《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 1.5.3 反證法和放縮法導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 1.5.3 反證法和放縮法導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1.5.3反證法和放縮法1.理解反證法和放縮法的概念.2.會用反證法和放縮法證明較簡單的不等式.自學(xué)導(dǎo)引1.反證法：首先假設(shè)要證明的命題是不正確的，然后利用公理，已有的定義、定理，命題的條件逐步分析，得到和命題的條件(或已證明過的定理，或明顯成立的事實)矛盾的結(jié)論，以此說明假設(shè)的結(jié)論不成立，從而原來的結(jié)論正確.2.放縮法：將所需證明的不等式的值適當放大(或縮小)使它由繁化簡，達到證明目的.如果所要證明的不等式中含有分式，把分母放大，則相應(yīng)分式的值縮小，反之，把分母縮小，則分式的值放大.基礎(chǔ)自測1.設(shè)M，則()A.M1 B.M1 D.M與1大小關(guān)系不定解析M是210項求和，M1，故選B.答案B2

2、.已知a，bR，下列各式中成立的是()A.cos2lg asin2lg blg(ab)C.acos2bsin2abD.acos2bsin2ab解析cos2lg asin2lg bcos2lg a(1cos2)lg bcos2lglg blglg blg alg(ab)，故選A.答案A3.lg 9lg 11與1的大小關(guān)系是_.解析lg 9lg 11121.答案lg 9lg 110，abbcca0，abc0.求證：a0，b0，c0.證明假設(shè)a、b、c不全是正數(shù)，即至少有一個小于或等于0.又abc0，不妨假設(shè)a0，則bca0，a(bc)0.a(bc)0，又bc0，bca(bc)0.即abbcca0矛

3、盾.假設(shè)不成立.故a0，b0，c0成立.反思感悟：用反證法證明不等式，其實質(zhì)是從否定結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理，導(dǎo)出與已知條件或公理相矛盾的結(jié)論，從而肯定原命題成立.1.設(shè)a0，b0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a2與b2b2不可能同時成立.證明由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假設(shè)a2a2與b2b2同時成立，則由a2a2及a0，得0a1；同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾.故a2a2與b2b2不可能同時成立.知識點2放縮法證明不等式【例2】 設(shè)Sn，求證：不等式Sn12n.且SnSn.反思感悟：用放縮法證明不等式的過程中，往往采

4、用“添舍”放縮、分項放縮、函數(shù)的單調(diào)性放縮、重要不等式收縮等，放縮時要注意適度，否則不能同向傳遞.2.求證：12 (nN*).證明1112c，求證：.證明abc，abc0，由真分數(shù)的性質(zhì)：.反思感悟：函數(shù)的單調(diào)性和“真分數(shù)的分子、分母同加上一正數(shù)，所得新分數(shù)的值變大”的性質(zhì)都是放縮的重要依據(jù).3.求證：0，S3，即0”是“P、Q、R同時大于零”的() A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分且必要條件 D.既不充分又不必要條件解析必要性是顯然成立的當PQR0時，若P，Q，R不同時大于零，則其中兩個為負，一個為正，不妨設(shè)P0，Q0，R0，則QR2c0矛盾，即充分性也成立.答案C2.已知

5、a，b，c，d都是正數(shù)，S，則S的取值范圍是_.答案(1，2)3.用反證法證明：如果a，b為正數(shù)，則a3b3a2bab2.證明假設(shè)a3b3a2bab2，則a3b3a2bab20.a2(ab)b2(ab)0即(ab)2(ab)0.又(ab)20，ab2)，則()A.pqB.p0，p224，而q2(a2)22，根據(jù)a2，可得qq.答案A2.不等式ab與能同時成立的充要條件是()A.ab0 B.a0bC.0解析充分性顯然.下面用反證法說明必要性.若a，b同號且ab，則有b與同時成立，a，b只能異號，即a0b.答案B3.若f(x)，a，b都為正數(shù)，Af，Gf()，Hf，則()A.AGH B.AHGC.

6、GHA D.HGA解析a，b為正數(shù)，又f(x)為單調(diào)減函數(shù)，ff()f，AGH.答案A4.設(shè)x0，y0，A，B，則A與B的大小關(guān)系為_.解析A (x0，y0)B，Am時，求證：m|a|，|x|m|b|，|x|m1，|x|2m2|b|1|b|0，abbcca0，abc0，則a，b，c三數(shù)()A.全為正數(shù)B.至多有兩個為正數(shù)C.至多有一個為正數(shù)D.全為負數(shù)解析假設(shè)a，b，c不全為正數(shù)，abc0，有兩個負數(shù)一個正數(shù)，不妨設(shè)a，b為負數(shù)，c為正數(shù)，abc0，c(ab)0，又abbcca0，ab(bcca)c(ab)(ab)2，這與(ab)24ab矛盾，故假設(shè)錯誤，a，b，c全為正數(shù).選A.答案A8.若

7、實數(shù)mn，正數(shù)ab，A(anbn)m，B(ambm)n，則()A.ABB.Ab0，0n，amnamn，即AB，故選A.答案A9.若|a|1，|b|1，則|ab|ab|與2的大小關(guān)系是_.解析當(ab)(ab)0時，|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|2；當(ab)(ab)0時，|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|2.綜上，|ab|ab|2.答案|ab|ab|0，a，b，c都為正，或者a，b，c中有一正二負.又abc0，a，b，c中只能是一正二負.不妨設(shè)a0，b0，c ，a，b，c中至少有一個大于.12.已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明an是等比數(shù)列，并求an的通項公式；(2)證明.證明(1)由an13an1得an13.又a1，所以是首項為，公比為3的等比數(shù)列.an，因此an的通項公式為an.(2)由(1)知.因為當n1時，3n123n1，所以.于是1.所以.8