《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用章末復習學案 新人教A版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用章末復習學案 新人教A版選修2-2（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一章 導數(shù)及其應用章末復習學習目標1.理解導數(shù)的幾何意義，并能解決有關(guān)切線的問題.2.能熟練應用求導公式及運算法則.3.掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，并能應用其解決一些實際問題.4.了解定積分的概念及其簡單的應用1導數(shù)的概念(1)定義：函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率 ，稱為函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)(2)幾何意義：函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)是函數(shù)圖象在點(x0，f(x0)處的切線的斜率，表示為f(x0)，其切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(1)c0.(2)(x)x1.(3)(ax)axln a(a0)(4)(ex)ex.(5)(lo

2、gax)(a0，且a1)(6)(ln x).(7)(sin x)cos x.(8)(cos x)sin x.3導數(shù)的運算法則(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)4復合函數(shù)的求導法則(1)復合函數(shù)記法：yf(g(x)(2)中間變量代換：yf(u)，ug(x)(3)逐層求導法則：yxyuux.5函數(shù)的單調(diào)性、極值與導數(shù)(1)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減(2)函數(shù)的極值與導數(shù)極大值：在點xa附近，滿足f

3、(a)f(x)，當x0，當xa時，f(x)0，則點a叫做函數(shù)的極大值點，f(a)叫做函數(shù)的極大值；極小值：在點xa附近，滿足f(a)f(x)，當xa時，f(x)a時，f(x)0，則點a叫做函數(shù)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)的極小值(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值的步驟求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將函數(shù)yf(x)的極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值6微積分基本定理如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)7定積分的性質(zhì)(1)kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))(2)f1

4、(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0.()類型一導數(shù)幾何意義的應用例1設函數(shù)f(x)x3ax29x1(a0)，直線l是曲線yf(x)的一條切線，當l的斜率最小時，直線l與直線10xy6平行(1)求a的值；(2)求f(x)在x3處的切線方程考點求函數(shù)在某點處的切線方程題點求曲線的切線方程解(1)f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由題意知a2910，a1或1(舍去)故a1.(2)由(1)得a1，f(x)x22x9，則kf(3)6，f(3)10.f(x)在x3處的切線方程為y106(x3)，即6xy280.

5、反思與感悟利用導數(shù)求切線方程時關(guān)鍵是找到切點，若切點未知需設出常見的類型有兩種：一類是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，易求斜率進而寫出直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設切點為Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)，求出x1，y1的值，轉(zhuǎn)化為第一種類型跟蹤訓練1直線ykxb與曲線yx3ax1相切于點(2,3)，則b .考點求曲線在某點處的切線方程題點曲線的切線方程的應用答案15解析由題意知f(2)3，則a3.f(x)x33x1，f(x)3x23，f(2)32239k，又點(2,3)在直線y9xb上，b39215.類型二函數(shù)的單調(diào)

6、性、極值、最值問題例2設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當aln 21且x0時，exx22ax1.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點利用導數(shù)證明不等式(1)解由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)極小值故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)證明設g(x)exx

7、22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知當aln 21時，g(x)取最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是對任意xR，都有g(shù)(x)0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增于是當aln 21時，對任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0)而g(0)0，從而對任意x(0，)，都有g(shù)(x)0，即exx22ax10，故exx22ax1.反思與感悟本類題考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和證明不等式，考查運算能力、分析問題、解決問題的能力跟蹤訓練2已知函數(shù)f(x)xln x.(1)求f(x)的最小值；(2)若對所有x1都有f(x)ax1，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若關(guān)于

8、x的方程f(x)b恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍考點函數(shù)極值的綜合應用題點函數(shù)零點與方程的根解(1)f(x)的定義域是(0，)，f(x)1ln x，令f(x)0，解得x，令f(x)0，解得0x，故f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故f(x)minfln.(2)f(x)xln x，當x1時，f(x)ax1恒成立，等價于xln xax1(x1)恒成立，等價于aln x(x1)恒成立，令g(x)ln x，則ag(x)min(x1)恒成立；g(x)，當x1時，g(x)0，g(x)在1，)上單調(diào)遞增，g(x)ming(1)1，a1，即實數(shù)a的取值范圍為(，1(3)若關(guān)于x的方程f(x)b恰

9、有兩個不相等的實數(shù)根，即yb和yf(x)在(0，)上有兩個不同的交點，由(1)知當0x時，f(x)0，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，f(x)minfln；故當b0時，滿足yb和yf(x)在(0，)上有兩個不同的交點，即若關(guān)于x的方程f(x)b恰有兩個不相等的實數(shù)根，則b0時，x4或x0，當F(x)0時，0x時，y0，即單調(diào)遞增區(qū)間為，故選D.4體積為16的圓柱，當它的半徑為 時，圓柱的表面積最小考點利用導數(shù)求幾何模型的最值問題題點利用導數(shù)求面積的最值問題答案2解析設圓柱底面半徑為r，母線長為l.16r2l，即l.則S表面積2r22rl2r22r2r2，由S4r0，得r2.當r2時，圓柱的

10、表面積最小5已知函數(shù)f(x)過點(1，e)(1)求yf(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當x0時，求的最小值；(3)試判斷方程f(x)mx0(mR且m為常數(shù))的根的個數(shù)考點函數(shù)極值的綜合應用題點函數(shù)零點與方程的根解(1)由函數(shù)f(x)過點(1，e)，得e1be，即b0，f(x)(x0)，f(x)，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得0x1或x0，g(x)，令g(x)0，解得x2或x0(舍去)，當x(0,2)時，g(x)0，g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增，的最小值為g(2).(3)方程f(x)mx0(mR且m為常數(shù))等價于mg(x)，g(x)，易知當x0.結(jié)合(2)可得函數(shù)g(x)

11、在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，在(，0)，(2，)上單調(diào)遞增原問題轉(zhuǎn)化為ym與yg(x)的交點個數(shù)，其圖象如圖，當m0時，方程f(x)mx0(mR且m為常數(shù))的根的個數(shù)為0；當0m時，方程f(x)mx0(mR且m為常數(shù))的根的個數(shù)為3.1利用導數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點處的切線方程yy0f(x0)(xx0)明確“過點P(x0，y0)的曲線yf(x)的切線方程”與“在點P(x0，y0)處的曲線yf(x)的切線方程”的異同點2借助導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，經(jīng)常同三次函數(shù)，一元二次不等式結(jié)合，融分類討論、數(shù)形結(jié)合于一體3利用導數(shù)求解優(yōu)化問題，注意自變量中的定義域，找出函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為求最值問題4

12、不規(guī)則圖形的面積可用定積分求解，關(guān)鍵是確定積分上、下限及被積函數(shù)，積分的上、下限一般是兩曲線交點的橫坐標.一、選擇題1已知函數(shù)f(x)sin x，且 2，則a的值為()A2 B2C2 D2考點導數(shù)的概念題點導數(shù)的概念的簡單應用答案A解析 2，f(1)2，f(x)sin x，f(x)acos x，acos 2，a2，故選A.2設曲線yf(x)在某點處的導數(shù)值為0，則過曲線上該點的切線()A垂直于x軸B垂直于y軸C既不垂直于x軸也不垂直于y軸D方向不能確定考點導數(shù)的幾何意義的應用題點導數(shù)的幾何意義答案B解析曲線yf(x)在某點處的導數(shù)值為0，切線的斜率為0，故選B.3若函數(shù)f(x)的導數(shù)是f(x)

13、x(ax1)(a0)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B.，C. D(，0，考點利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案C解析f(x)x(ax1)(a0)，令f(x)0，即x(ax1)0，解得0x，故選C.4由曲線ysin x，ycos x與直線x0，x所圍成的平面區(qū)域的面積為()A B2C D2考點定積分的幾何意義及性質(zhì)題點定積分的幾何意義答案D解析如圖所示，兩個陰影部分面積相等，所以兩個陰影面積之和等于0x陰影部分面積的2倍，故選D.5.設函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y(1x)f(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A函數(shù)f

14、(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)考點函數(shù)極值的綜合應用題點函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應用答案D解析由函數(shù)的圖象可知，f(2)0，f(2)0，并且當x0，當2x1，f(x)0，函數(shù)f(x)有極大值f(2)又當1x2時，f(x)2時，f(x)0，故函數(shù)f(x)有極小值f(2)，故選D.6已知aln x對任意x恒成立，則a的最大值為()A0 B1C2 D3考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導數(shù)求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍答案A解析令f(x)ln x，f(

15、x)，當x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)f(1)0，則a0，即a的最大值為0.7若函數(shù)f(x)x3x22bx在區(qū)間3,5上不是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)f(x)在R上的極大值為()A.b2b3 B.bC2b D0考點函數(shù)在某點處取得極值的條件題點含參數(shù)求極值問題答案C解析f(x)x2(2b)x2b(xb)(x2)，函數(shù)f(x)在區(qū)間3,5上不是單調(diào)函數(shù)，3b0，得xb，由f(x)0，得2xb，故f(x)在(，2)上單調(diào)遞增，在(2，b)上單調(diào)遞減，在(b，)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)的極大值為f(2)2b.二、填空題8在平面直角坐標系xOy中，點P在曲線C：yx310x3上，且在第二象限內(nèi)，已

16、知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為 考點求函數(shù)在某點處的切線斜率或切點坐標題點求函數(shù)在某點處的切點坐標答案(2,15)解析y3x210，令y2，解得x2.又點P在第二象限內(nèi)，x2，此時y15，點P的坐標為(2,15)9已知曲線y與直線xa，y0所圍成的封閉區(qū)域的面積為a3，則a .考點利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點已知曲線所圍成圖形的面積求參數(shù)答案解析由題意得a3dx，即，解得a.10已知定義在區(qū)間(，0)上的函數(shù)f(x)xsin xcos x，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 考點利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案解析f(x)xcos x，當x時，f

17、(x)0)在1，)上的最大值為，則實數(shù)a的值為 考點導數(shù)在最值問題中的應用題點已知最值求參數(shù)答案1解析f(x)，令f(x)0，得x，當x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當x0，f(x)單調(diào)遞增若1，即a1，則當x1，)時，f(x)maxf()，解得1，不合題意，1，且當x1，)時，f(x)maxf(1)，解得a1，滿足1.三、解答題12求拋物線yx24x3與其在點(0，3)和點(3,0)處的切線所圍成的圖形的面積考點求函數(shù)在某點處的切線方程題點曲線的切線方程的應用解如圖，y2x4，y|x04，y|x32.在點(0，3)處的切線方程是y4x3，在點(3,0)處的切線方程是y2(x3)聯(lián)立方程組

18、即得交點坐標為.所以由它們圍成的圖形面積為S.13已知函數(shù)f(x)ln x.(1)若f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)k的值；(2)若f(x)的極小值大于0，求實數(shù)k的取值范圍考點利用導數(shù)研究函數(shù)的極值題點已知極值求參數(shù)解(1)依題意可知f(x)(xk)(ln x1)，令f(x)0，可得x1k，x2.若x1x2，則在x1，x2之間存在一個區(qū)間，使得f(x)0，不滿足題意因此x1x2，即k.(2)當k0，則f(x)在上小于0，在上大于0，若k0，則f(x)在上小于0，在上大于0，因此x是極小值點，f0，解得k，k時，f(x)在上小于0，在(k，)上大于0，因此xk是極小值點，f(k)(12ln

19、k)0，解得k，ka0，a0，1恒成立，等價于f(b)b0)恒成立，得m，所以實數(shù)m的取值范圍是.15已知函數(shù)f(x)ln xa(x1)，aR.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當x1時，f(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍考點利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點利用導數(shù)求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍解(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)，若a0，則f(x)0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，若a0，則由f(x)0，得x，當x時，f(x)0，當x時，f(x)0時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)f(x)，令g(x)xln xa(x21)，x1，g(x)ln x12ax，令F(x)g(x)ln x12ax，F(xiàn)(x)，若a0，F(xiàn)(x)0，g(x)在1，)上單調(diào)遞增，g(x)g(1)12a0，g(x)在1，)上單調(diào)遞增，g(x)g(1)0，從而f(x)0，不符合題意若0a0，g(x)在上單調(diào)遞增，從而g(x)g(1)12a0，g(x)在上單調(diào)遞增，g(x)g(1)0，從而f(x)0，不符合題意若a，F(xiàn)(x)0在1，)上恒成立，g(x)在1，)上單調(diào)遞減，g(x)g(1)12a0，從而g(x)在1，)上單調(diào)遞減，g(x)g(1)0，f(x)0，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.19