《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例學案 新人教A版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例學案 新人教A版選修2-2（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1.4生活中的優(yōu)化問題舉例學習目標1.了解導數(shù)在解決實際問題中的作用.2.掌握利用導數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題知識點生活中的優(yōu)化問題(1)生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題(2)利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是求函數(shù)最值(3)解決優(yōu)化問題的基本思路：上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學建模過程1生活中常見到的收益最高，用料最省等問題就是數(shù)學中的最大、最小值問題()2解決應用問題的關鍵是建立數(shù)學模型()類型一幾何中的最值問題例1請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線

2、折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒點E，F(xiàn)在邊AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點設AEFBx(cm)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值考點利用導數(shù)求幾何模型的最值問題題點利用導數(shù)求幾何體體積的最值問題解V(x)(x)2(602x)x2(602x)2x360x2(0x30)V(x)6x2120x6x(x20)令V(x)0，得x0(舍去)或x20.當0x0；當20x30時，V(x)0.V(x)在x20時取極大值也是唯一的極值，故為最大值底面邊長為x20(cm)，高為(30x)10

3、(cm)，即高與底面邊長的比值為.引申探究本例條件不變，若要求包裝盒的側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？解AEx，HEx.EF602x，EGEF(602x)(30x)S側4HEEG4x(30x)8x(30x)8x2240x8(x15)28152.當x15時，S側最大為1 800 cm2.反思與感悟面積、體積(容積)最大，周長最短，距離最小等實際幾何問題，求解時先設出恰當?shù)淖兞浚瑢⒋蠼庾钪档膯栴}表示為變量的函數(shù)，再按函數(shù)求最值的方法求解，最后檢驗跟蹤訓練1(1)已知圓柱的表面積為定值S，當圓柱的容積V最大時，圓柱的高h的值為_考點利用導數(shù)求幾何模型的最值問題題點利用導數(shù)求幾何體體積的最值

4、問題(2)將一段長為100 cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，當正方形與圓形面積之和最小時，圓的周長為_ cm.考點利用導數(shù)求幾何模型的最值問題題點利用導數(shù)求面積的最值問題答案(1)(2)解析(1)設圓柱的底面半徑為r，則S圓柱底2r2，S圓柱側2rh，圓柱的表面積S2r22rh.h，又圓柱的體積Vr2h(S2r2)，V(r)，令V(r)0，得S6r2，h2r，V(r)只有一個極值點，當h2r時圓柱的容積最大又r，h2.即當圓柱的容積V最大時，圓柱的高h為.(2)設彎成圓的一段鐵絲長為x(0x100)，則另一段長為100x.設正方形與圓形的面積之和為S，則正方形的邊長a，圓的半徑

5、r.故S22(0x100)因此S，令S0，則x.由于在(0,100)內(nèi)，函數(shù)只有一個導數(shù)為0的點，則問題中面積之和的最小值顯然存在，故當x cm時，面積之和最小類型二實際生活中的最值問題例2某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)10(x6)2，其中3x6，a為常數(shù)已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大考點利用導數(shù)求解生活中的最值問題題點利用導數(shù)求解最大利潤問題解(1)因為當x5時，y11，所以1011，所以

6、a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為y10(x6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.從而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，令f(x)0，得x4或x6.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)極大值由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點所以當x4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大反思與感悟解決此類有關利潤的實際應用題，應靈活運用題設條件，建立利潤的

7、函數(shù)關系，常見的基本等量關系有(1)利潤收入成本(2)利潤每件產(chǎn)品的利潤銷售件數(shù)跟蹤訓練2已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元設該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)(1)求年利潤W(萬元)關于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)當年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，并求出最大值考點利用導數(shù)求解生活中的最值問題題點利用導數(shù)求解最大利潤問題解(1)當010時，WxR(x)(102.7x)982.7x.所以W(2)當00，當x(9,10)時，W10時，W9898238，當

8、且僅當2.7 x，即x時，Wmax38，綜上可得，當x9時，W取得最大值38.6.故當年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，最大利潤為38.6萬元例3某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2)x萬元假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元(1)試寫出y關于x的函數(shù)關系式；(2)當m640米時，需新建多少個橋墩才能使y最??？考點利用導數(shù)求解生活中的最值問題題點用料、費用最少問題解(1)設需新建n個橋墩

9、，則(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)m(512)令f(x)0，得512，所以x64.當0x64時，f(x)0，f(x)在區(qū)間(0,64)上為減函數(shù)；當64x0，f(x)在區(qū)間(64,640)上為增函數(shù)，所以f(x)在x64處取得最小值此時n119.反思與感悟(1)用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象正確書寫函數(shù)表達式，準確求導，結合實際作答(2)利用導數(shù)的方法解決實際問題，當在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點使f(x)0時，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么

10、不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值跟蹤訓練3為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值考點利用導數(shù)求解生活中的最值問題題點用料、費用最少問題解(1)設隔熱層厚度為x cm，由題設，每年能源消耗費用為C(

11、x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x)，而建造費用為C1(x)6x.因此得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)當0x5時，f(x)0；當5x0，故當x5時，f(x)取到最小值，對應的最小值為f(5)6570.答當隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小值為70萬元.1煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度(單位：)為f(x)x3x28(0x5)，那么原油溫度的瞬時變化率的最小值是()A8 B.C1 D8考點利用導數(shù)求解生活中的最值問題題

12、點利用導數(shù)求解生活中的其他最值問題答案C解析原油溫度的瞬時變化率為f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以當x1時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值1.2要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高應為()A. cm B. cmC. cm D. cm考點利用導數(shù)求幾何模型的最值問題題點利用導數(shù)求幾何體體積的最值問題答案B解析設圓錐的高為h cm,0h0，當h時，V0)，S(x34V)令S0，得x，可判斷當x時，S取得最小值2如果圓柱軸截面的周長l為定值，則體積的最大值為()A.3 B.3C.3 D.3考點利用導數(shù)求幾何模型的最值問題題點利用導數(shù)求幾何體體積的最值問題答案A解

13、析設圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V，則4r2hl，h.Vr2hr22r3，則Vlr6r2.令V0，得r0或r，而r0，r是其唯一的極值點當r時，V取得最大值，最大值為3.3某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品， 固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關系是R(x)則當總利潤P(x)最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是()A150 B200C250 D300考點利用導數(shù)求解生活中的最值問題題點利用導數(shù)求解最大利潤問題答案D解析由題意得，總利潤P(x)當0x390時，令P(x)0，得x300，又當x390時，P(x)70 090100x為減函數(shù)，所以當每年生產(chǎn)300單

14、位的產(chǎn)品時，總利潤最大，故選D.4若方底無蓋水箱的容積為256，則最省材料時，它的高為()A4 B6C4.5 D8考點利用導數(shù)求解生活中的最值問題題點用料、費用最少問題答案A解析設底面邊長為x，高為h，則V(x)x2h256，h.S(x)x24xhx24xx2，S(x)2x.令S(x)0，解得x8，當x8時，S(x)取得最小值h4.5某超市中秋前30天，月餅銷售總量f(t)與時間t(00)已知貸款的利率為0.048 6，且假設銀行吸收的存款能全部放貸出去設存款利率為x，x(0,0.048 6)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為()A0.016 2 B0.032 4C0.024 3 D0.04

15、8 6考點利用導數(shù)求解生活中的最值問題題點利用導數(shù)求解最大利潤問題答案B解析依題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以銀行的收益是y0.048 6kx2kx3(0x0.048 6)，則y0.097 2kx3kx2.令y0，得x0.032 4或x0(舍去)當0x0；當0.032 4x0.048 6時，y0，f(x)是單調(diào)遞增的，當x時，f(x)0，f(x)是單調(diào)遞減的，當x時，f(x)取最大值.9統(tǒng)計表明：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關于行駛速度x(千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為yx3x8，x(0

16、,120，且甲、乙兩地相距100千米，則當汽車以_千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地的耗油量最少考點利用導數(shù)求解生活中的最值問題題點用料、費用最少問題答案80解析當速度為x千米/時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為y升，依題意得，yx2(0x120)則y(0x120)令y0，得x80，當x(0,80)時，y0，該函數(shù)遞增，所以當x80時，y取得最小值10某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x_噸考點利用導數(shù)求解生活中的最值問題題點用料、費用最少問題答案20解析設該公司一年內(nèi)總共購買n次貨

17、物，則n，總運費與總存儲費之和f(x)4n4x4x，令f(x)40，解得x20，x20(舍去)，x20是函數(shù)f(x)的最小值點，故當x20時，f(x)最小11某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本為C(x)1 200x3(萬元)，已知產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，則產(chǎn)量定為_件時總利潤最大考點利用導數(shù)求解生活中的最值問題題點利用導數(shù)求解最大利潤問題答案25解析由題意知502，解得k25104.產(chǎn)品的單價P.總利潤L(x)x1 200x35001 200x3，L(x)250xx2，令L(x)0，得x25，當x25時，總利潤最大12.一個帳篷，它下部的形狀是高為1

18、m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3 m的正六棱錐(如圖所示)當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為_ m時，帳篷的體積最大考點利用導數(shù)求幾何模型的最值問題題點利用導數(shù)求幾何體體積的最值問題答案2解析設OO1x，則1x4.由題設可得正六棱錐底面邊長為.于是底面正六邊形的面積為6()2(82xx2)帳篷的體積為V(x)(82xx2)(1612xx3)則V(x)(123x2)令V(x)0，解得x2(不合題意，舍去)或x2.當1x0，V(x)為增函數(shù)；當2x4時，V(x)0，即r0得2r2；令y0得0r0，得520，即0x，由y0，得520，即x10，即當x時，函數(shù)取得極大值同時也是最大值，此時y.15某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛本年度為適應市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適當增加投入成本，若每輛車的投入成本增加的比例為x(0x0，f(x)是增函數(shù)；當x時，f(x)0，f(x)是減函數(shù)所以當x時，f(x)取極大值，f20 000.因為f(x)在(0,1)內(nèi)只有一個極大值，所以它是最大值所以當x時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20 000萬元18