8、值
↘
由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內的極大值點，也是最大值點．
所以當x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答 當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
反思與感悟 解決此類有關利潤的實際應用題，應靈活運用題設條件，建立利潤的函數(shù)關系，常見的基本等量關系有
(1)利潤＝收入－成本．
(2)利潤＝每件產品的利潤×銷售件數(shù)．
跟蹤訓練2 已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產1千件需另投入2.7萬元．設該公司一年內生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)＝
(1
9、)求年利潤W(萬元)關于年產量x(千件)的函數(shù)解析式；
(2)當年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大，并求出最大值．
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 利用導數(shù)求解最大利潤問題
解 (1)當010時，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.
所以W＝
(2)當00，當x∈(9,10)時，W′<0，
所以當x＝9時，W取得最大值，
且Wmax＝8.1×9－×93－10＝
10、38.6，
當x>10時，W＝98－
≤98－2＝38，
當且僅當＝2.7 x，即x＝時，Wmax＝38，
綜上可得，當x＝9時，W取得最大值38.6.
故當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大，最大利潤為38.6萬元．
例3 某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋)x萬元．假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元．
(1)試寫出y關于x的函數(shù)關系式；
(2)當m＝640米
11、時，需新建多少個橋墩才能使y最??？
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 用料、費用最少問題
解 (1)設需新建n個橋墩，
則(n＋1)x＝m，即n＝－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋m
＝(－512)．
令f′(x)＝0，得＝512，
所以x＝64.
當00，f(x)在區(qū)間(64,640)上為增函數(shù)，
所以f(x)在x＝64處取得最小值．
此時n＝－1＝
12、－1＝9.
反思與感悟 (1)用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象．正確書寫函數(shù)表達式，準確求導，結合實際作答．
(2)利用導數(shù)的方法解決實際問題，當在定義區(qū)間內只有一個點使f′(x)＝0時，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值．
跟蹤訓練3 為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝
13、(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
(1)求k的值及f(x)的表達式；
(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 用料、費用最少問題
解 (1)設隔熱層厚度為x cm，
由題設，每年能源消耗費用為C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝，
而建造費用為C1(x)＝6x.
因此得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝
14、6－.
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
當00，
故當x＝5時，f(x)取到最小值，對應的最小值為f(5)＝6×5＋＝70.
答 當隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小值為70萬元.
1．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時變化率的最小值是( )
A．8 B.
C．－1 D．－8
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 利用導數(shù)求解生活中的其他最值問題
答案 C
15、
解析 原油溫度的瞬時變化率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當x＝1時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值－1.
2．要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高應為( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
考點 利用導數(shù)求幾何模型的最值問題
題點 利用導數(shù)求幾何體體積的最值問題
答案 B
解析 設圓錐的高為h cm,00，當h∈時，V′<0，
故當h＝時，體積最
16、大．
3．某商場從生產廠家以每件20元的價格購進一批商品．若該商品零售價定為P元，銷售量為Q件，且銷量Q與零售價P有如下關系：Q＝8 300－170P－P2，則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進貨支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 利用導數(shù)求解最大利潤問題
答案 D
解析 毛利潤為(P－20)Q，
即f(P)＝(P－20)(8 300－170P－P2)，
f′(P)＝－3P2－300P＋11 700
＝－3(P＋130)(P－30)．
令f′(P)＝0，
得P＝30或P＝－13
17、0(舍去)．
又P∈[20，＋∞)，
故f(P)max＝f(P)極大值，
故當P＝30時，毛利潤最大，
所以f(P)max＝f(30)＝23 000(元)．
4．要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器，已知底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是________元．
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 用料、費用最少問題
答案 160
解析 設底面長為x，由題意得底面寬為.
設總造價為y，則y＝20x×＋10×1×，
即y＝20x＋＋80，
y′＝20－，令y′＝0，得x＝2.
∴當x＝2時，ymin＝160(元)
18、．
5．某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低額x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品單價降低2元時，每星期多賣出24件．
(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；
(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 利用導數(shù)求解最大利潤問題
解 (1)設商品降價x元，則多賣出的商品件數(shù)為kx2.
若記商品一個星期的獲利為f(x)，則有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
由已知條件，得24＝
19、k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．
(2)由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,21]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
極小值
↗
極大值
↘
故當x＝12時，f(x)取得極大值．
因為f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.
所以定價為30－12＝18(元)，才能使一個星期的商品銷售利潤最大．
1
20、．利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟
(1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系y＝f(x)；
(2)求函數(shù)的導數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點處的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值．
2．正確理解題意，建立數(shù)學模型，利用導數(shù)求解是解答應用問題的主要思路．另外需要特別注意
(1)合理選擇變量，正確寫出函數(shù)解析式，給出函數(shù)定義域；
(2)與實際問題相聯(lián)系；
(3)必要時注意分類討論思想的應用．
一、選擇題
1若底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則當其表面積最小時底面邊長為(
21、)
A. B.
C. D．2
考點 利用導數(shù)求幾何模型的最值問題
題點 利用導數(shù)求面積的最值問題
答案 C
解析 設底面邊長為x，
則表面積S＝x2＋V(x>0)，
∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝，可判斷當x＝時，S取得最小值．
2．如果圓柱軸截面的周長l為定值，則體積的最大值為( )
A.3π B.3π
C.3π D.3π
考點 利用導數(shù)求幾何模型的最值問題
題點 利用導數(shù)求幾何體體積的最值問題
答案 A
解析 設圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V，
則4r＋2h＝l，∴h＝.
∴V＝πr2h＝πr2－2πr3，
則V′＝l
22、πr－6πr2.
令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的極值點．
∴當r＝時，V取得最大值，最大值為3π.
3．某公司生產一種產品， 固定成本為20 000元，每生產一單位的產品，成本增加100元，若總收入R與年產量x的關系是R(x)＝則當總利潤P(x)最大時，每年生產產品的單位數(shù)是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 利用導數(shù)求解最大利潤問題
答案 D
解析 由題意得，總利潤
P(x)＝
當0≤x≤390時，令P′(x)＝0，得x＝300，
又當x>390時，P(x)＝70 09
23、0－100x為減函數(shù)，
所以當每年生產300單位的產品時，總利潤最大，故選D.
4．若方底無蓋水箱的容積為256，則最省材料時，它的高為( )
A．4 B．6
C．4.5 D．8
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 用料、費用最少問題
答案 A
解析 設底面邊長為x，高為h，
則V(x)＝x2·h＝256，∴h＝.
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，
∴S′(x)＝2x－.
令S′(x)＝0，解得x＝8，∴當x＝8時，S(x)取得最小值．
∴h＝＝4.
5．某超市中秋前30天，月餅銷售總量f(t)與時間t(0
24、致滿足f(t)＝t2＋10t＋12，則該超市前t天平均售出的月餅最少為( )
A．14個 B．15個
C．16個 D．17個
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 利用導數(shù)求解生活中的其他最值問題
答案 D
解析 記g(t)＝＝t＋＋10，
令g′(t)＝1－＝0，得t＝2(負值舍去)，
則g(t)在區(qū)間(0,2)上單調遞減，在區(qū)間(2，30]上單調遞增，
由于t∈Z，且g(3)＝g(4)＝17，∴g(t)min＝17.
6．某銀行準備新設一種定期存款業(yè)務，經(jīng)預算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．已知貸款的利率為0.048 6，且假設銀行
25、吸收的存款能全部放貸出去．設存款利率為x，x∈(0,0.048 6)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為( )
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 利用導數(shù)求解最大利潤問題
答案 B
解析 依題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．
所以銀行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0
26、00；
當0.032 4
27、πr2＋.
令S′＝4πr－＝0，得r＝，
當r＝時，h＝＝.
則h∶r＝2∶1時，表面積S最小．
二、填空題
8.如圖，內接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運動，C，D在x軸上運動，則此矩形的面積的最大值是________．
考點 利用導數(shù)求幾何模型的最值問題
題點 利用導數(shù)求面積的最值問題
答案
解析 設CD＝x，則點C坐標為，點B坐標為，
∴矩形ABCD的面積
S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
令f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴當x∈時，f′(x)>0，f(x)是單調遞增的，
當x∈時，f
28、′(x)<0，f(x)是單調遞減的，
∴當x＝時，f(x)取最大值.
9．統(tǒng)計表明：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關于行駛速度x(千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為y＝x3－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙兩地相距100千米，則當汽車以________千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地的耗油量最少．
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 用料、費用最少問題
答案 80
解析 當速度為x千米/時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為y升，依題意得，
y＝·
＝x2＋－(0
29、，
當x∈(0,80)時，y′<0，該函數(shù)遞減；當x∈(80,120]時，y′>0，該函數(shù)遞增，所以當x＝80時，y取得最小值．
10．某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝________噸．
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 用料、費用最少問題
答案 20
解析 設該公司一年內總共購買n次貨物，則n＝，
∴總運費與總存儲費之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x，
令f′(x)＝4－＝0，
解得x＝20，x＝－20(舍去)，
x＝20是函數(shù)f(x)的最小值點，故當x＝20時
30、，f(x)最小．
11．某廠生產某種產品x件的總成本為C(x)＝1 200＋x3(萬元)，已知產品單價的平方與產品件數(shù)x成反比，生產100件這樣的產品單價為50萬元，則產量定為____件時總利潤最大．
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 利用導數(shù)求解最大利潤問題
答案 25
解析 由題意知502＝，解得k＝25×104.
∴產品的單價P＝＝.
∴總利潤L(x)＝x－1 200－x3
＝500－1 200－x3，
L′(x)＝250x－－x2，
令L′(x)＝0，得x＝25，
∴當x＝25時，總利潤最大．
12.一個帳篷，它下部的形狀是高為1 m的正六棱柱，上部的形
31、狀是側棱長為3 m的正六棱錐(如圖所示)．當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為________ m時，帳篷的體積最大．
考點 利用導數(shù)求幾何模型的最值問題
題點 利用導數(shù)求幾何體體積的最值問題
答案 2
解析 設OO1＝x，則10，V(x)為增函數(shù)；
當2
32、，V′(x)<0，V(x)為減函數(shù)．
綜上，當x＝2時，V(x)最大．
三、解答題
13.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，按照設計要求容器的體積為立方米．假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱體部分每平方米建造費用為3千元，半球體部分每平方米建造費用為4千元．設該容器的總建造費用為y千元．
(1)將y表示成r的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；
(2)確定r和l為何值時，該容器的建造費用最小，并求出最小建造費用．
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 用料、費用最少問題
解 (1)因為容器的體積為立方米，
33、
所以＋πr2l＝π，解得l＝－r，
所以圓柱的側面積為2πrl＝2πr＝－，
兩端兩個半球的表面積之和為4πr2，
所以y＝×3＋4πr2×4＝＋8πr2.
又l＝－r>0，即r<，
所以定義域為(0, )．
(2)因為y′＝－＋16πr＝，
令y′>0得2
34、資金
甲產品利潤
乙產品利潤
4
1
2.5
該企業(yè)計劃投入資金10萬元生產甲、乙兩種產品，那么可獲得的最大利潤(萬元)是( )
A. B.
C. D.
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 利用導數(shù)求解最大利潤問題
答案 B
解析 ∵甲產品的利潤與投入資金成正比，
∴設y1＝k1x，當投入4萬時，利潤為1萬，
即4k1＝1，得k1＝，即y1＝.
∵乙產品的利潤與投入資金的算術平方根成正比，
∴設y2＝k2，當投入4萬時，利潤為2.5萬，
即k2＝，得2k2＝，即k2＝，即y2＝.
設乙產品投入資金為x，
則甲產品投入資金為10－x,0≤
35、x≤10，
則銷售甲、乙兩種產品所得利潤為
y＝(10－x)＋，
則y′＝－＋＝，
由y′>0，得5－2>0，即0≤x<，
由y′<0，得5－2<0，即
36、每輛車的出廠價－每輛車的投入成本)×年銷售量)
考點 利用導數(shù)求解生活中的最值問題
題點 利用導數(shù)求解最大利潤問題
解 由題意得，本年度每輛車的投入成本為10(1＋x)，
每輛車的出廠價為13(1＋0.7x)，年利潤為
f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y
＝(3－0.9x)×3 240×
＝3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，
則f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)
＝972(9x－5)(x－3)，
由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)，
當x∈時，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)；
當x∈時，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)．
所以當x＝時，f(x)取極大值，f?＝20 000.
因為f(x)在(0,1)內只有一個極大值，所以它是最大值．
所以當x＝時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20 000萬元．
18
（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例學案 新人教A版選修2-2
