,得n(1,1,).7分而,n0,又CE平面PAB,CE平面PAB.10分(2)解設(shè)平面PBC的法向量為m(x2,y2,z2),(0,1,0),即令x21,得m(1,0,).13分設(shè)直線CE與平
5、面PBC所成的角為,則sin |cos,m|.故直線CE與平面PBC所成角的正弦值為.15分第一步找垂直:找出(或作出)具有公共交點(diǎn)的三條兩兩垂直的直線第二步寫坐標(biāo):建立空間直角坐標(biāo)系,寫出點(diǎn)坐標(biāo)第三步求向量:求直線的方向向量或平面的法向量.第四步求夾角:計算向量的夾角第五步得結(jié)論:得到所求兩個平面所成的角或直線和平面所成的角.評分細(xì)則(1)方法一第(1)問中證明CE平面PAB缺少條件扣1分,第(2)問中證明PNAD和BNAD各給1分(2)方法二中建系給2分,兩個法向量求出1個給3分,沒有最后結(jié)論扣1分,法向量取其他形式同樣給分跟蹤演練4(2018全國)如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F(xiàn)分別
6、為AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PFBF.(1)證明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值(1)證明由已知可得BFPF,BFEF,PFEFF,PF,EF平面PEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.(2)解方法一如圖,作PHEF,垂足為H.由(1)得,PH平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閥軸正方向,|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hxyz.由(1)可得,DEPE.又DP2,DE1,所以PE.又PF1,EF2,所以PEPF.所以PH,EH.則H(0,0,0),P,D,.又為平面ABFD的法向量,設(shè)DP與平面ABFD所成的角為,則sin .所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.方法二過點(diǎn)P作PHEF,垂足為H,連接DH.由(1)可得PH平面ABFD,所以PDH即為DP與平面ABFD所成的角設(shè)PD2a,則PHa,所以sinPDH,即DP與平面ABFD所成角的正弦值為.5