《（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 文 蘇教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 文 蘇教版（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列 2019考向?qū)Ш娇键c(diǎn)掃描三年考情考向預(yù)測(cè)2019201820171等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的運(yùn)算第8題第9題數(shù)列是江蘇高考考查的熱點(diǎn)考查的重點(diǎn)是等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法一般有兩道題，一道填空題，一道解答題在填空題中，突出了“小、巧、活”的特點(diǎn)，屬中高檔題，解答題主要與函數(shù)、方程、推理證明等知識(shí)綜合考查，屬中等難度以上的試題，甚至是難題，多為壓軸題2等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用第20題第20題1必記的概念與定理(1)an與Sn的關(guān)系Sna1a2an，an(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義anan1常數(shù)(n2)常數(shù)(n2)通項(xiàng)公式ana1

2、(n1)dana1qn1(q0)判定方法(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：2an1anan2(n1，nN*)an為等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：anpnq(p、q為常數(shù))an為等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn(A、B為常數(shù))an為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：aanan2(n1，nN*)(an0) an為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：ancqn(c、q均是不為0的常數(shù))an為等比數(shù)列判定方法(5)an為等比數(shù)列，an0logban為等差數(shù)列(4)an為等差數(shù)列ban為等比數(shù)列(b0且b1)2記住幾個(gè)常用的公式與結(jié)論(1)等差數(shù)列的性質(zhì)在等差數(shù)列an中，anam(nm)d，d；當(dāng)公差d0

3、時(shí)，等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式ana1(n1)ddna1d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n項(xiàng)和Snna1dn2(a1)n是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)若公差d0，則數(shù)列為遞增等差數(shù)列，若公差d0，q1，則an為遞增數(shù)列；若a11, 則an為遞減數(shù)列；若a10，0q1，則an為遞減數(shù)列；若a10，0q1, 則an為遞增數(shù)列；若q0，a20，所以a22a12a2，即2(2)證明：法一：令m1，n2，得(S3S1)24a2a4，即(2a1a2a3)24a2a4，令mn2，得S4S12a4，即2a1a2a3a4又2，所以a44a28a1，a34a1由(SmnS1)24a2na2m，得(Sn1S1)

4、24a2na2，(Sn2S1)24a2na4兩式相除，得，所以2，即Sn2S12(Sn1S1)，從而Sn3S12(Sn2S1)以上兩式相減，得an32an2，故當(dāng)n3時(shí)，an是公比為2的等比數(shù)列又a32a24a1，從而ana12n1，nN*顯然，ana12n1滿足題設(shè)，因此an是首項(xiàng)為a1，公比為2的等比數(shù)列法二：在(SmnS1)24a2na2m中，令mn，得S2nS12a2n令mn1，得S2n1S12，在中，用n1代替n得，S2n2S12a2n2，得a2n122a2n2()，得a2n22a2n222()，由得a2n1將代入，得a2n12a2n，將代入得a2n22a2n1，所以2又2，從而an

5、a12n1，nN*顯然ana12n1滿足題設(shè)因此an是首項(xiàng)為a1，公比為2的等比數(shù)列遞推數(shù)列問(wèn)題常見(jiàn)的處理方法(1)將第n項(xiàng)和第n1項(xiàng)合并在一起，看是否是一個(gè)特殊數(shù)列；若遞推關(guān)系式含有an與Sn，則考慮是否可以將an與Sn進(jìn)行統(tǒng)一(2)根據(jù)遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征確定是否為熟悉的、有固定方法的遞推關(guān)系式向通項(xiàng)公式的轉(zhuǎn)換類型，否則可以寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，看能否找到規(guī)律，即先特殊、后一般、再特殊對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，對(duì)任意的nN*，都有Sn2an，數(shù)列bn滿足b12a1，bn(n2，nN*)(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列

6、bn的通項(xiàng)公式解 (1)當(dāng)n1時(shí)，a1S12a1，解得a11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1an1an，即(n2，nN*)所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(2)因?yàn)閍11，所以b12a12因?yàn)閎n，所以1，即1(n2)所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列所以(n1)1，故數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用典型例題 (2018高考江蘇卷)設(shè)an是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，bn是首項(xiàng)為b1，公比為q的等比數(shù)列(1)設(shè)a10，b11，q2，若|anbn|b1對(duì)n1，2，3，4均成立，求d的取值范圍；(2)若a1b10，mN*，q(1，證明：存在d

7、R，使得|anbn|b1對(duì)n2，3，m1均成立，并求d的取值范圍(用b1，m，q表示)【解】(1)由條件知：an(n1)d，bn2n1，因?yàn)閨anbn|b1對(duì)n1，2，3，4均成立，即|(n1)d2n1|1對(duì)n1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得d，因此，d的取值范圍為(2)由條件知：anb1(n1)d，bnb1qn1若存在d，使得|anbn|b1(n2，3，m1)成立，即|b1(n1)db1qn1|b1(n2，3，m1)，即當(dāng)n2，3，m1時(shí)，d滿足b1db1因?yàn)閝(1，則10，對(duì)n2，3，m1均成立因此，取d0時(shí)，|anbn|b1對(duì)n2，3，m1均成立下面討論數(shù)列的

8、最大值和數(shù)列的最小值(n2，3，m1)當(dāng)2nm時(shí)，當(dāng)1q2時(shí)，有qnqm2，從而n(qnqn1)qn20因此，當(dāng)2nm1時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，故數(shù)列的最大值為設(shè)f(x)2x(1x)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)(ln 21xln 2)2x0，所以f(x)單調(diào)遞減，從而f(x)f(0)1當(dāng)2nm時(shí)，2f0，所以bnbn12，所以數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以bn2n1因?yàn)閎n1mbn2(bnmbn1)(bn1bn)m(bn2bn1)22m，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)m，數(shù)列bnmbn1都是等差數(shù)列，且該數(shù)列的公差為22m(3)因?yàn)楫?dāng)n2時(shí)，cn，又c1也符合此式，所以cn，所以Tn(2)()()2又dn2

9、，所以Tndn22，當(dāng)n6時(shí)，0，所以Tn6時(shí)，0，所以Tndn1(2019南京模擬)在等比數(shù)列an中，a2a616，a4a88，則_解析 法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a2a616得aq616，所以a1q34由a4a88，得a1q3(1q4)8，即1q42，所以q21于是q101法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得aa2a616，所以a44，又a4a88，所以或因?yàn)閍a4a80，所以則公比q滿足q41，q21，所以q101答案 12(2019宿遷模擬)若等差數(shù)列an滿足a2S34，a3S512，則a4S7的值是_解析 由S33a2，得a21，由S55a3，得a32，則a43，S77a4，則a4S7

10、8a424答案 243(2019江蘇名校高三入學(xué)摸底)已知數(shù)列an滿足a12，an1，bn(nN*)，則數(shù)列bn的通項(xiàng)公式是_解析 由已知得(nN*)，則n(nN*)，即bn1bnn(nN*)，所以b2b11，b3b22，bnbn1(n1)，累加得bnb1123(n1)，又b11，所以bn1答案 bn4已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列若a10，且2(anan2)5an1，則數(shù)列an的公比q_解析 因?yàn)?(anan2)5an1，所以2an(1q2)5anq，所以2(1q2)5q，解得q2或q因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，且a10，所以q1，所以q2答案 25(2019蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)調(diào)研(一)中國(guó)古代著作張

11、丘建算經(jīng)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說(shuō)有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里那么這匹馬最后一天行走的里程數(shù)為_(kāi)解析 由題意可知，這匹馬每天行走的里程數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)為an，易知公比q，則S72a1a1700，所以a1700，所以a7a1q6700，所以這匹馬最后一天行走的里程數(shù)為答案 6(2019蘇州市第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則_解析 法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，若公比q為1，則，與已知條件不符，所以公比q1，所以Sn，因?yàn)?，所以，所以q52，所以法二：因?yàn)?，所以不妨設(shè)S5

12、a，S103a，a0，易知S5，S10S5，S15S10，S20S15成等比數(shù)列，由S5a，S10S52a，得S15S104a，S20S158a，從而S2015a，所以答案 7設(shè)數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，且a125，b175，a2b2100，那么anbn組成的數(shù)列的第37項(xiàng)的值為_(kāi)解析 an，bn都是等差數(shù)列，則anbn為等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1b1100，d(a2b2)(a1b1)1001000，所以anbn為常數(shù)數(shù)列，第37項(xiàng)為100答案 1008(2019南京市四校第一學(xué)期聯(lián)考)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比列an中，a23，a427，S2n為該數(shù)列的前2n項(xiàng)和，Tn為數(shù)列anan1的前n項(xiàng)和，若

13、S2nkTn，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)解析 因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a23，a427，所以a11，公比q3，所以S2n，an3n1令bnanan13n13n32n1，所以b13，數(shù)列bn為等比數(shù)列，公比q9，所以Tn因?yàn)镾2nkTn，所以k，解得k答案 9(2019泰州市高三模擬)已知公差為2的等差數(shù)列an及公比為2的等比數(shù)列bn滿足a1b10，a2b20，則a3b3的取值范圍是_解析 法一：由題意可得，該不等式組在平面直角坐標(biāo)系a1Ob1中表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則當(dāng)a3b3a144b1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，2)時(shí)取得最大值2，則a3b32法二：由題意可得，則a3b3a144b12(a1b

14、1)3(a12b1)42，故a3b3的取值范圍是(，2)答案 (，2)10在數(shù)列an中，nN*，若k(k為常數(shù))，則稱an為“等差比數(shù)列”，下列是對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷：k不可能為0；等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；“等差比數(shù)列”中可以有無(wú)數(shù)項(xiàng)為0其中所有正確判斷的序號(hào)是_解析 由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；當(dāng)an是等比數(shù)列，且公比q1時(shí)，an不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；數(shù)列0，1，0，1，是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無(wú)數(shù)多個(gè)0，所以正確答案 11(2019寶雞模擬)已知數(shù)列an滿

15、足a15，a25，an1an6an1(n2)(1)求證：an12an是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解 (1)證明：因?yàn)閍n1an6an1(n2)，所以an12an3an6an13(an2an1)(n2)又a15，a25，所以a22a115，所以an2an10(n2)，所以3(n2)，所以數(shù)列an12an是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列(2)由(1)得an12an153n153n，則an12an53n，所以an13n12(an3n)又因?yàn)閍132，所以an3n0，所以an3n是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以an3n2(2)n1，即an2(2)n13n(nN*)12(2019蘇州市高

16、三模擬)已知數(shù)列an滿足：a1，an1anp3n1nq，nN*，p，qR(1)若q0，且數(shù)列an為等比數(shù)列，求p的值；(2)若p1，且a4為數(shù)列an的最小項(xiàng)，求q的取值范圍解 (1)因?yàn)閝0，an1anp3n1，所以a2a1pp，a3a23p4p由數(shù)列an為等比數(shù)列，得，解得p0或p1當(dāng)p0時(shí)，an1an，所以an，符合題意；當(dāng)p1時(shí)，an1an3n1，所以ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(133n2)3n1，所以3符合題意所以p的值為0或1(2)因?yàn)閜1，所以an1an3n1nq，又a4為數(shù)列an的最小項(xiàng)，所以，即，所以3q此時(shí)a2a11q0，a3a232qa2a3a4當(dāng)n4時(shí)

17、，令bnan1an，bn1bn23n1q23410，所以bn1bn，所以0b4b5b6，即a4a5a6a7綜上所述，當(dāng)3q時(shí)，a4為數(shù)列an的最小項(xiàng)，即所求q的取值范圍為13已知數(shù)列an，對(duì)于任意n2，在an1與an之間插入n個(gè)數(shù)，構(gòu)成的新數(shù)列bn成等差數(shù)列，并記在an1與an之間插入的這n個(gè)數(shù)的均值為Cn1(1)若an，求C1，C2，C3；(2)在(1)的條件下是否存在常數(shù)，使Cn1Cn是等差數(shù)列？如果存在，求出滿足條件的，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解 (1)由題意a12，a21，a35，a410，所以在a1與a2之間插入1，0，C1在a2與a3之間插入2，3，4，C23在a3與a4之間插入6，

18、7，8，9，C3(2)在an1與an之間插入n個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，d1，所以Cn1假設(shè)存在使得Cn1Cn是等差數(shù)列所以(Cn1Cn)(CnCn1)Cn1Cn(CnCn1)(1)n常數(shù)，所以1即1時(shí)，Cn1Cn是等差數(shù)列14(2019無(wú)錫期中檢測(cè))在等差數(shù)列an中，a13，其前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的各項(xiàng)均為正數(shù)，b11，其前n項(xiàng)和為T(mén)n，且b2S211，2S39b3(1)求數(shù)列an和數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)問(wèn)是否存在正整數(shù)m，n，r，使得Tnamrbn成立？如果存在，請(qǐng)求出m，n，r的關(guān)系式；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q(q0)，則解得d3，q2所以an3n，bn2n1(2)因?yàn)門(mén)n122n12n1，所以有2n13mr2n1(*)若r2，則r2n12n1，(*)不成立，所以r1，m若n為奇數(shù)，當(dāng)n1時(shí)，m0，不成立， 當(dāng)n1時(shí)，設(shè)n2t1，tN*，則mZ；若n為偶數(shù)，設(shè)n2t，tN*，則m2，因?yàn)閆，所以mZ綜上所述，存在正整數(shù)m，n，r，使得Tnamrbn成立，此時(shí)n為大于1的奇數(shù)，r1，且m- 15 -