《2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法本章復(fù)習導(dǎo)學案 新人教B版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法本章復(fù)習導(dǎo)學案 新人教B版選修4-5（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 本章復(fù)習課 1.掌握不等式的基本性質(zhì)，會應(yīng)用基本性質(zhì)進行簡單的不等式變形. 2.熟練掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法. 3.理解絕對值的幾何意義，理解絕對值三角不等式，會利用絕對值三角不等式證明有關(guān)不等式和求函數(shù)的最值. 4.會解四種類型的絕對值不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≤m，|x－c|＋|x－b|≥m. 5.會用平均值不等式求一些特定函數(shù)的最值. 6.理解不等式證明的五種方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，會用它用證明比較簡單的不等式. 知識結(jié)構(gòu) 知識梳理 1.實數(shù)

2、的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：a>b?a－b>0，a＝b?a－b＝0，a0)或ax2＋bx＋c≤0 (a>0)，ax2＋bx＋c≥0 (a>0)的解集實質(zhì)上是函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0)的函數(shù)值f(x)≥0對應(yīng)的自變量x的取值范圍，方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根實質(zhì)上是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交

3、點的橫坐標，方程的根也是方程對應(yīng)的一元二次不等式解集的端點值. 4.基本不等式 (1)定理1：若a，b∈R，則a2＋b2≥2ab (當且僅當a＝b時取“＝”). (2)定理2：若a，b∈R＋，則≥(當且僅當a＝b時取“＝”). (3)引理：若a，b，c∈R＋，則a3＋b3＋c3≥3abc(當且僅當a＝b＝c時取“＝”)可以當作重要結(jié)論直接應(yīng)用. (4)定理3：若a，b，c∈R＋，則≥(當且僅當a＝b＝c時取“＝”). (5)推論：若a1，a2，…，an∈R＋，則≥.當且僅當a1＝a2＝…＝an時，取“＝”. (6)在應(yīng)用基本不等式求最值時一定要注意考察是否滿足“一正，二定，三相等

4、”的要求. 5.絕對值不等式的解法：解含絕對值的不等式的基本思想是通過去掉絕對值符號，把含絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式，或一元二次不等式.去絕對值符號常見的方法有： (1)根據(jù)絕對值的定義；(2)平方法；(3)分區(qū)間討論. 6.絕對值三角不等式： (1)|a|的幾何意義表示數(shù)軸上的點到原點的距離，|a－b|的幾何意義表示數(shù)軸上兩點間的距離. (2)|a＋b|≤|a|＋|b| (a，b∈R，ab≥0時等號成立). (3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c| (a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0等號成立). (4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b| (a，b∈R

5、，左邊“＝”成立的條件是ab≤0，右邊“＝”成立的條件是ab≥0). (5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| (a，b∈R，左邊“＝”成立的條件是ab≥0，右邊“＝”成立的條件是ab≤0). 7.不等式證明的基本方法 (1)比較法：作差法與作商法. (2)綜合法：強調(diào)將問題進行合理變形轉(zhuǎn)換，使之能運用定義、公理、定理、性質(zhì)推證命題. (3)分析法：強調(diào)書寫步驟的合理性，注意邏輯上的充分性，步步可逆不是指等價，當然等價也行. (4)反證法：反證法是一種“正難則反”的方法，反證法適用的范圍：①直接證明困難；②需要分成很多類進行討論；③“唯一性”、“存在性”的命題；④結(jié)論中

6、含有“至少”、“至多”及否定性詞語的命題. (5)放縮法：放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小，尋找一個中間量，常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應(yīng)用基本不等式放縮.例如＋>，<，>，<(以上k>2且k∈N*). 典例剖析 知識點1　基本不等式的應(yīng)用 【例1】 求函數(shù)y＝x2(1－5x) 的最值. 解　y＝x2＝·x·x·， ∵0≤x≤，∴－2x≥0. ∴y≤＝. 當且僅當x＝－2x， 即x＝時，y取得最大值且ymax＝. 知識點2　證明不等式(利用函數(shù)的單調(diào)性) 【例2】 已知△ABC的三邊長是a，b，c，且m為正數(shù)， 求證：＋

7、>. 證明　設(shè)函數(shù)f(x)＝＝1－ (x>0，m>0). 易知f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù). ∵f(a)＋f(b)＝＋ >＋＝＝f(a＋b). 又a＋b>c，∴f(a＋b)>f(c)＝， ∴＋>. 知識點3　應(yīng)用絕對值三角不等式證明不等式 【例3】 已知f(x)＝x2＋ax＋b (a，b∈R)的定義域為[－1，1]. (1)記|f(x)|的最大值為M，求證：M≥； (2)當M＝時，求f(x)的表達式. (1)證明　由題意M≥|f(0)|，M≥|f(1)|，M≥|f(－1)|. ∴4M≥2|f(0)|＋|f(1)|＋|f(－1)| ＝2|b|＋|1＋a＋b|＋|1－

8、a＋b| ≥|1＋a＋b＋1－a＋b－2b|＝2，∴M≥. (2)解　當M＝時，|f(0)|＝|b|≤， ∴－≤b≤. 同理有－≤1＋a＋b≤，－≤1－a＋b≤. 兩式相加－1≤2＋2b≤1，∴－≤b≤－. 又－≤b≤，∴b＝－. 當b＝－時，由－≤1＋a＋b≤?－1≤a≤0； 由－≤1－a＋b≤?0≤a≤1，即a＝0. ∴f(x)＝x2－. 基礎(chǔ)達標 1.若a，b，x，y∈R，則是成立的(　　) A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析　由(x－a)(y－b)>0知，x－a與y－b同號， 由x＋y>a＋b得(x－a)＋(y

9、－b)>0， 即(x－a)，(y－b)同正， 所以如果易知 答案　C 2.若a3＋b3＝2，則(　　) A.a＋b<2 B.a＋b≤2 C.a＋b>2 D.a＋b≥2 解析　∵a3＋b3＝2， ∴(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2， (a＋b)[(a＋b)2－3ab]＝2. (a＋b)3＝3(a＋b)ab＋2≤3(a＋b)＋2. ∴(a＋b)3≤8，∴a＋b≤2. 答案　B 3.設(shè)a＞0，b＞0，下列不等式中不正確的是(　　) A.a2＋b2≥2ab B.＋≥2 C.＋≥a＋b D.＋≤ 解析?。剑剑剑?，故選D. 答案　D 4.A＝1＋＋＋…

10、＋與(n∈N＋)的大小關(guān)系是________. 解析　A＝1＋＋＋…＋≥＋＋…＋＝＝，∴A≥. 答案　A≥ 5.若a＝，則a＋b的最小值是________. 解析　設(shè)b＝sin θ，－≤θ≤， 則a＝cos θ，a＋b＝sin. ∵－≤θ＋≤， ∴－≤sin≤1， 故－1≤a＋b≤. 答案?。? 6.解不等式|2x－4|－|3x＋9|<1. 解?、佼攛>2時，原不等式等價于 ?x>2 ②當－3≤x≤2時，原不等式等價于 ?－－或x<－12}. 綜合提高 7.設(shè)函數(shù)y

11、＝x2－x＋a (a>0)滿足f(m)<0，則(　　) A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0 C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0 解析　設(shè)x1、x2是方程x2－x＋a＝0的兩根， 則|x1－x2|＝＝<1. ∴當f(m)<0時，f(m＋1)>0. 答案　C 8.設(shè)00時，f(x)＝1＋ ∴f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù). 又b>>. 答案　D 9.若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋

12、b＋3，則ab的取值范圍是________. 解析　由ab＝a＋b＋3≥2＋3，令＝x，則有 x2≥2x＋3?x2－2x－3≥0，解x求的范圍. x≥3或x≤－1(舍去)，∴ab≥9. 答案　[9，＋∞) 10.函數(shù)y＝1＋2x＋的值域是____________. 解析　∵＝|2x|＋≥2. ∴2x＋∈[2，＋∞)或(－∞，－2]. ∴y∈(－∞，－2＋1]∪[2＋1，＋∞). 答案　(－∞，－2＋1]∪[2＋1，＋∞) 11.設(shè)a>b>c>1，記M＝a－，N＝a－，P＝2，Q＝3，試找出其中的最小者，并說明理由. 解　∵b>c>0，∴>，∴N

13、3 ＝c＋＋－3 ≥3－3＝0， 又a>b>c>1，∴c≠， 從而Q>P，又N－P＝2－－b＝(2－1－) ＝[(－1)＋(－)]>0(∵a>b>c>1) ∴P0，∴4cd<(a＋b)(c＋d). 結(jié)合②，得4cd