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1、第4講基本不等式1基本不等式：(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號成立的條件：當且僅當ab時取等號(3)其中稱為正數a，b的算術平均數，稱為正數a，b的幾何平均數2幾個重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，當且僅當ab時取等號(2)ab(a，bR)，當且僅當ab時取等號(3)(a，bR)，當且僅當ab時取等號(4)2(a，b同號)，當且僅當ab時取等號3利用基本不等式求最值已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么當且僅當xy時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)疑誤辨析判斷正誤(正確

2、的打“”，錯誤的打“”)(1)函數yx的最小值是2.()(2)ab成立的條件是ab0.()(3)“x0且y0”是“2”的充要條件()(4)若a0，則a3的最小值是2.()答案：(1)(2)(3)(4)教材衍化1(必修5P99例1(2)改編)設x0，y0，且xy18，則xy的最大值為_解析：因為x0，y0，所以，即xy81，當且僅當xy9時，(xy)max81.答案：812(必修5P100A組T2改編)若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_m2.解析：設矩形的一邊為x m，則另一邊為(202x)(10x)m，所以yx(10x)25，當且僅當x10x，即x5時，ymax

3、25.答案：25易錯糾偏(1)忽視基本不等式成立的條件；(2)基本不等式不會變形使用1“x0”是“x2成立”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C.當x0時，x2 2.因為x，同號，所以若x2，則x0，0，所以“x0”是“x2成立”的充要條件，故選C.2設x0，則函數yx的最小值為_解析：yx22 20，當且僅當x，即x時等號成立所以函數的最小值為0.答案：0利用基本不等式求最值(高頻考點)利用基本不等式求最值是高考的常考內容，題型主要為選擇題、填空題主要命題角度有：(1)求不含等式條件的函數最值；(2)求含有等式條件的函數最值角度一求不含等式條件

4、的函數最值 (1)函數f(x)(x0)的最大值為_(2)已知x0，則f(x)，當且僅當x時等號成立(2)因為x0，則f(x)4x23231.當且僅當54x，即x1時，等號成立故f(x)4x2的最大值為1.【答案】(1)(2)1角度二求含有等式條件的函數最值 (1)已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，則的最小值是()A2B2C4 D2(2)(2020杭州中學高三月考)函數yloga(x3)1(a0，且a1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mxny10上，其中m，n均大于0，則的最小值為()A2 B4C8 D16【解析】(1)因為lg 2xlg 8ylg 2，所以x3y1，所以(x3y)2

5、4，當且僅當，即x，y時，取等號(2)因為x2時，yloga111，所以函數yloga(x3)1(a0，a1)的圖象恒過定點(2，1)，即A(2，1)，因為點A在直線mxny10上，所以2mn10，即2mn1，因為m0，n0，(2mn)2242 8，當且僅當m，n時取等號，故選C.【答案】(1)C(2)C利用基本不等式求最值的方法(1)知和求積的最值：“和為定值，積有最大值”但應注意以下兩點：具備條件正數；驗證等號成立(2)知積求和的最值：“積為定值，和有最小值”，直接應用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的條件(3)構造不等式求最值：在求解含有兩個變量的代數式的最值問題時，通常采用

6、“變量替換”或“常數1”的替換，構造不等式求解 1設a，b0，ab5，則的最大值為_解析：令t，則t2a1b32929a1b313ab13518，當且僅當a1b3時取等號，此時a，b.所以 tmax3.答案：32(2020瑞安市龍翔高中高三月考)設x，y滿足約束條件，若目標函數zaxby(a1，b2)的最大值為5，則的最小值為_解析：由約束條件，作出可行域如圖，聯立，解得A(1，1)由zaxby(a1，b2)，得yx，由圖可知，zmaxab5.可得a1b22.所以(a1b2).當且僅當b2a時等號成立，并且ab5，a1，b2即a，b時上式等號成立所以的最小值為.答案：利用轉化思想求參數 已知不

7、等式(xy)9對任意的正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為_【解析】(xy)1a1a2(1)2(x，y，a0)，當且僅當yx時取等號，所以(xy)的最小值為(1)2，于是(1)29恒成立所以a4.【答案】4(1)涉及恒成立問題的數學問題，一般將其轉化為最值問題處理，即af(x)恒成立，則af(x)max；af(x)恒成立，則af(x)min.(2)涉及多個變元問題時，用常量與變元的轉化思想處理如本例先把參數a看作常量，求得含參數a的最值，再將其轉化為變量處理 1(2020浙江省名校聯考)已知函數f(x)x2的值域為(，04，)，則a的值是()A. B.C1 D2解析：選C.由題意可得a0，

8、當x0時，f(x)x222，當且僅當x時取等號；當x0時，f(x)x222，當且僅當x時取等號所以解得a1，故選C.2(2020金麗衢十二校高三聯考)若函數f(x)(a0)米，則|AN|(x2)米因為，所以|AM|，所以S矩形AMPN|AN|AM|.由S矩形AMPN32得32.又x0得3x220x120，解得0x6，即DN長的取值范圍是(6，)(2)矩形花壇的面積為y3x12(x0)2 1224.當且僅當3x即x2時，矩形花壇的面積最小為24平方米(1)利用基本不等式求解實際問題的注意事項根據實際問題抽象出目標函數的表達式，再利用基本不等式求得函數的最值設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定

9、義為函數解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍在應用基本不等式求函數最值時，若等號取不到，可利用函數的單調性求解(2)此類問題還常與一元二次函數、一元二次不等式結合命題，求解關鍵是構建函數與不等關系，在實際條件下解決 某公司生產的商品A，當每件售價為5元時，年銷售10萬件(1)據市場調查，若價格每提高1元，銷量相應減少1萬件，要使銷售收入不低于原銷售收入，該商品的銷售價格最多可提高多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，公司決定對該商品的生產進行技術革新，將技術革新后生產的商品售價提高到每件x元，公司擬投入(x2x)萬元作為技改費用，投入萬元作為宣傳費用試問：技術革新后生產的該商品銷售

10、量m至少應達到多少萬件時，才能使技術革新后的該商品銷售收入等于原銷售收入與總投入之和？解：(1)設商品的銷售價格提高a元，則(10a)(5a)50，解得0a5.所以商品的價格最多可以提高5元(2)由題意知，技術革新后的銷售收入為mx萬元，若技術革新后的銷售收入等于原銷售收入與總投入之和，只需滿足mx(x2x)50(x5)即可，此時mx2 ，當且僅當x，即x10時，取“”故銷售量至少應達到萬件，才能使技術革新后的銷售收入等于原銷售收入與總投入之和核心素養(yǎng)系列13數學運算利用均值定理連續(xù)放縮求最值已知ab0，那么a2的最小值為_【解析】因為ab0，所以ab0，所以b(ab)，所以a2a22 4，當

11、且僅當bab且a2，即a且b時取等號，所以a2的最小值為4.答案：4設ab0，則a2的最小值是_【解析】因為ab0，所以ab0，所以a2(a2ab)ab22 4(當且僅當a2ab且ab，即a，b時取等號)【答案】4利用基本不等式求函數或代數式的最值時一定要注意驗證等號是否成立，特別是當連續(xù)多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性，因此在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗轉換是否有誤的一種方法 基礎題組練1當x0時，函數f(x)有()A最小值1 B最大值1C最小值2 D最大值2解析：選B.f(x)1.當且僅當x，

12、x0即x1時取等號所以f(x)有最大值1.2設非零實數a，b，則“a2b22ab”是“2”成立的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B.因為a，bR時，都有a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，而2ab0，所以“a2b22ab”是“2”的必要不充分條件3(2020嘉興期中)若正實數x，y滿足x2y2xy80，則x2y的最小值為()A3 B4C. D.解析：選B.因為正實數x，y滿足x2y2xy80，所以x2y80，設x2yt0，所以tt280，所以t24t320，即(t8)(t4)0，所以t4，故x2y的最小值為4.4若log4(3a4b)l

13、og2，則ab的最小值是()A62 B72C64 D74解析：選D.由題意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，即3a4bab，故1.所以ab(ab)772 74.當且僅當時取等號故選D.5不等式x2x對任意a，b(0，)恒成立，則實數x的取值范圍是()A(2，0) B(，2)(1，)C(2，1) D(，4)(2，)解析：選C.根據題意，由于不等式x2x對任意a，b(0，)恒成立，則x2x，因為2 2，當且僅當ab時等號成立，所以x2x2，求解此一元二次不等式可知2x0，所以a10，所以2 2，當且僅當和1同時成立，即ab3時等號成立，所以的最小值為2

14、，故選A.7已知a，b(0，)，若ab1，則ab的最小值為_；若ab1，則ab的最大值為_解析：由基本不等式得ab22，當且僅當ab1時取到等號；ab，當且僅當ab時取到等號答案：28(2020嘉興期中)已知0x，則x(54x)的最大值是_解析：因為0x，所以054x5，所以x(54x)4x(54x)，當且僅當x時取等號，故最大值為.答案：9(2020溫州市瑞安市高考模擬)若x0，y0，則的最小值為_解析：設t0，則t(2t1)2，當且僅當t時取等號答案：10(2020寧波十校聯考)已知a，b均為正數，且ab1，c1，則(1)c的最小值為_解析：因為ab1，所以112 ，當且僅當即a1，b2時

15、取等號，所以(1)cc(c11)3，當且僅當c2時取等號答案：311已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，則12 .得xy64，當且僅當x16，y4時，等號成立所以xy的最小值為64.(2)由2x8yxy0，得1，則xy(xy)10102 18.當且僅當x12且y6時等號成立，所以xy的最小值為18.12.行駛中的汽車，在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離s(m)與汽車的車速v(km/h)滿足下列關系：s(n為常數，且nN)，做了兩次剎車

16、試驗，有關試驗數據如圖所示，其中(1)求n的值；(2)要使剎車距離不超過12.6 m，則行駛的最大速度是多少？解：(1)由試驗數據知，s1n4，s2n，所以解得.又nN，所以n6.(2)由(1)知，s，v0.依題意，s12.6，即v224v5 0400，解得84v60.因為v0，所以0v60.故行駛的最大速度為60 km/h.綜合題組練1.如圖所示，已知點G是ABC的重心，過點G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且x，y，則x2y的最小值為()A2 B.C. D.解析：選C.由已知可得()，又M、G、N三點共線，故1，所以3，則x2y(x2y)(當且僅當xy時取等號)故選C.2已知x0

17、，y0，2xy1，若4x2y2m0恒成立，則m的取值范圍是()A(1，0) B.C. D.解析：選B.4x2y2m4x2y2恒成立因為x0，y0，2xy1，所以12xy2，所以0，選B.3(2020杭州學軍中學考試)已知ab，若二次不等式ax2bxc0對任意實數x恒成立，則M的最小值為_解析：由條件知a0，ba0.由題意得b24ac0，解得c，所以M424448，當且僅當b3a時等號成立，所以M的最小值為8.答案：84(2020浙江省名校聯考)已知a0，b1，且ab1，則的最小值為_解析：aab12，又ab1，a0，b10，所以ab122 ，當且僅當即a42，b23時取等號，所以的最小值為.答

18、案：5已知x0，y0，且2x5y20.求：(1)ulg xlg y的最大值；(2)的最小值解：(1)因為x0，y0，所以由基本不等式，得2x5y2.因為2x5y20，所以220，xy10，當且僅當2x5y時，等號成立因此有解得此時xy有最大值10.所以ulg xlg ylg(xy)lg 101.所以當x5，y2時，ulg xlg y有最大值1.(2)因為x0，y0，所以.當且僅當時，等號成立由解得所以的最小值為.6.(2020義烏模擬)如圖，某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園種植桃樹，已知角A為120，AB，AC的長度均大于200米，現在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬

19、笆(1)若圍墻AP，AQ總長度為200米，如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大？(2)已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高1.5米，造價均為每平方米100元若圍圍墻用了20 000元，問如何圍可使竹籬笆用料最省？解：設APx米，AQy米(1)則xy200，APQ的面積Sxysin 120xy.所以S2 500.當且僅當即xy100時取“”(2)由題意得100(x1.5y)20 000，即x1.5y200.要使竹籬笆用料最省，只需其長度PQ最短，所以PQ2x2y22xycos 120x2y2xy(2001.5y)2y2(2001.5y)y1.75y2400y40 0001.75，當y時，PQ有最小值，此時x.16