《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第4節(jié) 數(shù)列求和學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第4節(jié) 數(shù)列求和學(xué)案 理（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4節(jié)數(shù)列求和最新考綱1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；2.了解非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法知 識(shí) 梳 理求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法(1)公式法等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Snna1d等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式()當(dāng)q1時(shí)，Snna1；()當(dāng)q1時(shí)，Sn.(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解(3)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)(4)倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣(5)錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程

2、的推廣(6)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)1234n；(2)1357(2n1)n2；(3)2462nn2n.2常見的裂項(xiàng)公式(1).(2).(3).診 斷 自 測(cè)1思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn.()(2)當(dāng)n2時(shí)，()()(3)求Sna2a23a3nan時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得()

3、(4)若數(shù)列a1，a2a1，anan1是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an.()解析(3)要分a0或a1或a0且a1討論求解答案(1)(2)(3)(4)2(必修5P38A改編)等差數(shù)列an中，已知公差d，且a1a3a9950，則a2a4a100()A50 B75 C100 D125解析a2a4a100(a1d)(a3d)(a99d)(a1a3a99)50d505075.答案B3若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和為()A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn2解析Sn2n12n2.答案C4(必修5P38T8改編)一個(gè)球從100 m高處自由

4、落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時(shí)，經(jīng)過的路程是()A100200(129) B100100(129)C200(129) D100(129)解析第10次著地時(shí)，經(jīng)過的路程為1002(502510029)1002100(212229)100200100200(129)答案A5(必修5P61A4(3)改編)12x3x2nxn1_(x0且x1)解析設(shè)Sn12x3x2nxn1，則xSnx2x23x3nxn，得：(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn，Sn.答案6(2018麗水測(cè)試)“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名數(shù)列，在斐波那契數(shù)列an中，a11，a21，an2an1an

5、(nN*)則a7_；若a2 018m，則數(shù)列an的前2 016項(xiàng)和是_(用m表示)解析a11，a21，an2an1an(nN*)，a3112，同理可得：a43，a55，a68，則a713.a11，a21，anan1an2(nN*)，a1a2a3，a2a3a4，a3a4a5，a2 015a2 016a2 017a2 016a2 017a2 018.以上累加得，a12a22a32a42a2 016a2 017a3a4a2 018，a1a2a3a4a2 016a2 018a2m1.答案13m1考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法求和【例1】 (2016天津卷)已知an是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且，S663.

6、(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)任意的nN*，bn是log2an和log2an1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列(1)nb的前2n項(xiàng)和解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q.由已知，有，解得q2或q1.又由S6a163，知q1，所以a163，得a11.所以an2n1.(2)由題意，得bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n，即bn是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列設(shè)數(shù)列(1)nb的前n項(xiàng)和為Tn，則T2n(bb)(bb)(bb)b1b2b3b4b2n1b2n2n2.規(guī)律方法(1)若數(shù)列cn的通項(xiàng)公式為cnanbn，且an，bn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和(2)若數(shù)列cn

7、的通項(xiàng)公式為cn其中數(shù)列an，bn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和【訓(xùn)練1】 (1)數(shù)列1，3，5，7，(2n1)，的前n項(xiàng)和Sn的值等于()An21 B2n2n1Cn21 Dn2n1(2)(2017杭州七校聯(lián)考)數(shù)列an的通項(xiàng)公式anncos，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2 016等于()A1 008 B2 016 C504 D0解析(1)該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an(2n1)，則Sn135(2n1)n21.(2)a1cos 0，a22 cos 2，a30，a44，.所以數(shù)列an的所有奇數(shù)項(xiàng)為0，前2 016項(xiàng)的所有偶數(shù)項(xiàng)(共1 008項(xiàng))依次為2，4，6，8，2 014，2 01

8、6.故S2 0160(24)(68)(2 0142 016)1 008.答案(1)A(2)A考點(diǎn)二裂項(xiàng)相消法求和【例2】 Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則Tnb1b2bn.規(guī)律方法(1

9、)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)(2)將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等【訓(xùn)練2】 (2017全國(guó)卷)設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和解(1)因?yàn)閍13a2(2n1)an2n，故當(dāng)n2時(shí)，a13a2(2n3)an12(n1)，得(2n1)an2，所以an，又n1時(shí)，a12適合上式，從而an的通項(xiàng)公式為an.(2)記的前n項(xiàng)和為Sn，由(1)知，則Sn11.考點(diǎn)三錯(cuò)位相減法求和【例3】 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n28

10、n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn.求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題意知，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn16n5.當(dāng)n1時(shí)，a1S111，符合上式所以an6n5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d，由即可解得b14，d3.所以bn3n1.(2)由(1)知，cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn.得Tn3222323(n1)2n12Tn3223324(n1)2n2兩式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2.所以Tn3n2n2.規(guī)律方法(1)一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和(2)在寫

11、出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式【訓(xùn)練3】 (2017山東卷)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a26，a1a2a3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)bn為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S2n1bnbn1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解(1)設(shè)an的公比為q，由題意知a1(1q)6，aqa1q2，又an0，由以上兩式聯(lián)立方程組解得a12，q2，所以an2n.(2)由題意知S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，則cn，因此Tnc1c2cn，又Tn，兩式相減得Tn，所以Tn

12、5.基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1(2017杭州調(diào)研)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn1234(1)n1n，則S17()A9 B8 C17 D16解析S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.答案A2數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(1)n1(4n3)，則它的前100項(xiàng)之和S100等于()A200 B200 C400 D400解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.答案B3(2018湖州調(diào)研)已知數(shù)列an滿足an1an2，a15，則|a1|a2|a6|()A9 B15 C18 D30解析an

13、1an2，a15，數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列an52(n1)2n7.數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn26n.令an2n70，解得n.n3時(shí)，|an|an；n4時(shí)，|an|an.則|a1|a2|a6|a1a2a3a4a5a6S62S362662(3263)18.答案C4已知數(shù)列an滿足a11，a23，an1an1an(n2)，則數(shù)列an的前40項(xiàng)和S40等于()A20 B40 C60 D80解析由an1(n2)，a11，a23，可得a33，a41，a5，a6，a71，a83，這是一個(gè)周期為6的數(shù)列，一個(gè)周期內(nèi)的6項(xiàng)之和為，又40664，所以S406133160.答案C5(2018麗水測(cè)試)已知數(shù)列an

14、滿足a11，an1an2n(nN*)，則S2 018()A22 0181 B321 0093C321 0091 D321 0092解析a11，a22，又2，2.a1，a3，a5，成等比數(shù)列；a2，a4，a6，成等比數(shù)列，S2 018a1a2a3a4a5a6a2 017a2 018(a1a3a5a2 017)(a2a4a6a2 018)321 0093.答案B6.的值為()A. B.C. D.解析，.答案C二、填空題7(2017嘉興一中檢測(cè))有窮數(shù)列1，12，124，1242n1所有項(xiàng)的和為_解析由題意知所求數(shù)列的通項(xiàng)為2n1，故由分組求和法及等比數(shù)列的求和公式可得和為n2n12n.答案2n12

15、n8數(shù)列an滿足anan1(nN*)，且a11，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S21_解析由anan1an1an2，an2an，則a1a3a5a21，a2a4a6a20，S21a1(a2a3)(a4a5)(a20a21)1106.答案69(2017全國(guó)卷)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a33，S410，則_解析設(shè)等差數(shù)列an首項(xiàng)為a1，公差為d，則由得Sn，2，22.答案10(2018金華模擬)在數(shù)列an中，a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，則an_，S100_解析當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an2an0；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an2an2，an的一個(gè)通項(xiàng)公式為anS100S奇S偶5012 600.答

16、案2 600三、解答題11(2016北京卷)已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，由得bnb1qn13n1，又a1b11，a14b434127，1(141)d27，解得d2.ana1(n1)d1(n1)22n1(n1，2，3，)(2)由(1)知an2n1，bn3n1，因此cnanbn2n13n1.從而數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn13(2n1)133n1n2.12已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn，且Snan1(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

17、(2)設(shè)bnlog(1Sn1)(nN*)，令Tn，求Tn.解(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S1，由S1a11，得a1，當(dāng)n2時(shí)，Sn1an，Sn11an1，則SnSn1(an1an)，即an(an1an)，所以anan1(n2)故數(shù)列an是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列故an2(nN*)(2)因?yàn)?Snan.所以bnlog(1Sn1)logn1，因?yàn)?，所以Tn.能力提升題組13已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(nN*)，其前n項(xiàng)和為Sn，則在數(shù)列S1，S2，S2 016中，有理數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為()A42 B43 C44 D45解析an.所以Sn11，因此S3，S8，S15為有理項(xiàng)，又下標(biāo)3，8，15，的通項(xiàng)公式為n

18、21(n2)，所以n212 016，且n2，所以2n44，所以有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為43.答案B14在數(shù)列an中，an1(1)nan2n1，則數(shù)列an的前12項(xiàng)和等于()A76 B78 C80 D82解析因?yàn)閍n1(1)nan2n1，所以a2a11，a3a23，a4a35，a5a47，a6a59，a7a611，a11a1019，a12a1121，所以a1a32，a4a28，a12a1040，所以從第一項(xiàng)開始，依次取兩個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于2，從第二項(xiàng)開始，依次取兩個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以8為首項(xiàng)，以16為公差的等差數(shù)列，以上式相加可得，S12a1a2a3a12(a1a3)(a5a7)(a9a11)(a2

19、a4)(a6a8)(a10a12)328244078.答案B15(2017臺(tái)州調(diào)研)已知數(shù)列an滿足：a12，an1，則a1a2a3a15_；設(shè)bn(1)nan，數(shù)列bn前n項(xiàng)的和為Sn，則S2 016_解析a12，an1，a23，a3，a4，a52.a4n12，a4n23，a4n3，a4n.a4n1a4n2a4n3a4n2(3)1.a1a2a3a15a13a14a15a1a2a32(3)3.bn(1)nan，b4n12，b4n23，b4n3，b4n.b4n1b4n2b4n3b4n23.S2 0162 100.答案32 10016(2016浙江卷)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S24，an1

20、2Sn1，nN*.(1)求通項(xiàng)公式an；(2)求數(shù)列|ann2|的前n項(xiàng)和解(1)由題意得則又當(dāng)n2時(shí)，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an.所以，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n1，nN*.(2)設(shè)bn|3n1n2|，nN*，b12，b21，當(dāng)n3時(shí)，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則T12，T23，當(dāng)n3時(shí)，Tn3，所以Tn17(2017山東卷)已知xn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1x23，x3x22.(1)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1，1)，P2(x2，2)，Pn1(xn1，n1

21、)得到折線P1P2Pn1，求由該折線與直線y0，xx1，xxn1所圍成的區(qū)域的面積Tn.解(1)設(shè)數(shù)列xn的公比為q，由題意得所以3q25q20，由已知q0，所以q2，x11.因此數(shù)列xn的通項(xiàng)公式為xn2n1.(2)過P1，P2，Pn1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，記梯形PnPn1Qn1Qn的面積為bn，由題意bn2n1(2n1)2n2，所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2.又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1.得Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1.所以Tn.15