《(全國通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 3.1 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念 3.1.2 復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 3.1 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念 3.1.2 復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)案 新人教A版選修2-2(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、3.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量來表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系.2.掌握實軸、虛軸、模等概念.3.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法知識點一復(fù)平面建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫做實軸,y軸叫做虛軸實軸上的點都表示實數(shù);除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù)知識點二復(fù)數(shù)的幾何意義知識點三復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)zabi(a,bR),對應(yīng)的向量為,則向量的模r叫做復(fù)數(shù)zabi的模,記作|z|或|abi|.由模的定義可知:|z|abi|r(r0,rR)1在復(fù)平面內(nèi),對應(yīng)于實數(shù)的點都在實軸上()2在復(fù)平面內(nèi),虛軸上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)()3若
2、|z1|z2|,則z1z2.()類型一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點的關(guān)系例1實數(shù)x分別取什么值時,復(fù)數(shù)z(x2x6)(x22x15)i對應(yīng)的點Z在:(1)第三象限;(2)直線xy30上考點復(fù)數(shù)的幾何意義題點復(fù)數(shù)與點對應(yīng)的關(guān)系解因為x是實數(shù),所以x2x6,x22x15也是實數(shù)(1)當(dāng)實數(shù)x滿足即當(dāng)3x2時,點Z在第三象限(2)zx2x6(x22x15)i對應(yīng)點Z(x2x6,x22x15),當(dāng)實數(shù)x滿足(x2x6)(x22x15)30,即當(dāng)x2時,點Z在直線xy30上引申探究若本例中的條件不變,其對應(yīng)的點在:(1)虛軸上;(2)第四象限解(1)當(dāng)實數(shù)x滿足x2x60,即當(dāng)x3或2時,點Z在虛軸上(2)當(dāng)實數(shù)
3、x滿足即當(dāng)2x5時,點Z在第四象限反思與感悟按照復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)所有點所成的集合之間的一一對應(yīng)關(guān)系,每一個復(fù)數(shù)都對應(yīng)著一個有序?qū)崝?shù)對,只要在復(fù)平面內(nèi)找出這個有序?qū)崝?shù)對所表示的點,就可根據(jù)點的位置判斷復(fù)數(shù)實部、虛部的取值跟蹤訓(xùn)練1在復(fù)平面內(nèi),若復(fù)數(shù)z(m2m2)(m23m2)i(mR)的對應(yīng)點在虛軸上和實軸負半軸上,分別求復(fù)數(shù)z.考點復(fù)數(shù)的幾何意義題點復(fù)數(shù)與點對應(yīng)的關(guān)系解若復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點在虛軸上,則m2m20,所以m1或m2,所以z6i或z0.若復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點在實軸負半軸上,則所以m1,所以z2.類型二復(fù)數(shù)的模例2設(shè)z為復(fù)數(shù),且|z|z1|1,求|z1|的值考點復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點利用定義求復(fù)
4、數(shù)的模解設(shè)zabi(a,bR)z1(a1)bi,且|z|z1|1,即即解得|z1|(abi)1|.反思與感悟利用模的定義將復(fù)數(shù)模的條件轉(zhuǎn)化為其實部、虛部滿足的條件,是一種復(fù)數(shù)問題實數(shù)化思想跟蹤訓(xùn)練2已知0a3,復(fù)數(shù)zai(i是虛數(shù)單位),則|z|的取值范圍是()A(1,) B(1,)C(1,3) D(1,10)考點復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點利用定義求復(fù)數(shù)的模答案A解析0a3,復(fù)數(shù)zai(i是虛數(shù)單位),則|z|(1,)類型三復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量的關(guān)系例3(1)向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i,則對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A108i B108iC0 D108i(2)設(shè)O是原點,向量,對應(yīng)的復(fù)數(shù)
5、分別為23i,32i,那么向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A55i B55iC55i D55i考點復(fù)數(shù)的幾何意義題點復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系答案(1)C(2)D解析(1)由復(fù)數(shù)的幾何意義,可得(5,4),(5,4),所以(5,4)(5,4)(0,0),所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為0.(2)由復(fù)數(shù)的幾何意義,得(2,3),(3,2),(2,3)(3,2)(5,5)所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)是55i.反思與感悟(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系,可知當(dāng)平面向量的起點在原點時,向量的終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)反之復(fù)數(shù)對應(yīng)的點確定后,從原點引出的指向該點的有向線段,即為復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng)的問題時,一般以復(fù)數(shù)
6、與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)為工具,實現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點、向量之間的轉(zhuǎn)化跟蹤訓(xùn)練3在復(fù)平面內(nèi),O是原點,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i,若點A關(guān)于實軸的對稱點為點B,則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為_考點復(fù)數(shù)的幾何意義題點復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系答案2i解析復(fù)數(shù)2i表示的點A(2,1)關(guān)于實軸對稱的點為B(2,1),對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i.1當(dāng)m1時,復(fù)數(shù)z(3m2)(m1)i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考點復(fù)數(shù)的幾何意義題點復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系答案D解析m1,03m21,m10,復(fù)數(shù)z(3m2)(m1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限2若(0,3),則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A0
7、B3 C3i D3考點復(fù)數(shù)的幾何意義題點復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系答案C3設(shè)復(fù)數(shù)z1a2i,z22i(i為虛數(shù)單位),且|z1|z2|,則實數(shù)a的取值范圍是()Aa1 B1a1 Da0考點復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點利用模的定義求參數(shù)答案B解析因為|z1|,|z2|,所以,即a245,所以a21,即1a1.4若復(fù)數(shù)z(m2)(m1)i為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位),其中mR,則|z|_.考點復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點利用定義求復(fù)數(shù)的模答案3解析復(fù)數(shù)z(m2)(m1)i為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位),所以m20且m10,解得m2,所以z3i,所以|z|3.5當(dāng)實數(shù)m為何值時,復(fù)數(shù)(m28m15)(m23m28)i(i為
8、虛數(shù)單位)在復(fù)平面中的對應(yīng)點(1)位于第四象限;(2)位于x軸的負半軸上考點復(fù)數(shù)的幾何意義題點復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系解(1)由得所以7m3.(2)由得所以m4.1復(fù)數(shù)的幾何意義這種對應(yīng)關(guān)系架起了復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁,使得復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法解決,而幾何問題也可以用復(fù)數(shù)方法解決(即數(shù)形結(jié)合法),增加了解決復(fù)數(shù)問題的途徑(1)復(fù)數(shù)zabi(a,bR)的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(a,b)而不是(a,bi);(2)復(fù)數(shù)zabi(a,bR)的對應(yīng)向量是以原點O為起點的,否則就談不上一一對應(yīng),因為復(fù)平面上與相等的向量有無數(shù)個2復(fù)數(shù)的模(1)復(fù)數(shù)zabi(a,bR)的模|z|;(2)從幾何意義上理解,表示點Z和原點
9、間的距離,類比向量的模可進一步引申:|z1z2|表示點Z1和點Z2之間的距離.一、選擇題1在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)zcos 3isin 3的對應(yīng)點所在象限為()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考點復(fù)數(shù)的幾何意義題點復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系答案B解析30,cos 30,故復(fù)數(shù)zcos 3isin 3的對應(yīng)點位于第二象限2已知復(fù)數(shù)z(m3)(m1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,則實數(shù)m的取值范圍是()A(3,1) B(1,3)C(1,) D(,3)考點復(fù)數(shù)的幾何意義題點復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系答案A解析由題意得解得3m1.3已知a為實數(shù),若復(fù)數(shù)z(a23a4)(a4)i為純虛數(shù),則復(fù)數(shù)aai在復(fù)平面內(nèi)對
10、應(yīng)的點位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考點復(fù)數(shù)的幾何意義題點復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系答案B解析若復(fù)數(shù)z(a23a4)(a4)i是純虛數(shù),則得得a1,則復(fù)數(shù)aai1i對應(yīng)的坐標(biāo)為(1,1),位于第二象限,故選B.4復(fù)數(shù)z(a22a)(a2a2)i對應(yīng)的點在虛軸上,則()Aa2或a1 Ba2且a1Ca0或a2 Da0考點復(fù)數(shù)的幾何意義題點復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系答案C解析z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在虛軸上,a22a0,解得a0或a2.5在復(fù)平面內(nèi),O為原點,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i,若點A關(guān)于直線yx的對稱點為B,則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A2i B2iC12i D12i考點復(fù)數(shù)的幾何意義題點復(fù)數(shù)與向
11、量的對應(yīng)關(guān)系答案B解析A(1,2)關(guān)于直線yx的對稱點為B(2,1),向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i.6已知復(fù)數(shù)zai在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限,且|z|2,則復(fù)數(shù)z等于()A1i B1iC1i或1i D2i考點復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點利用模的定義求復(fù)數(shù)答案A解析因為z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限,所以a0,由|z|2知, 2,解得a1,故a1,所以z1i.7在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1,z2的對應(yīng)點分別為A,B.已知A(1,2),|AB|2,|z2|,則z2等于()A45i B54iC34i D54i或i考點復(fù)數(shù)模的定義與應(yīng)用題點利用模的定義求復(fù)數(shù)答案D解析設(shè)z2xyi(x,yR),由條件得,或二、填空
12、題8若復(fù)數(shù)35i,1i和2ai在復(fù)平面上對應(yīng)的點在同一條直線上,則實數(shù)a的值為_考點復(fù)數(shù)的幾何意義題點復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系答案5解析由點(3,5),(1,1),(2,a)共線可知a5.9已知復(fù)數(shù)zx2yi的模是2,則點(x,y)的軌跡方程是_考點復(fù)數(shù)的幾何意義的綜合應(yīng)用題點利用幾何意義解決軌跡、圖形答案(x2)2y28解析由模的計算公式得2,(x2)2y28.10在復(fù)平面內(nèi),O為坐標(biāo)原點,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為34i,若點B關(guān)于原點的對稱點為A,點A關(guān)于虛軸的對稱點為C,則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為_考點復(fù)數(shù)的幾何意義題點復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系答案34i解析因為點B的坐標(biāo)為(3,4),所以點A的坐標(biāo)為(3,4),
13、所以點C的坐標(biāo)為(3,4),所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為34i.11若復(fù)數(shù)z(a2)(a1)i,aR對應(yīng)的點位于第二象限,則|z|的取值范圍是_考點復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點利用定義求復(fù)數(shù)的模答案解析復(fù)數(shù)z(a2)(a1)i對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(a2,a1),因為該點位于第二象限,所以解得1a2.由條件得|z| .因為1a2,所以|z|.三、解答題12設(shè)z為純虛數(shù),且|z1|1i|,求復(fù)數(shù)z.考點復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點利用模的定義求復(fù)數(shù)解因為z為純虛數(shù),所以可設(shè)zai(a0,且aR),則|z1|ai1|.又|1i|,所以,解得a1,所以zi.13已知復(fù)數(shù)z3ai,且|z|4,求實數(shù)a的取值范圍考點復(fù)數(shù)的幾
14、何意義題點復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用解方法一z3ai(aR),|z|,由已知得32a242,a27,a(,)方法二利用復(fù)數(shù)的幾何意義,由|z|4知,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在以原點為圓心,以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界),由z3ai知z對應(yīng)的點在直線x3上,所以線段AB(除去端點)為動點Z的集合由圖可知a,即AB,sin Acos B,cos Btan Acos Bcos Bsin A0,所以點(cos Btan A,tan B)在第二象限,故選B.15已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為(O為坐標(biāo)原點),與實軸正方向的夾角為120,且復(fù)數(shù)z的模為2,求復(fù)數(shù)z.考點復(fù)數(shù)的幾何意義題點復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系解根據(jù)題意可畫圖形如圖所示,設(shè)點Z的坐標(biāo)為(a,b),|z|2,xOZ120,a1,b,即點Z的坐標(biāo)為(1,)或(1,),z1i或z1i.10