《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 1.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)（一）學案 新人教A版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 1.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)（一）學案 新人教A版選修2-2（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、13.2函數(shù)的極值與導數(shù)(一)學習目標1.了解函數(shù)極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導數(shù)的關系.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.3.掌握函數(shù)在某一點取得極值的條件知識點一函數(shù)的極值點和極值思考觀察函數(shù)yf(x)的圖象，指出其極大值點和極小值點及極值答案極大值點為e，g，i，極大值為f(e)，f(g)，f(i)；極小值點為d，f，h，極小值為f(d)，f(f)，f(h)梳理(1)極小值點與極小值若函數(shù)yf(x)在點xa的函數(shù)值f(a)比它在點xa附近其他點的函數(shù)值都小，f(a)0，而且在點xa附近的左側f(x)0，就把點a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值(

2、2)極大值點與極大值若函數(shù)yf(x)在點xb的函數(shù)值f(b)比它在點xb附近其他點的函數(shù)值都大，f(b)0，而且在點xb附近的左側f(x)0，右側f(x)0，在x0的右側函數(shù)單調遞減，即f(x)0，那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側函數(shù)單調遞減，即f(x)0，那么f(x0)是極小值(2)求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f(x)；求方程f(x)0的根；列表；利用f(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點左右兩側單調性的變化情況求極值1導數(shù)為0的點一定是極值點()2函數(shù)的極大值一定大于極小值()3函數(shù)yf(x)一定有極大值和極小值()4極值點處的導數(shù)一定為0.

3、()類型一求函數(shù)的極值點和極值例1求下列函數(shù)的極值(1)f(x)2；(2)f(x).考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題解(1)函數(shù)f(x)的定義域為R.f(x).令f(x)0，得x1或x1.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)極小值極大值由上表可以看出，當x1時，函數(shù)有極小值，且極小值為f(1)3；當x1時，函數(shù)有極大值，且極大值為f(1)1.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，且f(x).令f(x)0，解得xe.當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)極大

4、值因此，xe是函數(shù)的極大值點，極大值為f(e)，沒有極小值反思與感悟函數(shù)極值和極值點的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并列成表格(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況特別提醒：當實數(shù)根較多時，要充分利用表格，使極值點的確定一目了然跟蹤訓練1求下列函數(shù)的極值點和極值(1)f(x)x3x23x3；(2)f(x)x2ex.考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題解(1)f(x)x22x3.令f(x)0，得x11，x23，當x變化時，f(x)，f(x)

5、的變化情況如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)極大值極小值由上表可以看出，當x1時，函數(shù)有極大值，且極大值f(1)，當x3時，函數(shù)有極小值，且極小值f(3)6.(2)函數(shù)f(x)的定義域為R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x0或x2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)極小值極大值由上表可以看出，當x0時，函數(shù)有極小值，且極小值為f(0)0.當x2時，函數(shù)有極大值，且極大值為f(2)4e2.例2已知函數(shù)f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，當實數(shù)a時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間

6、與極值考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點含參數(shù)求極值問題解f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2，由a知2aa2.分以下兩種情況討論：若a，則2aa2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函數(shù)，在(2a，a2)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在x2a處取得極大值f(2a)，且f(2a)3ae2a，函數(shù)f(x)在xa2處取得極小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.若aa2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，a2)a2

7、(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)在(，a2)，(2a，)上是增函數(shù)，在(a2，2a)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在xa2處取得極大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2，函數(shù)f(x)在x2a處取得極小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.反思與感悟討論參數(shù)應從f(x)0的兩根x1，x2相等與否入手進行跟蹤訓練2已知函數(shù)f(x)xaln x(aR)(1)當a2時，求曲線yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點含參數(shù)求極值問題解函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)1.(1)當a2時，f(x)

8、x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1.所以曲線yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程為y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0，知當a0時，f(x)0，函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；當a0時，由f(x)0，解得xa.又當x(0，a)時，f(x)0，從而函數(shù)f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aaln a，無極大值綜上，當a0時，函數(shù)f(x)無極值；當a0時，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無極大值類型二利用函數(shù)的極值求參數(shù)例3(1)已知函數(shù)f(x)的導數(shù)f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa處取到極大值，

9、則a的取值范圍是()A(，1) B(0，)C(0,1) D(1,0)(2)已知函數(shù)f(x)x33ax2bxa2在x1時有極值0，則a_，b_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值點求參數(shù)答案(1)D(2)29解析(1)若a1，因為f(x)a(x1)(xa)，所以f(x)在(，a)上單調遞減，在(a，1)上單調遞增，所以f(x)在xa處取得極小值，與題意不符；若1a0，則f(x)在(1，a)上單調遞減，在(a，)上單調遞增，與題意不符，故選D.(2)因為f(x)在x1時有極值0，且f(x)3x26axb，所以即解得或當a1，b3時，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上為增函數(shù)

10、，無極值，故舍去當a2，b9時，f(x)3x212x93(x1)(x3)當x(3，1)時，f(x)為減函數(shù)，當x(1，)時，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)在x1處取得極小值，因此a2，b9.反思與感悟已知函數(shù)的極值求參數(shù)時應注意兩點(1)待定系數(shù)法：常根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值兩個條件列出方程組，用待定系數(shù)法求解(2)驗證：因為導數(shù)值為0不一定此點就是極值點，故利用上述方程組解出的解必須驗證跟蹤訓練3設x1與x2是函數(shù)f(x)aln xbx2x的兩個極值點(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)判斷x1，x2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值點求參

11、數(shù)解(1)f(x)aln xbx2x，f(x)2bx1，f(1)f(2)0，a2b10且4b10，解得a，b.(2)由(1)可知f(x)ln xx2x，且定義域是(0，)，f(x)x1x1.當x(0,1)時，f(x)0；當x(2，)時，f(x)0，x(2,4)時，f(x)0.f(x)在(1,2)，(4,5)上為增函數(shù)，在(2,4)上為減函數(shù)，x2是f(x)在1,5上的極大值點，x4是極小值點故選D.2設函數(shù)f(x)ln x，則()Ax為f(x)的極大值點Bx為f(x)的極小值點Cx2為f(x)的極大值點Dx2為f(x)的極小值點考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案D解

12、析函數(shù)f(x)ln x的定義域為(0，)f(x)，令f(x)0，即0得，x2，當x(0,2)時，f(x)0.因為x2為f(x)的極小值點，故選D.3函數(shù)f(x)ax1ln x(a0)在定義域內的極值點的個數(shù)為_考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點判斷極值點的個數(shù)答案0解析因為x0，f(x)a，所以當a0時，f(x)0；在區(qū)間(0，)上，y0，當x(1，e)時，f(x)0，得x3.4設三次函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x)，函數(shù)yxf(x)的圖象的一部分如圖所示，則()Af(x)極大值為f()，極小值為f()Bf(x)極大值為f()，極小值為f()Cf(x)極大值為f(3)，極小值為f(3)Df(x)

13、極大值為f(3)，極小值為f(3)考點函數(shù)極值的綜合應用題點函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應用答案D解析當x0，即f(x)0；當3x3時，f(x)0.f(x)的極大值是f(3)，f(x)的極小值是f(3)5已知函數(shù)f(x)x3px2qx的圖象與x軸切于點(1,0)，則f(x)的()A極大值為，極小值為0B極大值為0，極小值為C極小值為，極大值為0D極大值為，極小值為0考點函數(shù)某點處取得極值的條件題點不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案A解析f(x)3x22pxq.由函數(shù)f(x)的圖象與x軸切于點(1,0)，得pq1，q1p，32pq0，聯(lián)立，解得p2，q1，函數(shù)f(x)x32x2x，則f(x)3x24x1，令

14、f(x)0得x1或x.當x時，f(x)0，f(x)單調遞增，當x1時，f(x)0，f(x)單調遞減，當x1時，f(x)0，f(x)單調遞增，f(x)極大值f，f(x)極小值f(1)0.故選A.6設ab，函數(shù)y(xa)2(xb)的圖象可能是()考點函數(shù)極值的綜合應用題點函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應用答案C解析y(xa)(3xa2b)，由y0得x1a，x2.當xa時，y取得極大值0，當x時，y取得極小值且極小值為負，故選C.7已知函數(shù)f(x)ex(sin xcos x)，x(0,2 017)，則函數(shù)f(x)的極大值之和為()A. B.C. D.考點函數(shù)某點處取得極值的條件題點不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答

15、案B解析f(x)2exsin x，令f(x)0得sin x0，xk，kZ，當2kx0，f(x)單調遞增，當(2k1)x2k時，f(x)0，f(x)單調遞減，當x(2k1)時，f(x)取到極大值，x(0,2 017)，0(2k1)2 017，0k0恒成立，得當x2或x1時，f(x)0，且x0；當2x1時，f(x)1時，f(x)0.所以x1是函數(shù)f(x)的極小值點所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)1.11已知函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處取得極值10，則f(1)_.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值(點)求參數(shù)答案30解析由題意知即解得或經(jīng)檢驗知，當時，f(x)0，不合題意f(x)x3

16、4x211x16，則f(1)30.三、解答題12設函數(shù)f(x)aln xx1，其中aR，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于y軸(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點不含參數(shù)函數(shù)求極值解(1)f(x).由題意知，曲線在x1處的切線斜率為0，即f(1)0，從而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(舍去)當x(0,1)時，f(x)0，故f(x)在(1，)上為單調遞增函數(shù)故f(x)在x1處取得極小值，極小值為f(1)3.13已知函數(shù)f(x)x3mx22m2x4(m為常數(shù)，且m0)有極大值

17、，求m的值考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值(點)求參數(shù)解f(x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)，令f(x)0，得xm或xm.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，m)mmf(x)00f(x)極大值極小值f(x)有極大值f(m)m3m32m34，m1.四、探究與拓展14設函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f(x)，且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，則函數(shù)yxf(x)的圖象可能是()考點函數(shù)極值的綜合應用題點函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應用答案C解析由題意可得f(2)0，而且當x(，2)時，f(x)0；排除B，D，當x(2，)時，f(x)0，此時若x(2,0)，xf(x)0，

18、所以函數(shù)yxf(x)的圖象可能是C.15已知函數(shù)f(x)(x2axa)ex(a2，xR)(1)當a1時，求f(x)的單調區(qū)間；(2)是否存在實數(shù)a，使f(x)的極大值為3？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值(點)求參數(shù)解(1)f(x)(x2x1)ex，f(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x23x2)ex.當f(x)0時，解得x1，當f(x)0時，解得2x1，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(，2)，(1，)；單調遞減區(qū)間為(2，1)(2)令f(x)(2xa)ex(x2axa)exx2(2a)x2aex(xa)(x2)ex0，得xa或x2.當a2時，f(x)0恒成立，函數(shù)無極值，故舍去；當a2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2，a)a(a，)f(x)00f(x)極大值極小值由表可知，f(x)極大值f(2)(42aa)e23，解得a43e22，所以存在實數(shù)a2，使f(x)的極大值為3，此時a43e2.17