《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.4 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示學(xué)案 新人教A版選修2-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.4 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示學(xué)案 新人教A版選修2-1（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量基本定理.2.理解基底、基向量及向量的線性組合的概念.3.掌握空間向量的坐標(biāo)表示，能在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中寫出向量的坐標(biāo)知識點一空間向量基本定理思考1平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？答案如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2，其中，不共線的e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底思考2平面向量的基底唯一確定嗎？答案不唯一梳理(1)空間向量基本定理條件三個不共面的向量a，b，c和空間任一向量p結(jié)論存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc(2)基底條件：三

2、個向量a，b，c不共面結(jié)論：a，b，c叫做空間的一個基底基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量知識點二空間向量的坐標(biāo)表示思考平面向量的坐標(biāo)是如何表示的？答案在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使axiyj，這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序?qū)崝?shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)設(shè)xiyj，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是點A的坐標(biāo)，即若(x，y)，則A點坐標(biāo)為(x，y)，反之亦成立(O是坐標(biāo)原點)梳理

3、空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示單位正交基底有公共起點O的三個兩兩垂直的單位向量，記作e1，e2，e3空間直角坐標(biāo)系以e1，e2，e3的公共起點O為原點，分別以e1，e2，e3的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz空間向量的坐標(biāo)表示對于空間任意一個向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxe1ye2ze3，則把x，y，z稱作向量p在單位正交基底e1，e2，e3下的坐標(biāo)，記作p(x，y，z)(1)空間的任何一個向量都可用三個給定向量表示()(2)若a，b，c為空間的一個基底，則a，b，c全不是零向量()(3)如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則一定有a與b共線(

4、)(4)任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間的一個基底()類型一基底的判斷例1(1)下列能使向量，成為空間的一個基底的關(guān)系式是()A.B.C.D.2MC(2)設(shè)xab，ybc，zca，且a，b，c是空間的一個基底，給出下列向量：a，b，x；b，c，z；x，y，abc其中可以作為空間的基底的有()A1個B2個C3個D0個考點空間向量基底的概念題點空間向量基底的判斷答案(1)C(2)B解析(1)對于選項A，由xyz(xyz1)M，A，B，C四點共面知，共面；對于選項B，D，可知，共面，故選C.(2)均可以作為空間的基底，故選B.反思與感悟基底判斷的基本思路及方法(1)基本思路：判斷三個空間向量是否共面

5、，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底(2)方法：如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底假設(shè)abc，運用空間向量基本定理，建立，的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無解，則不共面，能作為基底跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a，b，c是不共面的三個非零向量，則可以與向量pab，qab構(gòu)成基底的向量是()A2aB2bC2a3bD2a5c(2)以下四個命題中正確的是()A基底a，b，c中可以有零向量B空間任何三個不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一個基底CABC為直角三角形的充要條件是0D空間向量的基底只能有一組考點空間向量基底的概念題點空間向

6、量基底的概念答案(1)D(2)B解析(2)使用排除法因為零向量與任意兩個非零向量都共面，故A不正確；ABC為直角三角形并不一定是0，可能是0，也可能是0，故C不正確；空間基底可以有無數(shù)多組，故D不正確類型二空間向量基本定理的應(yīng)用例2如圖所示，空間四邊形OABC中，G，H分別是ABC，OBC的重心，設(shè)a，b，c，D為BC的中點試用向量a，b，c表示向量和.考點空間向量基底的概念題點空間向量基本定理解因為，而，又D為BC的中點，所以()，所以()()()(abc)又因為，()(bc)，所以(bc)(abc)a.所以(abc)，a.反思與感悟用基底表示向量時，若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三

7、角形法則和平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的運算律；若沒給定基底，首先選擇基底，選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求跟蹤訓(xùn)練2在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)a，b，c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點(1)用向量a，b，c表示，；(2)若xaybzc，求實數(shù)x，y，z的值考點空間向量基底的概念題點空間向量基本定理解(1)如圖，連接AC，abc，()()(ac)(2)()()(cabc)abc，x，y，z1.類型三空間向量的坐標(biāo)表示例3(1)設(shè)e1，e2，e3是空間的一個單位正交基底，a4e18e23e3，b2e13e27e3，則a，b

8、的坐標(biāo)分別為_考點空間向量的正交分解題點向量的坐標(biāo)答案(4，8,3)，(2，3,7)解析由于e1，e2，e3是空間的一個單位正交基底，所以a(4，8,3)，b(2，3,7)(2)已知a(3,4,5)，e1(2，1,1)，e2(1,1，1)，e3(0,3,3)，求a沿e1，e2，e3的正交分解考點空間向量的正交分解題點向量的坐標(biāo)解因為a(3,4,5)，e1(2，1,1)，e2(1,1，1)，e3(0,3,3)，設(shè)ae1e2e3，即(3,4,5)(2，3，3)，所以解此方程組得所以a沿e1，e2，e3的正交分解為ae1e2e3.反思與感悟用坐標(biāo)表示空間向量的步驟跟蹤訓(xùn)練3(1)空間四邊形OABC中

9、，a，b，c，點M在OA上，且OM2MA，N為BC的中點，在基底a，b，c下的坐標(biāo)為_考點空間向量的正交分解題點向量的坐標(biāo)答案解析OM2MA，點M在OA上，OMOA，()abc.(2)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點，并且PAAD1.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求向量的坐標(biāo)考點空間向量的正交分解題點向量的坐標(biāo)解因為PAADAB1，所以可設(shè)e1，e2，e3.因為()()e3e2，所以.1已知i，j，k分別是空間直角坐標(biāo)系Oxyz中x軸，y軸，z軸的正方向上的單位向量，且ijk，則點B的坐標(biāo)是()A(1,1，1) B(i，j，k)C(1，1，1) D不確定考點

10、空間向量的正交分解題點向量的坐標(biāo)答案D解析由ijk只能確定向量(1,1，1)，而向量的起點A的坐標(biāo)未知，故終點B的坐標(biāo)不確定2在下列兩個命題中，真命題是()若三個非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個基底，則a，b，c共面；若a，b是兩個不共線向量，而cab(，R且0)，則a，b，c構(gòu)成空間的一個基底A僅B僅CD都不是考點空間向量基底的概念題點空間向量基底的概念答案A解析為真命題；中，由題意得a，b，c共面，故為假命題，故選A.3已知點A在基底a，b，c下的坐標(biāo)為(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，則點A在基底i，j，k下的坐標(biāo)是()A(12,14,10) B(10,12,14)C(14

11、,12,10) D(4,3,2)考點空間向量的正交分解題點向量的坐標(biāo)答案A解析設(shè)點A在基底a，b，c下對應(yīng)的向量為p，則p8a6b4c8i8j6j6k4k4i12i14j10k，故點A在基底i，j，k下的坐標(biāo)為(12,14,10)4已知ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，若dabc，則，的值分別為_考點空間向量的正交分解題點空間向量在單位正交基底下的坐標(biāo)答案，1，解析d(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3e12e23e3，5如圖，已知PA平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，G為PDC的重心，i，j，k，試用基底i，j，k表示

12、向量，.考點空間向量的正交分解題點向量在單位正交基底下的坐標(biāo)解延長PG交CD于點N，則N為CD的中點，()ijk.ijk.1基底中不能有零向量因零向量與任意一個非零向量都為共線向量，與任意兩個非零向量都共面，所以三個向量為基底隱含著三個向量一定為非零向量2空間幾何體中，要得到有關(guān)點的坐標(biāo)時，先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，一般選擇兩兩垂直的三條線段所在直線為坐標(biāo)軸，然后選擇基向量，根據(jù)已知條件和圖形關(guān)系將所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐標(biāo)3用基底表示空間向量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運算法則，及加法的平行四邊形法則，加法、減法的三角形法則逐步向基向量過渡，直到全部用基向量表示一、選擇題1下列

13、說法中不正確的是()A只要空間的三個向量的模為1，那么它們就能構(gòu)成空間的一個單位正交基底B豎坐標(biāo)為0的向量平行于x軸與y軸所確定的平面C縱坐標(biāo)為0的向量都共面D橫坐標(biāo)為0的向量都與x軸上的基向量垂直考點空間向量基底的概念題點空間向量基底的概念答案A解析單位正交基底除要求模為1外，還要求三個向量兩兩垂直2在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，下列說法中正確的是()A向量的坐標(biāo)與點B的坐標(biāo)相同B向量的坐標(biāo)與點A的坐標(biāo)相同C向量的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同D向量的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同考點空間向量的正交分解題點向量的坐標(biāo)答案D3已知點O，A，B，C為空間不共面的四點，且向量a，向量b，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的向量是(

14、)A.B.C.D.或考點空間向量基底的概念題點答案C解析ab且a，b不共線，a，b，共面，與a，b不能構(gòu)成一組空間基底4已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若，則C的坐標(biāo)是()A.B.C.D.考點空間向量的正交分解題點向量的坐標(biāo)答案A解析設(shè)點C坐標(biāo)為(x，y，z)，則(x，y，z)又(3，2，4)，x，y，z.5a，b，c為空間的一個基底，且存在實數(shù)x，y，z使得xaybzc0，則x，y，z的值分別為()A0,0,1B0,0,0C1,0,1D0,1,0考點空間向量基底的概念題點空間向量基底的概念答案B解析若x，y，z中存在一個不為0的數(shù)，不妨設(shè)x0，則abc，a，b，c共

15、面這與a，b，c是基底矛盾，故xyz0.6設(shè)a，b，c是三個不共面向量，現(xiàn)從ab，abc中選出一個使其與a，b構(gòu)成空間的一個基底，則可以選擇的是()A僅B僅CD不確定考點空間向量基底的概念題點空間向量基底的概念答案B解析對于ab與a，b共面，ab與a，b不能構(gòu)成空間的一個基底對于abc與a，b不共面，abc與a，b構(gòu)成空間的一個基底7設(shè)O-ABC是四面體，G1是ABC的重心，G是OG1上的一點，且OG3GG1，若xyz，則(x，y，z)為()A.B.C.D.考點空間向量的正交分解題點向量的坐標(biāo)答案A解析如圖所示，連接AG1交BC于點E，則點E為BC的中點，()(2)，(2)，33()，()，故

16、選A.二、填空題8.如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中建立空間直角坐標(biāo)系已知ABAD2，BB11，則的坐標(biāo)為_，的坐標(biāo)為_考點空間向量的正交分解題點向量的坐標(biāo)答案(0,2,1)(2,2,1)解析根據(jù)已建立的空間直角坐標(biāo)系，知A(0,0,0)，C1(2,2,1)，D1(0,2,1)，則的坐標(biāo)為(0,2,1)，的坐標(biāo)為(2,2,1)9在四面體OABC中，a，b，c，D為BC的中點，E為AD的中點，則_.(用a，b，c表示)考點空間向量基底的概念題點空間向量基本定理答案abc解析()()abc.10若四邊形ABCD為平行四邊形，且A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，則頂點

17、D的坐標(biāo)為_考點空間向量的正交分解題點向量的坐標(biāo)答案(5,13，3)解析由四邊形ABCD是平行四邊形知，設(shè)D(x，y，z)，則(x4，y1，z3)，(1,12，6)，所以解得即D點坐標(biāo)為(5,13，3)三、解答題11.如圖所示，正方體OABCOABC，且a，b，c.(1)用a，b，c表示向量，；(2)設(shè)G，H分別是側(cè)面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示.考點空間向量基底的概念題點空間向量基本定理解(1)abc.bca.(2)()()(abcb)(abcc)(cb)12.已知ABCDA1B1C1D1是棱長為2的正方體，E，F(xiàn)分別為BB1和DC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試寫出，

18、的坐標(biāo)考點空間向量的正交分解題點空間向量的坐標(biāo)解設(shè)x，y，z軸的單位向量分別為e1，e2，e3，其方向與各軸的正方向相同，則2e12e22e3，(2,2,2)2e12e2e3，(2,2,1)e2，(0,1,0)13在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.(1)證明：A，E，C1，F(xiàn)四點共面；(2)若xyz，求xyz的值考點空間向量基底的概念題點空間向量的基本定理(1)證明因為()()，所以A，E，C1，F(xiàn)四點共面(2)解因為()，所以x1，y1，z，所以xyz.四、探究與拓展14已知四面體ABCD中，a2c，5a6b8c，AC，BD的中點

19、分別為E，F(xiàn)，則_.考點空間向量基底的概念題點空間向量基本定理答案3a3b5c解析如圖所示，取BC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則(5a6b8c)(a2c)3a3b5c.15已知正四面體ABCD的棱長為1，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并表示出向量，的坐標(biāo)考點空間向量的正交分解題點向量的坐標(biāo)解過點A作AG垂直平面BCD于點G，所以G為BCD的中心，過點G作GFCD，延長BG交CD于點E，則E為CD的中點以G為坐標(biāo)原點，GF，GE，GA所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz，因為BCD的邊長為1，所以BE，GE，又，所以GF，又BG，所以AG.設(shè)單位正交基底為e1，e2，e3，則e2e3，e2e1e3，e2e1e3.16