《（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版選修2-2（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二章 推理與證明章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.整合本章知識(shí)要點(diǎn).2.進(jìn)一步理解合情推理與演繹推理的概念、思維形式、應(yīng)用等.3.進(jìn)一步熟練掌握直接證明與間接證明.4.理解數(shù)學(xué)歸納法，并會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題1合情推理(1)歸納推理：由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理(2)類(lèi)比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理：歸納推理和類(lèi)比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱(chēng)為合情推理2演繹推理(1)演繹推理：由一般到特殊的推理(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的

2、判斷3直接證明和間接證明(1)直接證明的兩類(lèi)基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推出結(jié)論的證明方法；分析法是從結(jié)論追溯到條件的證明方法(2)間接證明的一種方法是反證法，是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的方法4數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題證明時(shí)，它的兩個(gè)步驟缺一不可，它的第一步(歸納奠基)是證當(dāng)nn0時(shí)結(jié)論成立；第二步(歸納遞推)是假設(shè)當(dāng)nk時(shí)結(jié)論成立，推得當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也成立1歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類(lèi)比推理得到的結(jié)論一定正確()2“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的()3綜合法是直接證明，分

3、析法是間接證明()4反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾()類(lèi)型一合情推理與演繹推理例1(1)觀察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此規(guī)律，2222_.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案n(n1)解析第一個(gè)等式中1，2；第二個(gè)等式中，2，3；第三個(gè)等式中，3，4.由此可推得第n個(gè)等式等于n(n1)(2)根據(jù)圖(1)的面積關(guān)系：，可猜想圖(2)有體積關(guān)系：_.考點(diǎn)類(lèi)此推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類(lèi)比答案解析題干兩圖中，與PAB，PAB相對(duì)應(yīng)的是三棱錐PABC，PABC；與PAB兩邊PA，PB相對(duì)應(yīng)的是三棱錐PABC的三條側(cè)棱PA，P

4、B，PC.與PAB的兩條邊PA，PB相對(duì)應(yīng)的是三棱錐PABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC.由此，類(lèi)比題圖(1)的面積關(guān)系，得到題圖(2)的體積關(guān)系為.(3)有三張卡片，分別寫(xiě)有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是_考點(diǎn)演繹推理的綜合應(yīng)用題點(diǎn)演繹推理在其他方面的應(yīng)用答案1和3解析由題意可知丙不拿2和3.若丙拿1和2，則乙拿2和3，甲拿1和3，滿足題意；若丙拿1和3，則乙拿2和3，甲拿1和2，不滿足題意故甲的卡片上

5、的數(shù)字是1和3.反思與感悟(1)用歸納推理可從具體事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但應(yīng)注意，僅根據(jù)一系列有限的特殊事例，所得出的一般結(jié)論不一定可靠，其結(jié)論的正確與否，還要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的理論證明(2)進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上思考，不要被表面現(xiàn)象所迷惑，否則，只抓住一點(diǎn)表面的相似甚至假象就去類(lèi)比，就會(huì)犯機(jī)械類(lèi)比的錯(cuò)誤(3)演繹推理是由一般到特殊的推理，其結(jié)論不會(huì)超出前提所界定的范圍，所以其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是必然的因此，在演繹推理中，只要前提及推理正確，結(jié)論必然正確跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖是由火柴棒拼成的圖形，第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)：第4個(gè)圖形中有_根火柴棒；第n個(gè)圖形中有_根火柴棒考點(diǎn)歸

6、納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在圖形中的應(yīng)用答案133n1解析設(shè)第n個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)為an，可知a413.通過(guò)觀察得到遞推關(guān)系式anan13(n2，nN*)，所以an3n1.(2)若數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則有性質(zhì)“若SmSn(m，nN*且mn)，則Smn0.”類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，當(dāng)數(shù)列bn為等比數(shù)列時(shí)，寫(xiě)出一個(gè)正確的性質(zhì)：_.考點(diǎn)類(lèi)比推理的應(yīng)用題點(diǎn)等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類(lèi)比答案數(shù)列bn為等比數(shù)列，Tm表示其前m項(xiàng)的積，若TmTn(m，nN*，mn)，則Tmn1解析由等差數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)類(lèi)比推理到等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，加減運(yùn)算類(lèi)比推理為乘除運(yùn)算累加類(lèi)比為累乘，由此，等差數(shù)列an的

7、性質(zhì)類(lèi)比到等比數(shù)列bn中為：數(shù)列bn為等比數(shù)列，Tm表示其前m項(xiàng)的積，若TmTn(m，nN*，mn)，則Tmn1.類(lèi)型二綜合法與分析法例2試用分析法和綜合法分別推證下列命題：已知(0，)，求證：2sin 2.考點(diǎn)分析法和綜合法的綜合應(yīng)用題點(diǎn)分析法和綜合法的綜合應(yīng)用證明方法一分析法要證2sin 2成立，只需證4sin cos ，(0，)，sin 0，只需證4cos ，1cos 0，4cos (1cos )1，可變形為4cos24cos 10，只需證(2cos 1)20，顯然成立方法二綜合法4(1cos )4，當(dāng)且僅當(dāng)cos ，即時(shí)取等號(hào)，4cos .(0，)，sin 0，4sin cos ，2s

8、in 2.反思與感悟分析法和綜合法是兩種思路相反的推理方法：分析法是倒溯，綜合法是順推，二者各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法容易探路，且探路與表述合一，缺點(diǎn)是表述易錯(cuò)；綜合法條件清晰，易于表述，因此對(duì)于難題常把二者交互運(yùn)用，互補(bǔ)優(yōu)缺，形成分析綜合法，其邏輯基礎(chǔ)是充分條件與必要條件跟蹤訓(xùn)練2設(shè)a，b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且ab，求證：a3b3a2bab2.考點(diǎn)分析法及應(yīng)用題點(diǎn)分析法解決不等式問(wèn)題證明要證a3b3a2bab2成立，即需證(ab)(a2abb2)ab(ab)成立，即需證a2abb2ab成立只需證a22abb20成立，即需證(ab)20成立而由已知條件可知，ab，所以ab0，所以(ab)20顯然成立即a3b3

9、a2bab2.類(lèi)型三反證法例3若x，y都是正實(shí)數(shù)，且xy2，求證：2與2中至少有一個(gè)成立考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)2和0且y0，所以1x2y且1y2x，兩式相加，得2xy2x2y，所以xy2.這與已知xy2矛盾故2與2中至少有一個(gè)成立反思與感悟反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題時(shí)，也常用反證法跟蹤訓(xùn)練3已知：ac2(bd)求證：方程x2axb0與方程x2cxd0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)兩方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則1a24b0與2c24d0，有a2c22ac，即ac0，b0，則有()A

10、.2ba B.0，所以ex1,00，即f(x)0.所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)，使用的證明方法是()A綜合法 B分析法C反證法 D以上都不是考點(diǎn)綜合法及應(yīng)用題點(diǎn)利用綜合法解決函數(shù)問(wèn)題答案A解析這是從已知條件出發(fā)利用已知的定理證得結(jié)論的，是綜合法，故選A.2若ab0，則下列不等式中成立的是()A.bCbaD.n21對(duì)于nn0的自然數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2 B3C5 D6考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法第一步：歸納奠基答案C解析當(dāng)n取1,2,3,4時(shí)，2nn21不成立，當(dāng)n5時(shí)，253252126，即第一個(gè)能使2nn21成立的n值為5，故選C.7已知abc0，

11、則abbcca的值()A大于0 B小于0C不小于0 D不大于0考點(diǎn)綜合法及應(yīng)用題點(diǎn)綜合法的應(yīng)用答案D解析因?yàn)?abc)2a2b2c22(abbcca)0，又因?yàn)閍2b2c20，所以2(abbcca)0，即abbcca0.8某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)，其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊.學(xué)生序號(hào)12345678910立定跳遠(yuǎn)(單位：米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩(單位：次)63a7560637270a1b65在這10名學(xué)生中，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒

12、跳繩決賽的有6人，則()A2號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽B5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽C8號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽D9號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽考點(diǎn)演繹推理的綜合應(yīng)用題點(diǎn)演繹推理在其他方面的應(yīng)用答案B解析進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，根據(jù)成績(jī)應(yīng)是1號(hào)至8號(hào)若a63，則同時(shí)進(jìn)入兩決賽的不是6人，不符合題意；若61a63，則同時(shí)進(jìn)入兩決賽的有1,2,3,5,6,7號(hào)，符合題意；若a60，則同時(shí)進(jìn)入兩決賽的不是6人，不符合題意；若a59，則同時(shí)進(jìn)入兩決賽的有1,3,4,5,6,7號(hào)，符合題意綜上可知，5號(hào)進(jìn)入30秒跳繩決賽二、填空題9已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類(lèi)似的結(jié)論是_考

13、點(diǎn)類(lèi)比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類(lèi)比答案正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的解析原問(wèn)題的解法為等面積法，即正三角形的面積Sah13arrh1(其中a是正三角形的邊長(zhǎng)，h1是高，r是內(nèi)切圓半徑)類(lèi)比，用等體積法，VSh24RSRh2(其中S為底面正三角形的面積，h2是高，R是內(nèi)切球的半徑)10已知2，3，4，6，a，b均為正實(shí)數(shù)，由以上規(guī)律可推測(cè)出a，b的值，則ab_.考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案41解析由題意歸納推理得6，b62135，a6.ab63541.11完成反證法證題的全過(guò)程題目：設(shè)a1，a2，a7是由數(shù)字1,2，7任意排成的一個(gè)數(shù)列，求證：乘積p(a11

14、)(a22)(a77)為偶數(shù)證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則_均為奇數(shù)因?yàn)?個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有(a11)(a22)(a77)為_(kāi)而(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)_.與矛盾，故p為偶數(shù)考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用答案a11，a22，a77奇數(shù)0解析由假設(shè)p為奇數(shù)可知，(a11)，(a22)，(a77)均為奇數(shù)，故(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0為奇數(shù)，這與0為偶數(shù)相矛盾三、解答題12用綜合法或分析法證明：(1)如果a，b0，則lg；(2)622.考點(diǎn)分析法和綜合法的綜合應(yīng)用題點(diǎn)分析法和綜合法的綜合應(yīng)用證明(1)當(dāng)a，b0時(shí)，有，lglg，lglg

15、(ab).(2)要證22，只需證()2(22)2，即22，這是顯然成立的，原不等式成立13求證：不論x，y取何非零實(shí)數(shù)，等式總不成立考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)x，y使得等式成立于是有y(xy)x(xy)xy，即x2y2xy0，即2y20.由y0，得y20.又20，所以2y20.與x2y2xy0矛盾，故原命題成立四、探究與拓展14設(shè)S，V分別表示表面積和體積，如ABC的面積用SABC表示，三棱錐OABC的體積用VOABC表示，對(duì)于命題：如果O是線段AB上一點(diǎn)，則|0.將它類(lèi)比到平面的情形時(shí)，應(yīng)該有：若O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，有SOBCSOCASOBA0.將它類(lèi)比到空間的情形時(shí)

16、，應(yīng)該有：若O是三棱錐ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則有_考點(diǎn)類(lèi)比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類(lèi)比答案VOBCDVOACDVOABDVOABC015給出下列等式：11，14(12)，149123，14916(1234)，(1)寫(xiě)出第5個(gè)和第6個(gè)等式，并猜想第n(nN*)個(gè)等式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜想的等式考點(diǎn)利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式題點(diǎn)等式中的歸納、猜想、證明(1)解第5個(gè)等式為149162512345，第6個(gè)等式為149162536(123456)猜想第n個(gè)等式為12223242(1)n1n2(1)n1(123n)(2)證明當(dāng)n1時(shí)，左邊121，右邊(1)011，左邊右邊，猜想成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，猜想成立，即12223242(1)k1k2(1)k1，則當(dāng)nk1時(shí)，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k，故當(dāng)nk1時(shí)，猜想也成立由可知，對(duì)于任意nN*，猜想均成立16