《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 8 第8講 函數(shù)與方程教學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 8 第8講 函數(shù)與方程教學(xué)案（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第8講函數(shù)與方程1函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)yf(x)，把使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(2)三個等價關(guān)系：方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點2函數(shù)零點的判定如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個c也就是f(x)0的根我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理3二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與零點的關(guān)系000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸的交點(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無交

2、點零點個數(shù)兩個一個零個疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點()(2)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)0.()(3)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac0時沒有零點()(4)若函數(shù)f(x)在(a，b)上連續(xù)單調(diào)且f(a)f(b)0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(1)30，因此函數(shù)f(x)有且只有一個零點答案：1易錯糾偏(1)錯用零點存在性定理；(2)誤解函數(shù)零點的定義；(3)忽略限制條件；(4)錯用二次函數(shù)在R上無零點的條件1函數(shù)f(x)x的零點個數(shù)是_解析：函數(shù)的定義域為x|x0，當(dāng)x0

3、時，f(x)0，當(dāng)x0時，f(x)0即可，即1m0且8m0，解得8m1.答案：(8，14若二次函數(shù)f(x)x2kxk在R上無零點，則實數(shù)k的取值范圍是_解析：由題意得k24k0，解得0k4.答案：(0，4)函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷 設(shè)f(x)0.8x1，g(x)ln x，則函數(shù)h(x)f(x)g(x)存在的零點一定位于下列哪個區(qū)間()A(0，1) B(1，2)C(2，e) D(e，3)【解析】h(x)f(x)g(x)的零點等價于方程f(x)g(x)0的根，即為函數(shù)yf(x)與yg(x)圖象的交點的橫坐標(biāo)，其大致圖象如圖，從圖象可知它們僅有一個交點A，橫坐標(biāo)的范圍為(0，1)，故選A.【答案】A判

4、斷函數(shù)零點所在區(qū)間的3種方法(1)解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程f(x)0易解時，可先解方程，然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上(2)定理法：利用函數(shù)零點的存在性定理，首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)0.若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(3)圖象法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷 1(2020金華十校聯(lián)考)函數(shù)f(x)xlog2x的零點所在區(qū)間為()A. B.C. D.解析：選A.因為flog20，所以ff0，故函數(shù)f(x)xlog2x的零點所在區(qū)間為.2(2020杭州市嚴(yán)州中學(xué)高三模擬)若abc，則函數(shù)f(x)(x

5、a)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi)B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi)D(，a)和(c，)內(nèi)解析：選A.因為f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，所以f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，因為ab0，f(b)0，所以f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)函數(shù)零點個數(shù)的問題 (1)函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為()A3 B2C1 D0(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(3x)，且當(dāng)x1，3)時，f(x)ln x，若在區(qū)間1，9)內(nèi)，函數(shù)g(x)f(x)

6、ax有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.【解析】(1)法一：由f(x)0得或解得x2或xe.因此函數(shù)f(x)共有2個零點法二：函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)f(x)共有2個零點(2)因為f(x)f(3x)f(x)f，當(dāng)x3，9)時，f(x)fln，所以f(x)而g(x)f(x)ax有三個不同零點yf(x)與yax的圖象有三個不同交點，如圖所示，可得直線yax應(yīng)在圖中兩條虛線之間，所以可解得a.故選B.【答案】(1)B(2)B判斷函數(shù)零點個數(shù)的3種方法(1)方程法：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在

7、區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0)，y2ln x(x0)的圖象，如圖所示由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點個數(shù)為2.2已知函數(shù)f(x)是定義在(，0)(0，)上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)則函數(shù)g(x)4f(x)1的零點個數(shù)為()A4 B6C8 D10解析：選D.由f(x)為偶函數(shù)可得，只需作出x(0，)上的圖象，再利用對稱性作另一半圖象即可當(dāng)x(0，2時，可以通過y2x的圖象進(jìn)行變換作出f(x)的圖象，當(dāng)x2時，f(x)f(x2)，即自變量差2個單位，函數(shù)值折半，進(jìn)而可作出f(x)在(2，4，(4，6，的圖象，如圖所示g(x)的零點個數(shù)即f(x)的根的個數(shù)，也即f(x)的

8、圖象與y的圖象的交點個數(shù)，觀察圖象可知，當(dāng)x0時，有5個交點，根據(jù)對稱性可得當(dāng)x0時，也有5個交點，共計10個交點，故選D.函數(shù)零點的應(yīng)用(高頻考點)高考對函數(shù)零點的考查多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)主要命題角度有：(1)利用函數(shù)零點比較大??；(2)已知函數(shù)的零點(或方程的根)的情況求參數(shù)的值或范圍；(3)利用函數(shù)零點的性質(zhì)求參數(shù)的范圍角度一利用函數(shù)零點比較大小 (2020臺州模擬)已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)exx2的零點為a，函數(shù)g(x)ln xx2的零點為b，則下列不等式中成立的是()Af(a)f(1)f(b) Bf(a)f(b)f(1)Cf(1)f(a)f(b) Df(b)f(1

9、)0恒成立，所以函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞增的，而f(0)e00210，所以函數(shù)f(x)的零點a(0，1)；由題意，知g(x)10，所以函數(shù)g(x)在(0，)上是單調(diào)遞增的，又g(1)ln 11210，所以函數(shù)g(x)的零點b(1，2)綜上，可得0a1b2.因為f(x)在R上是單調(diào)遞增的，所以f(a)f(1)f(b)故選A.【答案】A角度二已知函數(shù)的零點(或方程的根)的情況求參數(shù)的值或范圍 (1)設(shè)函數(shù)f(x)log2(2x1)，g(x)log2(2x1)，若關(guān)于x的函數(shù)F(x)g(x)f(x)m在1，2上有零點，則m的取值范圍為_(2)(2018高考浙江卷)已知R，函數(shù)f(x)當(dāng)2時，不等式

10、f(x)0的解集是_若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則的取值范圍是_【解析】(1)令F(x)0，即g(x)f(x)m0.所以mg(x)f(x)log2(2x1)log2(2x1)log2 log2.因為1x2，所以32x15.所以，1.所以log2 log2log2 ，即log2 mlog2 .所以m的取值范圍是.(2)若2，則當(dāng)x2時，令x40，得2x4；當(dāng)x2時，令x24x30，得1x2.綜上可知，1x4，所以不等式f(x)0的解集為(1，4)令x40，解得x4；令x24x30，解得x1或x3.因為函數(shù)f(x)恰有2個零點，結(jié)合函數(shù)的圖象(圖略)可知14.【答案】(1)(2)(1，4)(1，3

11、(4，)角度三利用函數(shù)零點的性質(zhì)求參數(shù)的范圍 已知函數(shù)f(x)|ln x|，若0ab，且f(a)f(b)，則a2b的取值范圍是()A(2，) B2，)C(3，) D3，)【解析】先作出f(x)的圖象如圖所示，通過圖象可知，如果f(a)f(b)，則0a10)，由0a1b可得ln a0，從而即所以a2b2et，而et1，又y2x在(1，)上為增函數(shù)，所以2et(3，)故選C.【答案】C已知函數(shù)的零點(或方程根)的情況求參數(shù)問題常用的三種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決(3)數(shù)形結(jié)合法：先對

12、解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解 1(2019高考浙江卷)設(shè)a，bR，函數(shù)f(x)若函數(shù)yf(x)axb恰有3個零點，則()Aa1，b0 Ba0Ca1，b1，b0解析：選C.由題意可得，當(dāng)x0時，f(x)axbx3(a1)x2b，令f(x)axb0，則bx3(a1)x2x22x3(a1)因為對任意的xR，f(x)axb0有3個不同的實數(shù)根，所以要使?jié)M足條件，則當(dāng)x0時，bx22x3(a1)必須有2個零點，所以0，解得a1.所以b0.故選C.2已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，轉(zhuǎn)化為

13、f(x)m0的根有3個，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為yf(x)，ym的交點有3個畫出函數(shù)yf(x)的圖象，則直線ym與其有3個公共點又拋物線頂點為(1，1)，由圖可知實數(shù)m的取值范圍是(0，1)答案：(0，1)3(2020杭州學(xué)軍中學(xué)高三質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)|2x1|ax5(a是常數(shù)，且aR)恰有兩個不同的零點，則a的取值范圍為_解析：由f(x)0，得|2x1|ax5.作出y|2x1|和yax5的圖象，觀察可以知道，當(dāng)2a0，f(3)0，f(5)0，根據(jù)零點存在性定理可知，f(x)在區(qū)間(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一個零點，故函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，6上的零點至少有3個2(2020溫州十校聯(lián)考

14、(一)設(shè)函數(shù)f(x)ln xx2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：選B.法一：因為f(1)ln 11210，所以f(1)f(2)0，因為函數(shù)f(x)ln xx2的圖象是連續(xù)的，所以函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間是(1，2)法二：函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為函數(shù)g(x)ln x，h(x)x2圖象交點的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間，作出兩函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為(1，2)3已知函數(shù)f(x)cos x，則f(x)在0，2上的零點個數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選C.作出g(x)與h(x)cos x的圖象如圖所示

15、，可以看到其在0，2上的交點個數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在0，2上的零點個數(shù)為3，故選C.4已知函數(shù)f(x)tan x，若實數(shù)x0是函數(shù)yf(x)的零點，且0tx0，則f(t)的值()A大于1 B大于0C小于0 D不大于0解析：選B.y1是減函數(shù)，y2tan x在上也是減函數(shù)，可知f(x)tan x在上單調(diào)遞減因為0tf(x0)0.故選B.5(2020蘭州模擬)已知奇函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)yf(2x21)f(x)只有一個零點，則實數(shù)的值是()A. B.C D解析：選C.因為函數(shù)yf(2x21)f(x)只有一個零點，所以方程f(2x21)f(x)0只有一個實數(shù)根，又函數(shù)f(x)是定義

16、在R上的奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，所以f(2x21)f(x)0f(2x21)f(x)f(2x21)f(x)2x21x，所以方程2x2x10只有一個實數(shù)根，所以(1)242(1)0，解得 .故選C.6(2020寧波市余姚中學(xué)期中檢測)已知函數(shù)f(x)kx2(kR)有四個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是()Ak0 Bk1C0k1解析：選D.分別畫出y與ykx2的圖象如圖所示，當(dāng)k0，x0時，令f(x)kx20，即kx32kx2x0，即x(kx22kx1)0，即x0或kx22kx10，因為4k24k0，且0時，方程有唯一解即當(dāng)x0時，方程有兩個解當(dāng)k0，x0，解得k1，綜上所述k1.7(2020

17、金麗衢十二校高三聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)，則f(f(e)_，函數(shù)yf(x)1的零點為_解析：因為f(x)，所以f(e)ln e1，f(f(e)f(1)tan 00，若01，f(x)1ln x1xe.答案：0e8已知函數(shù)f(x)a的零點為1，則實數(shù)a的值為_解析：由已知得f(1)0，即a0，解得a.答案：9已知函數(shù)f(x)則函數(shù)g(x)f(x)的零點所構(gòu)成的集合為_解析：令g(x)0，得f(x)，所以或解得x1或x或x，故函數(shù)g(x)f(x)的零點所構(gòu)成的集合為.答案：10(2020杭州學(xué)軍中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)|x34x|ax2恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：函數(shù)f(x)|x34x|

18、ax2恰有2個零點即函數(shù)y|x34x|與y2ax的圖象有2個不同的交點作出函數(shù)y|x34x|的圖象如圖，當(dāng)直線y2ax與曲線yx34x，x0，2相切時，設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，x4x0)，則切線方程為y(x4x0)(3x4)(xx0)，且經(jīng)過點(0，2)，代入解得x01，此時a1，由函數(shù)圖象的對稱性可得實數(shù)a的取值范圍為a1.答案：a111設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxb1(a0)(1)當(dāng)a1，b2時，求函數(shù)f(x)的零點；(2)若對任意bR，函數(shù)f(x)恒有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1，b2時，f(x)x22x3，令f(x)0，得x3或x1.所以函數(shù)f(x)的零點為3和1.(2)依

19、題意，f(x)ax2bxb10有兩個不同實根，所以b24a(b1)0恒成立，即對于任意bR，b24ab4a0恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，解得0a0時，有3個零點；當(dāng)k0時，有4個零點；當(dāng)k0)，則“f0，函數(shù)f(x)開口向上，f(x)有兩個零點，最小值必然小于0，當(dāng)取得最小值時，x，即f0，令f(x)，則f(f(x)f，因為f0，所以f(f(x)0，所以f(f(x)必有兩個零點同理f0f0，開口向上，f0，必有兩個零點所以C選項正確3(2020瑞安市龍翔高中高三月考)若關(guān)于x的不等式x2|xa|xa|，則02x2.在同一坐標(biāo)系畫出y2x2(y0，x0)和y|x|兩個函數(shù)圖象，將絕對值函數(shù)y|x|向左移動，當(dāng)右支經(jīng)過(0，2)點時，a2；將絕對值函數(shù)y|x|向右移動讓左支與拋物線y2x2(y0，x0)相切時，由，可得x2xa20，再由0解得a.數(shù)形結(jié)合可得，實數(shù)a的取值范圍是.答案：4已知函數(shù)f(x)，g(x)logx，記函數(shù)h(x)則函數(shù)F(x)h(x)x5的所有零點的和為_解析：由題意知函數(shù)h(x)的圖象如圖所示，易知函數(shù)h(x)的圖象關(guān)于直線yx對稱，函數(shù)F(x)所有零點的和就是函數(shù)yh(x)與函數(shù)y5x圖象交點橫坐標(biāo)的和，設(shè)圖象交點的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，因為兩函數(shù)圖象的交點關(guān)于直線yx對稱，所以5，所以x1x25.答案：514