《（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修2-2（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.3數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題知識(shí)點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的等式n(n1)(n2)(n50)0.思考1驗(yàn)證當(dāng)n1，n2，n50時(shí)等式成立嗎？答案成立思考2能否通過(guò)以上等式歸納出當(dāng)n51時(shí)等式也成立？為什么？答案不能，上面的等式只對(duì)n取1至50的正整數(shù)成立梳理(1)數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立；(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都

2、成立這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法(2)數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示1與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法()2數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1.()3數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可()類型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1427310n(3n1)n(n1)2，其中nN*.考點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式題點(diǎn)利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊144，右邊1224，左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)等式成立，即1427310k(3k1)k(k1)2，那么當(dāng)nk1時(shí)，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k

3、4)(k1)(k1)12，即當(dāng)nk1時(shí)等式也成立根據(jù)(1)和(2)可知等式對(duì)任何nN*都成立反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí)，一是弄清n取第一個(gè)值n0時(shí)等式兩端項(xiàng)的情況；二是弄清從nk到nk1等式兩端增加了哪些項(xiàng)，減少了哪些項(xiàng)；三是證明nk1時(shí)結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝nk1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形跟蹤訓(xùn)練1求證：1(nN*)考點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式題點(diǎn)利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊，左邊右邊(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，.即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立綜合(1)，(2)可知，對(duì)一切nN*，等式成立類型二用數(shù)學(xué)歸納法證明

4、不等式例2求證：(n2，nN*)考點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式題點(diǎn)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊，故左邊右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)，命題成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，.(*)方法一(分析法)下面證(*)式，即0，只需證(3k2)(3k3)(3k1)(3k3)(3k1)(3k2)3(3k1)(3k2)0，只需證(9k215k6)(9k212k3)(9k29k2)(27k227k6)0，只需證9k50，顯然成立所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立方法二(放縮法)(*)式，所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式對(duì)一切n2，nN*均成立引申探究把本例改為求證：

5、(nN*)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，0，當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立由(1)(2)知對(duì)于任意正整數(shù)n，不等式成立反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個(gè)關(guān)鍵(1)驗(yàn)證第一個(gè)n的值時(shí)，要注意n0不一定為1，若nk(k為正整數(shù))，則n0k1.(2)證明不等式的第二步中，從nk到nk1的推導(dǎo)過(guò)程中，一定要用到歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)槿鄙贇w納假設(shè)(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小，對(duì)第二類形式往往要先對(duì)n取前幾個(gè)

6、值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)n值開(kāi)始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時(shí)成立得nk1時(shí)成立，主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等跟蹤訓(xùn)練2在數(shù)列an中，已知a1a(a2)，an1(nN*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an2(nN*)考點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式題點(diǎn)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式證明當(dāng)n1時(shí)，a1a2，命題成立；假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，命題成立，即ak2，則當(dāng)nk1時(shí)，ak1220，當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立由得，對(duì)任意正整數(shù)n，都有an2.類型三歸納猜想證明例3已知數(shù)列an滿足關(guān)系式a1a(a0)，an(n2，nN*)，

7、(1)用a表示a2，a3，a4；(2)猜想an的表達(dá)式(用a和n表示)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題題點(diǎn)利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題解(1)a2，a3，a4.(2)因?yàn)閍1a，a2，猜想an.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時(shí)，因?yàn)閍1a，所以當(dāng)n1時(shí)猜想成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)猜想成立，即ak，所以當(dāng)nk1時(shí)，ak1，所以當(dāng)nk1時(shí)猜想也成立根據(jù)與可知猜想對(duì)一切nN*都成立反思與感悟“歸納猜想證明”的一般步驟跟蹤訓(xùn)練3考察下列各式2213441345681355678161357你能做出什么一般性的猜想？能證明你的猜想嗎？考點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式題點(diǎn)等式中的歸納，猜想、證

8、明解由題意得，221,34413,4568135,5678161357，猜想：(n1)(n2)(n3)2n2n135(2n1)，下面利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明(1)當(dāng)n1時(shí)，猜想顯然成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，猜想成立，即(k1)(k2)(k3)2k2k135(2k1)，那么當(dāng)nk1時(shí)，(k11)(k12)(k13)2(k1)(k1)(k2)2k(2k1)22k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)2k11352(k1)1所以當(dāng)nk1時(shí)猜想成立根據(jù)(1)(2)可知對(duì)任意正整數(shù)猜想均成立.1已知f(n)1(nN*)，計(jì)算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(3

9、2)，由此推算：當(dāng)n2時(shí)，有()Af(2n)(nN*)Bf(2n)(nN*)Cf(2n)(nN*)Df(2n)(nN*)考點(diǎn)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式題點(diǎn)不等式中的歸納、猜想、證明答案D解析f(4)2改寫成f(22)；f(8)改寫成f(23)；f(16)3改寫成f(24)；f(32)改寫成f(25)，由此可歸納得出：當(dāng)n2時(shí)，f(2n)(nN*)2用數(shù)學(xué)歸納法證明“1aa2a2n1(a1)”在驗(yàn)證n1時(shí)，左端計(jì)算所得項(xiàng)為()A1a B1aa2C1aa2a3 D1aa2a3a4考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法第一步：歸納奠基答案C解析將n1代入a2n1得a3，故選C.3若命題A(n)(nN*

10、)在nk(kN*)時(shí)成立，則有nk1時(shí)命題成立現(xiàn)知命題對(duì)nn0(n0N*)時(shí)成立，則有()A命題對(duì)所有正整數(shù)都成立B命題對(duì)小于n0的正整數(shù)不成立，對(duì)大于或等于n0的正整數(shù)都成立C命題對(duì)小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定，對(duì)大于或等于n0的正整數(shù)都成立D以上說(shuō)法都不正確考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推答案C解析由已知，得nn0(n0N*)時(shí)命題成立，則nn01時(shí)命題成立，在nn01時(shí)命題成立的前提下，又可推得，n(n01)1時(shí)命題也成立，依此類推，可知選C.4用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n12n1(nN*)的過(guò)程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2111，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)n

11、k(kN*)時(shí)等式成立，即12222k12k1，則當(dāng)nk1時(shí)，12222k12k2k11.所以當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由此可知對(duì)于任何nN*，等式都成立上述證明，錯(cuò)誤是_考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推答案未用歸納假設(shè)解析本題在由nk成立證明nk1成立時(shí)，應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式，而未用上歸納假設(shè)，這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符5用數(shù)學(xué)歸納法證明：(nN*)考點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式題點(diǎn)利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式證明當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，等式成立即，當(dāng)nk1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，等式成立即對(duì)所有nN*，原式都成立在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)

12、應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問(wèn)題中驗(yàn)證的初始值不一定是1.(2)遞推是關(guān)鍵：正確分析由nk到nk1時(shí)式子項(xiàng)數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問(wèn)題的保障；(3)利用假設(shè)是核心：在第二步證明中一定要利用歸納假設(shè)，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心環(huán)節(jié)，否則這樣的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法證明.一、選擇題1在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n3)條時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證n等于()A1 B2C3 D4考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法第一步：歸納奠基答案C解析由凸多邊形的性質(zhì)，應(yīng)先驗(yàn)證三角形，故選C.2某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)nk(kN*)時(shí)，該命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時(shí)，該命題

13、也成立現(xiàn)在已知當(dāng)n5時(shí)，該命題成立，那么可推導(dǎo)出()A當(dāng)n6時(shí)命題不成立B當(dāng)n6時(shí)命題成立C當(dāng)n4時(shí)命題不成立D當(dāng)n4時(shí)命題成立考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納第二步：歸納遞推答案B3設(shè)Sk，則Sk1為()ASk BSkCSk DSk考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推答案C解析因式子右邊各分?jǐn)?shù)的分母是連續(xù)正整數(shù)，則由Sk，得Sk1.由，得Sk1Sk.故Sk1Sk.4一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題中，當(dāng)n2時(shí)命題成立，且由nk時(shí)命題成立，可以推得nk2時(shí)命題也成立，則()A該命題對(duì)于n2的自然數(shù)n都成立B該命題對(duì)于所有的正偶數(shù)都成立C該命題何時(shí)成立與k取值無(wú)關(guān)D以上答案都不對(duì)考

14、點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推答案B解析由nk時(shí)命題成立，可以推出nk2時(shí)命題也成立，且使命題成立的第一個(gè)正偶數(shù)n02.故對(duì)所有的正偶數(shù)都成立5設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命題總成立的是()A若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，則當(dāng)k5時(shí)，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，則當(dāng)k8時(shí)，均有f(k)n3”時(shí)，驗(yàn)證第一步不等式成立所取的第一個(gè)值n0最小應(yīng)當(dāng)是_考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法第一步：歸納奠基答案109證明：假設(shè)當(dāng)nk(

15、kN*)時(shí)等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即當(dāng)nk1時(shí)等式也成立因此對(duì)于任何nN*等式都成立以上用數(shù)學(xué)歸納法證明“242nn2n(nN*)”的過(guò)程中的錯(cuò)誤為_(kāi)考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推答案缺少步驟歸納奠基10已知f(n)1，nN*，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)時(shí)，f(2n1)f(2n)_.考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法第二步：歸納遞推答案三、解答題11用數(shù)學(xué)歸納法證明(n2，nN*)考點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式題點(diǎn)利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊1，右邊，所以左邊右邊，所以當(dāng)n2時(shí)等式成立(2)假

16、設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)等式成立，即，那么當(dāng)nk1時(shí)，即當(dāng)nk1時(shí)，等式成立綜合(1)(2)知，對(duì)任意n2，nN*，等式恒成立12用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(n2，nN*)考點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式題點(diǎn)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左式，右式1.因?yàn)?，所以不等式成?2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)，不等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，11111，所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立綜上所述，對(duì)任意n2的正整數(shù)，不等式都成立四、探究與拓展13用數(shù)學(xué)歸納法證明“34n152n2(nN*)能被14整除”時(shí)，當(dāng)nk1時(shí)，34(k1)152(k1)2應(yīng)變形為_(kāi)考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法定義及原理題點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法第二步

17、：歸納遞推答案34(34k152k2)52k2144解析34(k1)152(k1)23434k15252k23434k13452k25252k23452k234(34k152k2)52k2(3452)34(34k152k2)52k2144.14已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1nan(nN*)(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題題點(diǎn)利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題解(1)計(jì)算得a1；a2；a3；a4.(2)猜想：an.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時(shí)，猜想顯然成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，猜想成立，即ak，那么，當(dāng)nk1時(shí)，Sk11(k1)ak1，即Skak11(k1)ak1.又Sk1kak，所以ak11(k1)ak1，從而ak1，即nk1時(shí)，猜想也成立故由和可知猜想成立16