《高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫(kù) 考點(diǎn)31 直接證明與間接證明（文、理）（含詳解13高考題）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫(kù) 考點(diǎn)31 直接證明與間接證明（文、理）（含詳解13高考題）（2頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫(kù) 考點(diǎn)31 直接證明與間接證明（文、理）（含詳解，13高考題）
1.（xx·北京高考理科·Ｔ20）已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)，…的最小值記為Bn，dn=An－Bn．
(1)若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意n∈N*，)，寫出d1，d2，d3，d4的值；
(2)設(shè)d為非負(fù)整數(shù)，證明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數(shù)列；
(3)證明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，則{an}的項(xiàng)只能是1或2，且有無(wú)窮多項(xiàng)為1
2、
【解題指南】(1)根據(jù){dn}的定義求.
(2)充分性:先證明{an}是不減數(shù)列,再利用定義求dn;
必要性:先證明{an}是不減數(shù)列,再利用定義證明等差.
(3)可通過(guò)取特殊值和反證法進(jìn)行證明.
【解析】（1），，
，。
（2） 充分性：
若為公差為的等差數(shù)列，則.
因?yàn)槭欠秦?fù)整數(shù)，所以是常數(shù)列或遞增數(shù)列.
，，
(n=1,2,3,…).
必要性：
若，假設(shè)是第一個(gè)使得的項(xiàng)，則
，，
，這與矛盾.
所以是不減數(shù)列.
，即，
是公差為的等差數(shù)列.
（3）①首先中的項(xiàng)不能是0，否則，與已知矛盾.
②中的項(xiàng)不能超過(guò)2，用反證法證明如下：
若中有超過(guò)2的項(xiàng)
3、，設(shè)是第一個(gè)大于2的項(xiàng)，
中一定存在項(xiàng)為1，否則與矛盾.
當(dāng)時(shí)，，否則與矛盾.
因此存在最大的i在2到k-1之間，使得，
此時(shí)，矛盾.
綜上中沒(méi)有超過(guò)2的項(xiàng).
綜合①②，中的項(xiàng)只能是1或2.
下面證明1有無(wú)數(shù)個(gè)，用反證法證明如下：
若為最后一個(gè)1，則，矛盾.
因此1有無(wú)數(shù)個(gè).
2.（xx·北京高考文科·Ｔ20）給定數(shù)列a1，a2，…，an。對(duì)i=1，2，…n-l，該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為Ai，后n-i項(xiàng)ai+1，ai+2，…，an的最小值記為Bi，di=Ai-Bi.
（1）設(shè)數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值.
（2）設(shè)a1，a2，…，an（n≥4
4、）是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0.證明：d1，d2，…dn-1是等比數(shù)列。
（3）設(shè)d1，d2，…dn-1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1＞0，證明：a1，a2，…，an-1是等差數(shù)列。
【解題指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值.
(2)先求出{dn}的通項(xiàng),再利用等比數(shù)列的定義證明{dn}是等比數(shù)列.
(3)先證明{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,再證明an是數(shù)列{an}的最小項(xiàng),最后證明{an}是等差數(shù)列.
【解析】（1），，。
（2）由是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0，可得的通項(xiàng)為且為單調(diào)遞增數(shù)列。
于是當(dāng)時(shí)，為定值。
因此d1，d2，…dn-1構(gòu)成首項(xiàng)，公比的
5、等比數(shù)列。
（3）若d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差數(shù)列,則00矛盾.
因而k≥2,此時(shí)考慮dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak<0,矛盾.
因此,an為數(shù)列{an}中的最小項(xiàng).
綜上,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,…,n-1),于是ak=dk+an,
從而a1,a2,…,an-1是等差數(shù)列.
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