《(全國(guó)通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國(guó)通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)案 新人教A版選修2-2(13頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、13.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)極值點(diǎn)與極值的情況求參數(shù)范圍.2.會(huì)利用極值解決方程的根與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題1極小值點(diǎn)與極小值(1)特征:函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,并且f(a)0.(2)符號(hào):在點(diǎn)xa附近的左側(cè)f(x)0.(3)結(jié)論:點(diǎn)a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值2極大值點(diǎn)與極大值(1)特征:函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,并且f(b)0.(2)符號(hào):在點(diǎn)xb附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,解得a1.(2)f(x)x(ln xax),f(x)
2、ln x2ax1,且f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),f(x)在(0,)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),令f(x)0,則2a,設(shè)g(x),則g(x),g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,)上單調(diào)遞減,又當(dāng)x0時(shí),g(x),當(dāng)x時(shí),g(x)0,而g(x)maxg(1)1,只需02a1,即0a.引申探究1若本例(1)中函數(shù)的極大值點(diǎn)是1,求a的值解f(x)x22xa,由題意得f(1)12a0,解得a3,則f(x)x22x3,經(jīng)驗(yàn)證可知,f(x)在x1處取得極大值2若本例(1)中函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),均為正值,求a的取值范圍解由題意,得方程x22xa0有兩個(gè)不等正根,設(shè)為x1,x2,則解得0a0)上存在極值,求實(shí)數(shù)
3、a的取值范圍考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點(diǎn)極值存在性問(wèn)題解f(x),x0,則f(x).當(dāng)0x0,當(dāng)x1時(shí),f(x)0)上存在極值,解得a1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.類型二利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題例2(1)函數(shù)f(x)x34x4的圖象與直線ya恰有三個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_考點(diǎn)函數(shù)極值的綜合應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)與方程的根答案解析f(x)x34x4,f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0,得x2或x2.當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)00f(x)極大值極小值當(dāng)x2時(shí),函數(shù)取得極大值f(2);當(dāng)x2時(shí),函數(shù)取得極小值f(2).且f
4、(x)在(,2)上單調(diào)遞增,在(2,2)上單調(diào)遞減,在(2,)上單調(diào)遞增根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值情況,它的圖象大致如圖所示,結(jié)合圖象知a.(2)已知函數(shù)f(x)x36x29x3,若函數(shù)yf(x)的圖象與yf(x)5xm的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍考點(diǎn)函數(shù)極值的綜合應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)與方程的根解由f(x)x36x29x3,可得f(x)3x212x9,f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m.則由題意可得x36x29x3x2x3m有三個(gè)不相等的實(shí)根,即g(x)x37x28xm的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)g(x)3x214x8(3x2)(x4),令g(x)0,得x或x4.當(dāng)x變化時(shí),
5、g(x),g(x)的變化情況如下表:x4(4,)g(x)00g(x)極大值極小值則函數(shù)g(x)的極大值為gm,極小值為g(4)16m.由yf(x)的圖象與yf(x)5xm的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn),得解得16m2)當(dāng)x變化時(shí),g(x),g(x)的變化情況如下表:x(2,0)0(0,)g(x)0g(x)極大值由上表可知,函數(shù)在x0處取得極大值,極大值為g(0)2ln 2b.結(jié)合圖象(圖略)可知,要使g(x)0在區(qū)間1,1上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,只需即所以2ln 20,解得a6或a0時(shí),令f(x)0,解得x或x.令f(x)0,解得x.若f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值,則01.解得0a20或m12時(shí),方程
6、f(x)m有一個(gè)解;當(dāng)m20或m12時(shí),方程f(x)m有兩個(gè)解;當(dāng)12m20時(shí),方程f(x)m有三個(gè)解1研究方程根的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)函數(shù)的圖象問(wèn)題,一般地,方程f(x)0的根就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),方程f(x)g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)2事實(shí)上利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性,研究函數(shù)的極值情況,并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象,從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題提供了方便.一、選擇題1函數(shù)f(x)3x2ln xx的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3考點(diǎn)函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的條件題點(diǎn)不
7、含參數(shù)的函數(shù)求極值問(wèn)題答案B解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,);f(x)6x1;當(dāng)0x時(shí),f(x)時(shí),f(x)0;x是f(x)的極值點(diǎn);即f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選B.2若a0,b0,且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值,則ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)答案D解析f(x)12x22ax2b,f(x)在x1處有極值,f(1)122a2b0,ab6.又a0,b0,ab2,26,ab9.3若函數(shù)f(x)2x39x212xa恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則a的值可能為()A4 B6 C7 D8答案A解析f(x)6x218x126(x1)(
8、x2)由f(x)0,得x2,由f(x)0,得1x2,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1),(2,)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,從而可知f(x)的極大值和極小值分別為f(1),f(2)若函數(shù)f(x)恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則f(1)0或f(2)0,解得a5或a4.4函數(shù)f(x)x2aln x(aR)不存在極值點(diǎn),則a的取值范圍是()A(,0) B(0,)C0,) D(,0考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點(diǎn)極值存在性問(wèn)題答案D解析f(x)的定義域是(0,),f(x)2x,若f(x)在(0,)上不存在極值點(diǎn),則a2x2在(0,)上恒成立,故a0,故選D.5若函數(shù)f(x)x2exa恰有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)
9、a的取值范圍是()A. B.C(0,4e2) D(0,)考點(diǎn)函數(shù)極值的綜合應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)與方程的根答案B解析令g(x)x2ex,則g(x)2xexx2exxex(x2)令g(x)0,得x0或2,g(x)在(2,0)上單調(diào)遞減,在(,2),(0,)上單調(diào)遞增g(x)極大值g(2),g(x)極小值g(0)0,又f(x)x2exa恰有三個(gè)零點(diǎn),則0a.6已知函數(shù)f(x)ln xax2(a1)x1在x1處取得極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(,1 B(,1)C(1,) D(0,)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點(diǎn)極值存在性問(wèn)題答案C解析f(x)的定義域是(0,),f(x)ln xax2(a1)x1,f
10、(x)ax(a1),令f(x)0,解得x或x1,若f(x)在x1處取得極小值,則01.7已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx的圖象如圖所示,且f(x)在xx0與x2處取得極值,則f(1)f(1)的值一定()A等于0 B大于0C小于0 D小于或等于0考點(diǎn)函數(shù)極值的綜合應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用答案B解析f(x)3ax22bxc.令f(x)0,則x0和2是該方程的根x020.由題圖知,f(x)0,則b0,f(1)f(1)2b,f(1)f(1)0.二、填空題8函數(shù)f(x)ax2bx在x處有極值,則b的值為_(kāi)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)答案2解析f(x)2axb,函數(shù)f(x)在x處
11、有極值,f2ab0,即b2.9函數(shù)f(x)ax3x1有極值的充要條件是_考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點(diǎn)極值存在性問(wèn)題答案a0解析f(x)ax3x1的導(dǎo)數(shù)為f(x)3ax21,若函數(shù)f(x)有極值,則f(x)0有解,即3ax210有解,a0.10若函數(shù)f(x)x3x2ax4在區(qū)間(1,1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點(diǎn)極值存在性問(wèn)題答案1,5)解析由題意,得f(x)3x22xa,則f(1)f(1)0,即(1a)(5a)0,解得1a1,解得a0,x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí),有f(x)0,曲線yf(x)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)由(1)知f(x)極大值fa,f(x)極小值f
12、(1)a1.曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn),f(x)極大值0,即a0,a1,當(dāng)a(1,)時(shí),曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)13已知函數(shù)f(x)x4ax32x2b(xR),其中a,bR.(1)當(dāng)a時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)f(x)僅在x0處有極值,求a的取值范圍考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)解(1)f(x)4x33ax24xx(4x23ax4),當(dāng)a時(shí),f(x)x(4x210x4)2x(2x1)(x2)令f(x)0,解得x10,x2,x32.當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x(,0)02(2,)f(x)000f(x)極小值極大值極小值所以f(x)
13、在區(qū)間,(2,)上是單調(diào)遞增函數(shù),在區(qū)間(,0),上是單調(diào)遞減函數(shù)(2)f(x)x(4x23ax4),顯然x0不是方程4x23ax40的根,為使f(x)僅在x0處有極值,必須有4x23ax40恒成立,即有9a2640,解得a,此時(shí),f(0)b是唯一的極值,因此滿足條件的a的取值范圍是.四、探究與拓展14設(shè)函數(shù)f(x)sin .若存在f(x)的極值點(diǎn)x0滿足xf(x0)2m2,則m的取值范圍是()A(,6)(6,) B(,4)(4,)C(,2)(2,) D(,1)(1,)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點(diǎn)極值存在性問(wèn)題答案C解析由正弦函數(shù)的圖象可知,f(x)的極值點(diǎn)x0滿足f(x0),則k(kZ),
14、從而得x0m(kZ)所以不等式xf(x0)2m2即為2m233,其中kZ.由題意,存在整數(shù)k使得不等式m23成立當(dāng)k1且k0時(shí),必有21,此時(shí)不等式顯然不能成立,故k1或k0,此時(shí),不等式即為m23,解得m2.15已知函數(shù)f(x)ae2xbe2xcx(a,b,cR)的導(dǎo)函數(shù)f(x)為偶函數(shù),且曲線yf(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線的斜率為4c.(1)確定a,b的值;(2)若c3,判斷f(x)的單調(diào)性;(3)若f(x)有極值,求c的取值范圍考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題點(diǎn)已知極值求參數(shù)解(1)對(duì)f(x)求導(dǎo),得f(x)2ae2x2be2xc,由f(x)為偶函數(shù),知f(x)f(x)恒成立,即2(a
15、b)(e2xe2x)0恒成立,所以ab.又f(0)2a2bc4c,故a1,b1.(2)當(dāng)c3時(shí),f(x)e2xe2x3x,那么f(x)2e2x2e2x32310,故f(x)在R上為增函數(shù)(3)由(1)知f(x)2e2x2e2xc,而2e2x2e2x24,當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立下面分三種情況進(jìn)行討論當(dāng)c0,此時(shí)f(x)無(wú)極值;當(dāng)c4時(shí),對(duì)任意x0,f(x)2e2x2e2x40,此時(shí)f(x)無(wú)極值;當(dāng)c4時(shí),令e2xt,注意到方程2tc0有兩根t10,t20,即f(x)0有兩個(gè)根,且x1ln t1,x2ln t2.當(dāng)x1xx2時(shí),f(x)x2時(shí),f(x)0,從而f(x)在xx2處取得極小值綜上,若f(x)有極值,則c的取值范圍為(4,)13