《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修2-2（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 §2.3　數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題． 知識點　數(shù)學(xué)歸納法 對于一個與正整數(shù)有關(guān)的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0. 思考1　驗證當(dāng)n＝1，n＝2，…，n＝50時等式成立嗎？ 答案　成立． 思考2　能否通過以上等式歸納出當(dāng)n＝51時等式也成立？為什么？ 答案　不能，上面的等式只對n取1至50的正整數(shù)成立． 梳理　(1)數(shù)學(xué)歸納法的定義 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： ①(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立； ②(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥n0

2、，k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立． 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法． (2)數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示 1．與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法．(　×　) 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1.(　×　) 3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可．(　√　) 類型一　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 例1　用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N*. 考點　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 題點　利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 證明　(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝

3、1×4＝4，右邊＝1×22＝4，左邊＝右邊，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時等式成立， 即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2， 那么當(dāng)n＝k＋1時， 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2， 即當(dāng)n＝k＋1時等式也成立． 根據(jù)(1)和(2)可知等式對任何n∈N*都成立． 反思與感悟　用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時，一是弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況；二是弄清從n＝k到n＝k＋1等

4、式兩端增加了哪些項，減少了哪些項；三是證明n＝k＋1時結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝n＝k＋1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形． 跟蹤訓(xùn)練1　求證：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)． 考點　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 題點　利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 證明　(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1－＝， 右邊＝＝，左邊＝右邊． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時等式成立， 即1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋， 則當(dāng)n＝k＋1時， ＋ ＝＋ ＝＋＋…＋＋. 即當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立． 綜合(1)，(2)可知，對一切n∈N*，等式成立． 類型二　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

5、例2　求證：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)． 考點　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 題點　利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 證明　(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝＋＋＋＝， 故左邊>右邊，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時，命題成立， 即＋＋…＋>， 則當(dāng)n＝k＋1時， ＋＋…＋＋＋＋ ＝＋＋…＋＋ >＋.(*) 方法一　(分析法) 下面證(*)式≥， 即＋＋－≥0， 只需證(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0， 只需證(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k

6、2＋27k＋6)≥0， 只需證9k＋5≥0，顯然成立． 所以當(dāng)n＝k＋1時，不等式也成立． 方法二　(放縮法) (*)式>＋＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時，不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式對一切n≥2，n∈N*均成立． 引申探究　 把本例改為求證：＋＋＋…＋>(n∈N*)． 證明　(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝>，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，不等式成立， 即＋＋＋…＋>， 則當(dāng)n＝k＋1時，＋＋…＋＋＋ ＝＋＋＋…＋＋＋－ >＋＋－， ∵＋－＝＝>0， ∴＋＋＋…＋＋＋－>＋＋－>， ∴當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立． 由(1)(2)

7、知對于任意正整數(shù)n，不等式成立． 反思與感悟　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個關(guān)鍵 (1)驗證第一個n的值時，要注意n0不一定為1，若n>k(k為正整數(shù))，則n0＝k＋1. (2)證明不等式的第二步中，從n＝k到n＝k＋1的推導(dǎo)過程中，一定要用到歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因為缺少歸納假設(shè)． (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小，對第二類形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個n值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明． (4)用數(shù)學(xué)歸納法

8、證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時成立得n＝k＋1時成立，主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等． 跟蹤訓(xùn)練2　在數(shù)列{an}中，已知a1＝a(a>2)，an＋1＝(n∈N*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an>2(n∈N*)． 考點　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 題點　利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 證明?、佼?dāng)n＝1時，a1＝a>2，命題成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，命題成立，即ak>2，則當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1－2＝－2＝>0， ∴當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立． 由①②得，對任意正整數(shù)n，都有an>2. 類型三　歸納—猜想—證明 例3　已知數(shù)列{an}滿足關(guān)系式a1＝a(a>

9、0)，an＝(n≥2，n∈N*)， (1)用a表示a2，a3，a4； (2)猜想an的表達(dá)式(用a和n表示)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 考點　數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題 題點　利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項問題 解　(1)a2＝， a3＝＝＝， a4＝＝＝. (2)因為a1＝a＝， a2＝，…， 猜想an＝. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)n＝1時， 因為a1＝a＝， 所以當(dāng)n＝1時猜想成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時猜想成立， 即ak＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時， ak＋1＝＝ ＝ ＝ ＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時猜想也成立． 根據(jù)①與②可知猜想對一切n∈

10、N*都成立． 反思與感悟　“歸納—猜想—證明”的一般步驟 跟蹤訓(xùn)練3　考察下列各式 2＝2×1 3×4＝4×1×3 4×5×6＝8×1×3×5 5×6×7×8＝16×1×3×5×7 你能做出什么一般性的猜想？能證明你的猜想嗎？ 考點　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 題點　等式中的歸納，猜想、證明 解　由題意得，2＝2×1,3×4＝4×1×3,4×5×6＝8×1×3×5,5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…， 猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)， 下面利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明． (1)當(dāng)n＝1時，猜想顯然成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝

11、k(k≥1，k∈N*)時，猜想成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)， 那么當(dāng)n＝k＋1時， (k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1) ＝(k＋1)(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2 ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k＋1) ＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1] 所以當(dāng)n＝k＋1時猜想成立． 根據(jù)(1)(2)可知對任意正整數(shù)猜想均成立. 1．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，計算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3

12、，f(32)>，由此推算：當(dāng)n≥2時，有(　　) A．f(2n)>(n∈N*) B．f(2n)>(n∈N*) C．f(2n)>(n∈N*) D．f(2n)>(n∈N*) 考點　利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 題點　不等式中的歸納、猜想、證明 答案　D 解析　f(4)>2改寫成f(22)>；f(8)>改寫成f(23)>；f(16)>3改寫成f(24)>；f(32)>改寫成f(25)>，由此可歸納得出：當(dāng)n≥2時，f(2n)>(n∈N*)． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在驗證n＝1時，左端計算所得項為(　　) A．1＋a B．1＋a＋a2

13、C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4 考點　數(shù)學(xué)歸納法定義及原理 題點　數(shù)學(xué)歸納法第一步：歸納奠基 答案　C 解析　將n＝1代入a2n＋1得a3，故選C. 3．若命題A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)時成立，則有n＝k＋1時命題成立．現(xiàn)知命題對n＝n0(n0∈N*)時成立，則有(　　) A．命題對所有正整數(shù)都成立 B．命題對小于n0的正整數(shù)不成立，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立 C．命題對小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立 D．以上說法都不正確 考點　數(shù)學(xué)歸納法定義及原理 題點　數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推 答案　C

14、 解析　由已知，得n＝n0(n0∈N*)時命題成立，則n＝n0＋1時命題成立， 在n＝n0＋1時命題成立的前提下，又可推得，n＝(n0＋1)＋1時命題也成立， 依此類推，可知選C. 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的過程如下： (1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，則當(dāng)n＝k＋1時，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立．由此可知對于任何n∈N*，等式都成立． 上述證明，錯誤是________． 考

15、點　數(shù)學(xué)歸納法定義及原理 題點　數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推 答案　未用歸納假設(shè) 解析　本題在由n＝k成立證明n＝k＋1成立時， 應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式， 而未用上歸納假設(shè)，這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符． 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋…＋＝(n∈N*)． 考點　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 題點　利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 證明?、佼?dāng)n＝1時，左邊＝＝， 右邊＝＝， 左邊＝右邊，等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，等式成立． 即＋＋…＋＝， 當(dāng)n＝k＋1時， 左邊＝＋＋…＋＋ ＝＋ ＝ ＝ ＝， 右邊＝＝， 左邊＝右邊，等式成立． 即對所有n∈N*，

16、原式都成立． 在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題時應(yīng)注意以下幾點： (1)驗證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗證的初始值不一定是1. (2)遞推是關(guān)鍵：正確分析由n＝k到n＝k＋1時式子項數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障； (3)利用假設(shè)是核心：在第二步證明中一定要利用歸納假設(shè)，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心環(huán)節(jié)，否則這樣的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法證明. 一、選擇題 1．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步應(yīng)驗證n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考點　數(shù)學(xué)歸納法定義及原理 題點　數(shù)學(xué)歸納法第一步：歸納奠基 答案　C 解析　由

17、凸多邊形的性質(zhì)，應(yīng)先驗證三角形，故選C. 2．某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)n＝k(k∈N*)時，該命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時，該命題也成立．現(xiàn)在已知當(dāng)n＝5時，該命題成立，那么可推導(dǎo)出(　　) A．當(dāng)n＝6時命題不成立 B．當(dāng)n＝6時命題成立 C．當(dāng)n＝4時命題不成立 D．當(dāng)n＝4時命題成立 考點　數(shù)學(xué)歸納法定義及原理 題點　數(shù)學(xué)歸納第二步：歸納遞推 答案　B 3．設(shè)Sk＝＋＋＋…＋，則Sk＋1為(　　) A．Sk＋ B．Sk＋＋ C．Sk＋－ D．Sk＋－ 考點　數(shù)學(xué)歸納法定義及原理 題點　數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推 答案　C 解析　因式子右邊各

18、分?jǐn)?shù)的分母是連續(xù)正整數(shù)， 則由Sk＝＋＋…＋，① 得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.② 由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－ ＝－. 故Sk＋1＝Sk＋－. 4．一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題中，當(dāng)n＝2時命題成立，且由n＝k時命題成立，可以推得n＝k＋2時命題也成立，則(　　) A．該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立 B．該命題對于所有的正偶數(shù)都成立 C．該命題何時成立與k取值無關(guān) D．以上答案都不對 考點　數(shù)學(xué)歸納法定義及原理 題點　數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推 答案　B 解析　由n＝k時命題成立，可以推出n＝k＋2時命題也成立，且使命題成立的第一個正偶數(shù)n0＝2.故對所有的正偶數(shù)都

19、成立． 5．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命題總成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，則當(dāng)k≤5時，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，則當(dāng)k≥8時，均有f(k)

20、，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次計算a2，a3，a4，歸納推測出an的通項表達(dá)式為(　　) A. B. C. D. 考點　數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題 題點　利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項問題 答案　B 解析　結(jié)合題意，得a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…，可推測an＝，故選B. 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)的過程中，從n＝k到n＝k＋1左端需要增乘的代數(shù)式為(　　) A．2k＋1 B. C．2(2k＋1) D. 考點　數(shù)學(xué)歸納法定義及原理 題點　數(shù)學(xué)歸納法的第二步：歸納遞推 答案　

21、C 解析　當(dāng)n＝k＋1時，左端為(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)(2k＋1)·2，∴應(yīng)增乘2(2k＋1)． 二、填空題 8．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于足夠大的自然數(shù)n，總有2n>n3”時，驗證第一步不等式成立所取的第一個值n0最小應(yīng)當(dāng)是________． 考點　數(shù)學(xué)歸納法定義及原理 題點　數(shù)學(xué)歸納法第一步：歸納奠基 答案　10 9．證明：假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即當(dāng)n＝k＋1

22、時等式也成立．因此對于任何n∈N*等式都成立． 以上用數(shù)學(xué)歸納法證明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的過程中的錯誤為_________． 考點　數(shù)學(xué)歸納法定義及原理 題點　數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推 答案　缺少步驟歸納奠基 10．已知f(n)＝1＋＋＋…＋，n∈N*，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>時，f(2n＋1)－f(2n)＝________________________________________________________________________. 考點　數(shù)學(xué)歸納法定義及原理 題點　數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推 答案?。? 三、解答題 11

23、．用數(shù)學(xué)歸納法證明·…·＝(n≥2，n∈N*)． 考點　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 題點　利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 證明　(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝1－＝， 右邊＝＝， 所以左邊＝右邊，所以當(dāng)n＝2時等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時等式成立， 即·…·＝， 那么當(dāng)n＝k＋1時，·…·＝ ＝· ＝＝， 即當(dāng)n＝k＋1時，等式成立． 綜合(1)(2)知，對任意n≥2，n∈N*，等式恒成立． 12．用數(shù)學(xué)歸納法證明：＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)． 考點　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 題點　利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 證明　(1)當(dāng)n＝2時，左式＝＝， 右式

24、＝1－＝. 因為<，所以不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時，不等式成立， 即＋＋＋…＋<1－， 則當(dāng)n＝k＋1時， ＋＋＋…＋＋<1－＋ ＝1－＝1－<1－ ＝1－， 所以當(dāng)n＝k＋1時，不等式也成立． 綜上所述，對任意n≥2的正整數(shù)，不等式都成立． 四、探究與拓展 13．用數(shù)學(xué)歸納法證明“34n＋1＋52n＋2(n∈N*)能被14整除”時，當(dāng)n＝k＋1時，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋2應(yīng)變形為________________． 考點　數(shù)學(xué)歸納法定義及原理 題點　數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推 答案　34×(34k＋1＋52k＋2)－52k＋

25、2×14×4 解析　34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋2＝34×34k＋1＋52×52k＋2＝34×34k＋1＋34×52k＋2＋52×52k＋2－34×52k＋2＝34×(34k＋1＋52k＋2)－52k＋2×(34－52)＝34×(34k＋1＋52k＋2)－52k＋2×14×4. 14．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1－nan(n∈N*)． (1)計算a1，a2，a3，a4； (2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論． 考點　數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題 題點　利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項問題 解　(1)計算得a1＝；a2＝；a3＝；a4＝. (2)猜想：an＝. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)n＝1時，猜想顯然成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，猜想成立， 即ak＝， 那么，當(dāng)n＝k＋1時，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1， 即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1. 又Sk＝1－kak＝， 所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1， 從而ak＋1＝＝， 即n＝k＋1時，猜想也成立． 故由①和②可知猜想成立． 16