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1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練一 第2講 不等式與線性規(guī)劃 理考情解讀1.在高考中主要考查利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行兩數(shù)的大小比較、一元二次不等式的解法、基本不等式及線性規(guī)劃問(wèn)題基本不等式主要考查求最值問(wèn)題，線性規(guī)劃主要考查直接求最優(yōu)解和已知最優(yōu)解求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題.2.多與集合、函數(shù)等知識(shí)交匯命題，以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題1四類不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc0(a0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集(2)簡(jiǎn)單分式不等式的解法變形0(0(1時(shí)，af(x)ag(x)f(x)

2、g(x)；當(dāng)0aag(x)f(x)1時(shí)，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)且f(x)0，g(x)0；當(dāng)0alogag(x)f(x)0，g(x)0.2五個(gè)重要不等式(1)|a|0，a20(aR)(2)a2b22ab(a、bR)(3)(a0，b0)(4)ab()2(a，bR)(5) (a0，b0)3二元一次不等式(組)和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃(1)線性規(guī)劃問(wèn)題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等(2)解不含實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟：畫出可行域；根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解；求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值4兩個(gè)常用結(jié)論(1)ax2bxc0(a0)恒成立的條件

3、是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是熱點(diǎn)一一元二次不等式的解法例1(1)(xx安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集為()Ax|xlg 2Bx|1xlg 2Dx|x0的解集為()Ax|x2或x2 Bx|2x2Cx|x4 Dx|0x0.(2)利用f(x)是偶函數(shù)求b，再解f(2x)0.答案(1)D(2)C解析(1)由已知條件010x，解得x0.f(2x)0即ax(x4)0，解得x4.故選C.思維升華二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，也是高考的熱點(diǎn)，“三個(gè)二次”的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法(1)不等式0的解集為()A(，1B，1C(，)1，)D(，1，)(2)已知p：

4、x0R，mx10，q：xR，x2mx10.若pq為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(，2) B2,0)C(2,0) D0,2答案(1)A(2)C解析(1)原不等式等價(jià)于(x1)(2x1)0或x10，即x1或x1，所以不等式的解集為(，1，選A.(2)pq為真命題，等價(jià)于p，q均為真命題命題p為真時(shí)，m0；命題q為真時(shí)，m240，解得2m2.故pq為真時(shí)，2m0，且1.所以()2(當(dāng)且僅當(dāng)，即m，n2時(shí)，取等號(hào))所以，即mn3，所以mn的最大值為3.(2)2x2(xa)2a22a42a，由題意可知42a7，得a，即實(shí)數(shù)a的最小值為，故選B.熱點(diǎn)三簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題例3(xx湖北)某旅行社租用A

5、、B兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過(guò)21輛，且B型車不多于A型車7輛則租金最少為()A31 200元 B36 000元C36 800元 D38 400元思維啟迪通過(guò)設(shè)變量將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題答案C解析設(shè)租A型車x輛，B型車y輛時(shí)租金為z元，則z1 600x2 400y,x、y滿足畫出可行域如圖直線yx過(guò)點(diǎn)A(5,12)時(shí)縱截距最小，所以zmin51 6002 4001236 800，故租金最少為36 800元思維升華(1)線性規(guī)劃問(wèn)題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)

6、域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍(2)解決線性規(guī)劃問(wèn)題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解(3)對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題，要準(zhǔn)確地設(shè)出變量，確定可行域和目標(biāo)函數(shù)(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則w的最小值是()A2 B2C1 D1(2)設(shè)zkxy，其中實(shí)數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則k_.答案(1)D(2)2解析(1)畫出可行域，如圖所示w表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)P(0，1)連線的斜率，觀察圖形可知PA的斜率最小為1，故選D.(2)首先畫出可行域如下圖所示，可知當(dāng)xy4時(shí)，z取最大值12，124k4，k2.1幾類不等式的解法一元二次

7、不等式解集的端點(diǎn)值是相應(yīng)一元二次方程的根，也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)的零點(diǎn)；分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)來(lái)解；以函數(shù)為背景的不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化2基本不等式的作用二元基本不等式具有將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”或?qū)ⅰ昂褪健鞭D(zhuǎn)化為“積式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問(wèn)題解決問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn)，并創(chuàng)造基本不等式的應(yīng)用背景，如通過(guò)“代換”、“拆項(xiàng)”、“湊項(xiàng)”等技巧，改變?cè)降慕Y(jié)構(gòu)使其具備基本不等式的應(yīng)用條件利用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、

8、二定、三相等”的條件，三個(gè)條件缺一不可3線性規(guī)劃問(wèn)題的基本步驟(1)定域畫出不等式(組)所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號(hào)的對(duì)應(yīng)；(2)平移畫出目標(biāo)函數(shù)等于0時(shí)所表示的直線l，平行移動(dòng)直線，讓其與平面區(qū)域有公共點(diǎn)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解，注意要熟練把握最常見(jiàn)的幾類目標(biāo)函數(shù)的幾何意義；(3)求值利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值.真題感悟1(xx山東)已知實(shí)數(shù)x，y滿足axay(0a Bln(x21)ln(y21)Csin xsin y Dx3y3答案D解析因?yàn)?a1，axy.采用賦值法判斷，A中，當(dāng)x1，y0時(shí)，1，A不成立B中，當(dāng)x

9、0，y1時(shí)，ln 10)，所以y17(x1)17213(當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)取等號(hào))，所以促銷費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，故選A.2若點(diǎn)P(x，y)滿足線性約束條件點(diǎn)A(3，)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)答案6解析由題意，知(3，)，設(shè)(x，y)，則3xy.令z3xy，如圖畫出不等式組所表示的可行域，可知當(dāng)直線yxz經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值由解得即B(1，)，故z的最大值為316.即的最大值為6.(推薦時(shí)間：50分鐘)一、選擇題1(xx四川)若ab0，cd B. D.答案D解析令a3，b2，c3，d2，則1，1，所以A，B錯(cuò)誤；，所以x2xB2xlg xxCx2xlg xD2xxlg

10、 x答案D解析分別畫出函數(shù)y2x，yx，ylg x的圖象，如下圖，由圖象可知，在x(0,1)時(shí)，有2xxlg x，故選D.3(xx重慶)關(guān)于x的不等式x22ax8a20)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a等于()A. B.C. D.答案A解析由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，所以不等式的解集為(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.4(xx重慶)若log4(3a4b)log2，則ab的最小值是()A62 B72C64 D74答案D解析由題意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4ba

11、b，故1.所以ab(ab)()77274，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故選D.5已知變量x，y滿足約束條件，則zx2y1的最大值為()A9 B8C7 D6答案B解析約束條件所表示的區(qū)域如圖，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)A(1,4)時(shí)取得最大值，故zx2y1的最大值為12418.二、填空題6已知f(x)是R上的減函數(shù)，A(3，1)，B(0,1)是其圖象上兩點(diǎn)，則不等式|f(1ln x)|1的解集是_答案(，e2)解析|f(1ln x)|1，1f(1ln x)1，f(3)f(1ln x)f(0)，又f(x)在R上為減函數(shù)，01ln x3，1ln x2，x0，則的最小值為_(kāi)答案解析點(diǎn)A(1,1)在直線2mxny20上

12、，2mn2，()(21)(32)，當(dāng)且僅當(dāng)，即nm時(shí)取等號(hào)，的最小值為.三、解答題9設(shè)集合A為函數(shù)yln(x22x8)的定義域，集合B為函數(shù)yx的值域，集合C為不等式(ax)(x4)0的解集(1)求AB；(2)若CRA，求a的取值范圍解(1)由x22x80得4x0，即x1時(shí)y211，此時(shí)x0，符合要求；當(dāng)x10，即x0時(shí)，Cx|4x，不可能CRA；當(dāng)a0時(shí)，Cx|x4或x，若CRA，則2，a2，a0.故a的取值范圍為，0)10投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬(wàn)元，需場(chǎng)地200平方米，可獲利潤(rùn)300萬(wàn)元；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100噸需要資金300萬(wàn)元，需場(chǎng)地100平方米，可獲利

13、潤(rùn)200萬(wàn)元現(xiàn)某單位可使用資金1 400萬(wàn)元，場(chǎng)地900平方米，問(wèn)：應(yīng)作怎樣的組合投資，可使獲利最大？解設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品y百噸，利潤(rùn)為S百萬(wàn)元，則約束條件為目標(biāo)函數(shù)為S3x2y.作出可行域如圖陰影部分所示，作直線l0：3x2y0，將l0向上平移時(shí)，S3x2y隨之增大，當(dāng)它經(jīng)過(guò)直線2xy9和2x3y14的交點(diǎn)(，)時(shí)，S最大，此時(shí)，Smax3214.75.因此，生產(chǎn)A產(chǎn)品325噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品250噸時(shí)，利潤(rùn)最大為1 475萬(wàn)元11某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C(單位：萬(wàn)元)與日產(chǎn)量x(單位：噸)滿足函數(shù)關(guān)系式C3x，每日的銷售額S(單位：萬(wàn)元)與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式S已知每日的利潤(rùn)LSC，且當(dāng)x2時(shí)，L3.(1)求k的值；(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大，并求出最大值解(1)由題意可得L因?yàn)楫?dāng)x2時(shí)，L3，所以3222，解得k18.(2)當(dāng)0x6時(shí)，L2x2，所以L2(x8)182(8x)182186，當(dāng)且僅當(dāng)2(8x)，即x5時(shí)取得等號(hào)當(dāng)x6時(shí)，L11x5.所以當(dāng)x5時(shí)L取得最大值6.所以當(dāng)日產(chǎn)量為5噸時(shí)，每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大，最大值為6萬(wàn)元