《（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 概率 第3講 幾何概型學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 概率 第3講 幾何概型學(xué)案（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3講幾何概型板塊一知識梳理自主學(xué)習(xí) 必備知識考點(diǎn)1幾何概型1幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型2幾何概型的兩個基本特點(diǎn)考點(diǎn)2幾何概型的概率公式P(A).必會結(jié)論幾種常見的幾何概型(1)與長度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)；(2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題；(3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題考點(diǎn)自測1判斷

2、下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零. ()(2)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會相等()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()(4)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率()(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)()(6)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是P.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)22017全國卷如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱在正方形內(nèi)隨

3、機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.答案B解析不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，S正方形4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，得S黑S白S圓，所以由幾何概型知所求概率P.故選B.32018重慶一中模擬在2,3上隨機(jī)取一個數(shù)x，則(x1)(x3)0的概率為()A. B. C. D.答案D解析由(x1)(x3)0，得1x3.由幾何概型得所求概率為.42018衡水中學(xué)調(diào)研已知正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球O，則在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取點(diǎn)M，點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率是()A. B. C. D.答案C解析設(shè)正方體

4、棱長為a，則正方體的體積為a3，內(nèi)切球的體積為3a3，故M在球O內(nèi)的概率為.52016全國卷從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A. B. C. D.答案C解析設(shè)由，構(gòu)成的正方形的面積為S，xy1構(gòu)成的圖形的面積為S，所以，所以.故選C.板塊二典例探究考向突破考向與長度有關(guān)的幾何概型例1(1)2016全國卷某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠

5、燈的概率為()A. B. C. D.答案B解析行人在紅燈亮起的25秒內(nèi)到達(dá)該路口，即滿足至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈，根據(jù)幾何概型的概率公式知所求事件的概率P.故選B.(2)2017江蘇高考記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈.在區(qū)間4,5上隨機(jī)取一個數(shù)x，則xD的概率是_答案解析由6xx20，解得2x3，D2,3如圖，區(qū)間4,5的長度為9，定義域D的長度為5，P.觸類旁通求解與長度有關(guān)的幾何概型應(yīng)注意的問題(1)求解幾何概型問題，解題的突破口為弄清是長度之比、面積之比還是體積之比；(2)求與長度有關(guān)的幾何概型的概率的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為線段的長度，然后求解，應(yīng)特別注意準(zhǔn)確表示所確定的線

6、段的長度【變式訓(xùn)練1】(1)2018遼寧模擬在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為()A. B. C. D.答案C解析設(shè)ACx cm(0x12)，則CB(12x) cm，則矩形面積Sx(12x)12xx20，解得0x4或8x12，在數(shù)軸上表示為由幾何概型概率公式，得概率為.故選C.(2)某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點(diǎn)的時刻是隨機(jī)的，則他候車時間不超過3分鐘的概率是_答案解析本題可以看成向區(qū)間0,5 內(nèi)均勻投點(diǎn)，設(shè)A某乘客候車時間不超過3分鐘，則P(A).考向與面積有關(guān)的幾何概型命題角度1與平面圖形

7、面積有關(guān)的問題例22015陜西高考設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，則yx的概率為()A. B.C. D.答案C解析|z|1，(x1)2y21，表示以M(1,0)為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部，該圓的面積為.易知直線yx與圓(x1)2y21相交于O(0,0)，A(1,1)兩點(diǎn)，作圖如右：OMA90，S陰影11.故所求的概率P.命題角度2與線性規(guī)劃交匯的問題例32018湖北聯(lián)考在區(qū)間0,4上隨機(jī)取兩個實(shí)數(shù)x，y，使得x2y8的概率為()A. B. C. D.答案D解析如圖所示，表示的平面區(qū)域?yàn)檎叫蜲BCD及其內(nèi)部，x2y8(x，y0,4)表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，所以所求概率P.

8、故選D.命題角度3隨機(jī)模擬估算例4如圖，矩形長為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆為96顆，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)估計橢圓的面積為()A7.68 B8.68 C16.32 D17.32答案C解析由隨機(jī)模擬的思想方法，可得黃豆落在橢圓內(nèi)的概率為0.68.由幾何概型的概率計算公式，可得0.68，而S矩形6424，則S橢圓0.682416.32.觸類旁通利用求解考向與體積有關(guān)的幾何概型例5有一個底面半徑為1，高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機(jī)抽取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_答案解析圓柱的體積V柱R2h2，半球的體積V半球R3.圓柱內(nèi)一點(diǎn)P

9、到點(diǎn)O的距離小于等于1的概率為.點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為1.觸類旁通與體積有關(guān)的幾何概型求法的關(guān)鍵點(diǎn)對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求【變式訓(xùn)練2】已知正三棱錐SABC的底面邊長為4，高為3，則在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P滿足V三棱錐PABCV三棱錐SABC的概率是_答案解析設(shè)三棱錐PABC的高為h.由V三棱錐PABCV三棱錐SABC，得SABChSABC3，解得h，即點(diǎn)P在三棱錐的中截面以下的空間點(diǎn)P滿足V三棱錐PABCV三棱錐SABC的概率是P1.考向與角度有關(guān)的幾何概型例62017鞍山模

10、擬過等腰RtABC的直角頂點(diǎn)C在ACB內(nèi)部隨機(jī)作一條射線，設(shè)射線與AB相交于點(diǎn)D，求ADAC的概率解在AB上取一點(diǎn)E，使AEAC，連接CE(如圖)，則當(dāng)射線CD落在ACE內(nèi)部時，ADAC.易知ACE67.5，ADAC的概率P0.75.觸類旁通與角度有關(guān)的幾何概型的求解方法(1)若試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來表示，則其概率公式為P(A).(2)解決此類問題時注意事件的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域及所求事件的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，然后再利用公式計算【變式訓(xùn)練3】如圖所示，在ABC中，B60，C45，高AD，在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM1的概率解因?yàn)锽60，C45，所以BAC75，在R

11、tABD中，AD，B60，所以BD1，BAD30.記事件N為“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM1”，則可得BAMBAD時事件N發(fā)生由幾何概型的概率公式，得P(N).核心規(guī)律幾何概型中的轉(zhuǎn)化思想(1)一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型，只需把這個變量放在坐標(biāo)軸上即可(2)若一個隨機(jī)事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型(3)若一個隨機(jī)事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系建立與體積有關(guān)的幾何概型滿分策略幾何概型求解中的注意事項(xiàng)(1)

12、計算幾何概型問題的關(guān)鍵是怎樣把具體問題(如時間問題等)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)類型的幾何概型問題(2)幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果(3)幾何概型適用于解決一切均勻分布的問題，包括“長度”“角度”“面積”“體積”等，但要注意求概率時作比的上下“測度”要一致.板塊三啟智培優(yōu)破譯高考數(shù)學(xué)思想系列11轉(zhuǎn)化與化歸思想解決幾何概型的應(yīng)用問題2018珠海模擬某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：307：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_(用數(shù)字作答)解題視點(diǎn)先設(shè)出兩人到校的時間，得到兩變量滿足的不等式組，

13、再在平面直角坐標(biāo)系中畫出不等式組表示的區(qū)域，最后根據(jù)面積型幾何概型求概率解析設(shè)小張和小王的到校時間分別為7：00后第x分鐘，第y分鐘，根據(jù)題意可畫出圖形，如圖所示則總事件所占的面積為(5030)2400.小張比小王至少早5分鐘到校表示的事件A(x，y)|yx5,30x50,30y50，如圖中陰影部分所示，陰影部分所占的面積為1515，所以小張比小王至少早5分鐘到校的概率為P(A).答案答題啟示本題通過設(shè)置小張、小王兩人到校的時間這兩個變量x，y，將已知轉(zhuǎn)化為x，y所滿足的不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)(x，y)的相關(guān)約束條件，從而把時間這個長度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成面積

14、型的幾何概型問題求解.若題中涉及到三個相互獨(dú)立的變量，則需將其轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積問題加以求解.跟蹤訓(xùn)練2018海口調(diào)研張先生訂了一份南昌晚報，送報人在早上6：307：30之間把報紙送到他家，張先生離開家去上班的時間在早上7：008：00之間，則張先生在離開家之前能拿到報紙的概率是_答案解析以橫坐標(biāo)x表示報紙送到時間，以縱坐標(biāo)y表示張先生離家時間，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖因?yàn)殡S機(jī)試驗(yàn)落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，所以符合幾何概型的條件根據(jù)題意只要點(diǎn)落在陰影部分，就表示張先生在離開家之前能拿到報紙，即所求事件A發(fā)生，所以P(A).板塊四模擬演練提能增分 A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1在長為6 m的木棒上任

15、取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到木棒兩端點(diǎn)的距離都大于2 m的概率是()A. B. C. D.答案B解析將木棒三等分，當(dāng)P位于中間一段時，到兩端A，B的距離都大于2 m，P.2如圖所示，在圓心角為90的扇形中，以圓心O為起點(diǎn)作射線OC，則使得AOC和BOC都不小于15的概率為()A. B. C. D.答案D解析依題意可知AOC15，75，BOC15，75，故OC活動區(qū)域?yàn)榕cOA，OB構(gòu)成的角均為15的扇形區(qū)域，可求得該扇形圓心角為(9030)60.P(A).32018山東師大附中模擬設(shè)x0，則sinx的概率為()A. B. C. D.答案C解析由sinx”即P.9在區(qū)間2,4上隨機(jī)地取一個數(shù)x，若x滿足|x

16、|m的概率為，則m_.答案3解析由題意知m0，當(dāng)0m2時，mxm，此時所求概率為，解得m(舍去)；當(dāng)2m4時，所求概率為，解得m3；當(dāng)m4時，概率為1，不合題意，故m3.102018保定調(diào)研在區(qū)間1,1內(nèi)隨機(jī)取兩個實(shí)數(shù)x，y，則滿足yx1的概率是_答案解析點(diǎn)(x，y)分布在如圖所示的正方形區(qū)域內(nèi)，畫出xy10表示的區(qū)域，可知所求的概率為1.B級知能提升12018鄭州模擬分別以正方形ABCD 的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示，若向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率為()A. B. C. D.答案B解析設(shè)AB2，則S陰影24.所求概率P，故選B項(xiàng)2已知P是ABC所在平面

17、內(nèi)一點(diǎn)，20，現(xiàn)將一粒黑芝麻隨機(jī)撒在ABC內(nèi)，則該粒黑芝麻落在PBC內(nèi)的概率是()A. B. C. D.答案D解析由20，得2，設(shè)BC邊中點(diǎn)為D，連接PD，則22，P為AD中點(diǎn)，所以所求概率P，即該粒黑芝麻落在PBC內(nèi)的概率是.故選D.32018山東模擬在區(qū)間0,2上隨機(jī)地取一個數(shù)x，則事件“1log1”發(fā)生的概率為_答案解析不等式1log1可化為log2loglog，即x2，解得0x，故由幾何概型的概率公式得P.4設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x22axb20.(1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；(2)若a是從區(qū)間0,3任

18、取的一個數(shù)，b是從區(qū)間0,2任取的一個數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率解設(shè)事件A為“方程x22axb20有實(shí)根”當(dāng)a0，b0時，方程x22axb20有實(shí)根的充要條件為ab.(1)基本事件共有12個：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值事件A中包含9個基本事件，故事件A發(fā)生的概率為P(A).(2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?a，b)|0a3,0b2，構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)?a，b)|0a3,0b2，ab，如圖所以所求的概率為P(A).5甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)任何時刻到達(dá)是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊時間都是4小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率；(2)如果甲船的停泊時間為4小時，乙船的停泊時間為2小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率解(1)設(shè)甲、乙兩船到達(dá)時間分別為x、y，則0x24,0y4或yx2或yx4，設(shè)在上述條件時“兩船不需等待碼頭空出”為事件B，畫出區(qū)域P(B).15