《（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第2節(jié) 排列與組合學(xué)案 理 新人教B版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第2節(jié) 排列與組合學(xué)案 理 新人教B版（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2節(jié)排列與組合最新考綱1.理解排列、組合的概念；2.能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式；3.能解決簡單的實際問題.知 識 梳 理1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(mn)個不同元素按照一定的順序排成一列組合合成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù).(2)從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)An(n1)(n2)(nm1).(2)C(n，mN+，且mn).特別地C1性質(zhì)(1)0！1；An

2、！. (2)CC；CCC常用結(jié)論與微點提醒1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.2.對于分配問題，一般先分組，再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.()(2)一個組合中取出的元素講究元素的先后順序.()(3)若組合式CC，則xm成立.()(4)kCnC.()解析(1)元素相同但順序不同的排列是不同的排列，故(1)錯；(2)一個組合中的元素不講究順序，元素相同即為同一組合，故(2)錯；(3)若CC，則xm或nm

3、，故(3)錯.答案(1)(2)(3)(4)2.從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是()A.12 B.24 C.64 D.81解析4本不同的課外讀物選3本分給3位同學(xué)，每人一本，則不同的分配方法為A24.答案B3.(一題多解)(教材練習(xí)改編)從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項活動，則男女生都有的選法種數(shù)是()A.18 B.24 C.30 D.36解析法一選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的方法有CC18種，選出的3人中有1名男同學(xué)2名女同學(xué)的方法有CC12種，故3名學(xué)生中男女生都有的選法有CCCC30種.法二從7名同學(xué)中任選3名的方法數(shù)，再除去所選3

4、名同學(xué)全是男生或全是女生的方法數(shù)，即CCC30.答案C4.用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為()A.8 B.24 C.48 D.120解析末位數(shù)字排法有A種，其他位置排法有A種，共有AA48種.答案C5.在一展覽會上，要展出5件藝術(shù)作品，其中不同書法作品2件、不同繪畫作品2件、標(biāo)志性建筑設(shè)計1件，在展臺上將這5件作品排成一排，要求2件書法作品必須相鄰，2件繪畫作品不能相鄰，則該次展出這5件作品不同的擺放方案共有_種(用數(shù)字作答).解析將2件必須相鄰的書法作品看作一個整體，同1件建筑設(shè)計展品全排列，再將2件不能相鄰的繪畫作品插空，故共有AAA24種不同的展出方案.答案24

5、考點一排列問題【例1】 有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)(一題多解)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排成一排，女生必須站在一起；(5)全體排成一排，男生互不相鄰.解(1)從7人中選5人排列，有A765432 520(種).(2)分兩步完成，先選3人站前排，有A種方法，余下4人站后排，有A種方法，共有AA5 040(種).(3)法一(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有A種排列方法，共有5A3 600(種).法二(特殊位置優(yōu)先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有A種排法，其他

6、有A種排法，共有AA3 600(種).(4)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有A種方法，再將女生全排列，有A種方法，共有AA576(種).(5)(插空法)先排女生，有A種方法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生，有A種方法，共有AA1 440(種).規(guī)律方法排列應(yīng)用問題的分類與解法(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法.(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常

7、用方法.【訓(xùn)練1】 (1)(2018赤峰二模)7人站成兩排隊列，前排3人，后排4人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為()A.120 B.240 C.360 D.480(2)(2018撫順模擬)某班準(zhǔn)備從甲、乙等七人中選派四人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，那么不同的發(fā)言順序有()A.30 B.600 C.720 D.840解析(1)第一步，從甲、乙、丙三人選一個加到前排，有3種，第二步，前排3人形成了4個空，任選一個空加一人，有4種，第三步，后排4人形成了5個空，任選一個空加一人有5種，此時形成6個空，任選一個空加一人，有6

8、種，根據(jù)分步計數(shù)原理有3456360種方法.(2)若只有甲、乙其中一人參加，有CCA480種方法；若甲、乙兩人都參加，有CCA240種方法，則共有480240720種方法.答案(1)C(2)C考點二組合問題【例2】 某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？解(1)從余下的34種商品中，選取2種有C561(種)，某一種假

9、貨必須在內(nèi)的不同取法有561種.(2)從34種可選商品中，選取3種，有C種或者CCC5 984(種).某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5 984種.(3)從20種真貨中選取1件，從15種假貨中選取2件有CC2 100(種).恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 100種.(4)選取2種假貨有CC種，選取3種假貨有C種，共有選取方式CCC2 1004552 555(種).至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 555種.(5)選取3種的總數(shù)為C，選取3種假貨有C種，因此共有選取方式CC6 5454556 090(種).至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種.規(guī)律方法組合問題常有以下兩類題型變化：(1

10、)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.【訓(xùn)練2】 (1)在爸爸去哪兒第二季第四期中，村長給6位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務(wù).已知：食物投擲地點有遠(yuǎn)、近兩處；由于Grace年紀(jì)尚小，所以要么不參與該項任務(wù)，但此時另需一位小孩在大本營陪同，要么參與搜尋近處投擲點的食物；所有參與搜尋任務(wù)的小孩

11、須被均分成兩組，一組去遠(yuǎn)處，一組去近處，那么不同的搜尋方案有()A.80種 B.70種 C.40種 D.10種(2)(2018咸陽二模)若從1，2，3，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A.60種 B.63種 C.65種 D.66種解析(1)Grace不參與該項任務(wù)，則有CC30種；Grace參與該項任務(wù)，則有C10種，故共有301040種，故選C.(2)共有4個不同的偶數(shù)和5個不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，共有不同的取法有CCCC66(種).答案(1)C(2)D考點三排列與組合的綜合應(yīng)用(多維探究)命題角度1簡單

12、的排列與組合應(yīng)用問題【例31】 (1)(2017全國卷)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A.12種 B.18種 C.24種 D.36種(2)從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A.24 B.18 C.12 D.6解析(1)由題意可得其中1人必須完成2項工作，其他2人各完成1項工作，可得安排方式為CCA36(種).(2)從0，2中選一個數(shù)字0，則0只能排在十位，從1，3，5中選兩個數(shù)字排在個位與百位，共有A6種；從0，2中選一個數(shù)字2，則2排在十位(或百位)，從1，3，5中選兩個數(shù)字

13、排在百位(或十位)、個位，共有AA12種，故共有AAA18種.答案(1)D(2)B命題角度2分組、分配問題【例32】 (1)某學(xué)校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠(yuǎn)地區(qū)的三所中學(xué)進行教學(xué)交流，每所中學(xué)至少派一名教師，則不同的分配方法有()A.80種 B.90種 C.120種 D.150種(2)國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學(xué)免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教，現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有_種不同的分派方法.解析(1)有兩類情況：其中一所學(xué)校3名教師，另兩所學(xué)校各一名教師的分法有CA60種；其中一所學(xué)校1名教師，另兩所學(xué)校各兩名教師的分法

14、有CA90種，共有150種，故選D.(2)先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有A6種方法，故6個畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有A90種分派方法.答案(1)D(2)90規(guī)律方法(1)解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置).對于排列組合的綜合題目，一般是將符合要求的元素取出或進行分組，再對取出的元素或分好的組進行排列.(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配.在分組時，通常有三種類型不均勻分組；均勻分組；部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的差異.其次對于相同元素的“分配”問題，常用的方法是采用“隔板

15、法”.【訓(xùn)練3】 (1)將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有()A.12種 B.10種 C.9種 D.8種(2)(2018合肥聯(lián)考)若無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)滿足條件：個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)，所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)是()A.540 B.480 C.360 D.200解析(1)將4名學(xué)生均分為2個小組共有3(種)分法；將2個小組的同學(xué)分給2名教師共有A2(種)分法，最后將2個小組的人員分配到甲、乙兩地有A2(種)分法.故不同的安排方案共有32212(種).(2)由個位數(shù)字與十位數(shù)字之和

16、為奇數(shù)知個位數(shù)字、十位數(shù)字1奇1偶，有CCA50(種)排法；所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則百位數(shù)字是奇數(shù)，有C4(種)滿足題意的選法，故滿足題意的三位數(shù)共有504200(個).答案(1)A(2)D基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1.從6本不同的書中選出4本，分別發(fā)給4個同學(xué)，已知其中兩本書不能發(fā)給甲同學(xué)，則不同分配方法有()A.180種 B.220種C.240種 D.260種解析因為其中兩本書不能發(fā)給甲同學(xué)，所以甲只能從剩下的4本中分一本，然后再選3本分給3個同學(xué)，故有AA240種.答案C2.(2016四川卷)用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A.

17、24 B.48 C.60 D.72解析由題意，可知個位可以從1，3，5中任選一個，有A種方法，其他數(shù)位上的數(shù)可以從剩下的4個數(shù)字中任選，進行全排列，有A種方法，所以奇數(shù)的個數(shù)為AA3432172.答案D3.從1，3，5，7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lg alg b的不同值的個數(shù)是()A.9 B.10 C.18 D.20解析由于lg alg blg (a0，b0)，lg 有多少個不同的值，只需看不同值的個數(shù).從1，3，5，7，9中任取兩個作為有A種，又與相同，與相同，lg alg b的不同值的個數(shù)有A218.答案C4.10名同學(xué)合影，站成了前排3人，后排7人，現(xiàn)

18、攝影師要從后排7人中抽2人站前排，其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)為()A.CA B.CA C.CA D.CA解析首先從后排的7人中抽2人，有C種方法；再把2個人在5個位置中選2個位置進行排列有A種.由分步乘法計數(shù)原理知不同調(diào)整方法種數(shù)是CA.答案C5.(2018濰坊模擬)有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有()A.34種 B.48種 C.96種 D.144種解析特殊元素優(yōu)先安排，先讓甲從頭、尾中選取一個位置，有C種選法，乙、丙相鄰，捆綁在一起看作一個元素，與其余三個元素全排列，最后乙、丙可以換位，故共有CAA96(種).答案C6.(2018

19、東北三省四市聯(lián)考)甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則坐法種數(shù)為()A.10 B.16 C.20 D.24解析一排共有8個座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有6個空座.要求每人左右均有空座，在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐，即有A20種坐法.答案C7.(一題多解)(2018石家莊模擬)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72 B.120 C.144 D.168解析法一先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空.安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲”，“小品1

20、，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”.對于第一種情況，形式為“，小品1，歌舞1，小品2，相聲，”，有ACA36(種)安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法，對于第二種情況，三個節(jié)目形成4個人，其形式為“，小品1，相聲，小品2，”.有AA48種安排方法，故共有363648120種安排方法.法二先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰，保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有AA144(種)，再剔除小品類節(jié)目相鄰的情況，共有AAA24(種)，于是符合題意的排法共有14424120(種).答案B8.(2018豫南九校聯(lián)考)某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護士共8人組成兩個醫(yī)療分隊，平均分到甲、乙兩個村

21、進行義務(wù)巡診，其中每個分隊都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護士，則不同的分配方案有()A.72種 B.36種 C.24種 D.18種解析2名內(nèi)科醫(yī)生，每村一名，有2種方法；3名外科醫(yī)生和3名護士，平均分成兩組，要求外科醫(yī)生和護士都有：則分1名外科醫(yī)生、2名護士和2名外科醫(yī)生、1名護士，若甲村有1名外科醫(yī)生、2名護士，則有CC9(種)，其余的分到乙村；若甲村有2名外科醫(yī)生、1名護士，則有CC9(種)，其余的分到乙村；則總的分配方案有2(99)36(種).答案B二、填空題9.(2018開封模擬)某班主任準(zhǔn)備請2016屆畢業(yè)生做報告，要從甲、乙等8人中選4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少一人參加，若甲、乙同時

22、參加，則他們發(fā)言中間需恰隔一人，那么不同的發(fā)言順序共有_種(用數(shù)字作答).解析若甲、乙同時參加，有CCCAA120種，若甲、乙有一人參與，有CCA960種，從而總共的發(fā)言順序有1 080種.答案1 08010.現(xiàn)有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加區(qū)分，將這9個球排成一列，有_種不同的方法(用數(shù)字作答).解析第一步，從9個位置中選出2個位置，分給相同的紅球，有C種選法；第二步，從剩余的7個位置中選出3個位置，分給相同的黃球，有C種選法；第三步，剩下的4個位置全部分給4個白球，有1種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，排列方法共有CC1 260(種).答案1 26011.從6名同學(xué)中選派4人分別參

23、加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四科知識競賽，若其中甲、乙兩名同學(xué)不能參加生物競賽，則選派方案共有_種(用數(shù)字作答).解析特殊位置優(yōu)先考慮，既然甲、乙都不能參加生物競賽，則從另外4個人中選擇一人參加，有C種方案；然后從剩下的5個人中選擇3個人參加剩下3科，有A種方案.故共有CA460240(種)方案.答案24012.(2018黃岡質(zhì)檢)在高三某班進行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能連續(xù)出場，且女生甲不能排第一個，那么出場的順序的排法種數(shù)為_(用數(shù)字作答).解析若第一個出場是男生，則第二個出場的是女生，以后的順序任意排，方法有CCA36種；若第一個出場的是女生(不

24、是女生甲)，則剩余的2個女生排列好，2個男生插空，方法有CAA24種.故所有出場順序的排法種數(shù)為362460.答案60能力提升題組(建議用時：10分鐘)13.中小學(xué)校車安全引起社會的關(guān)注，為了徹底消除校車安全隱患，某市購進了50臺完全相同的校車，準(zhǔn)備發(fā)放給10所學(xué)校，每所學(xué)校至少2臺，則不同的發(fā)放方案的種數(shù)為()A.C B.C C.C D.C解析首先每個學(xué)校配備一臺，這個沒有順序和情況之分，剩下40臺；將剩下的40臺排隊一樣排列好，則這40臺校車之間有39個空.對這39個空進行隔開成10部分，比如用9面小旗子隔開，就可以隔成10部分了，所以有C種分隔方法.答案D14.“燈塔黨建在線”，深入學(xué)習(xí)

25、黨的十九大精神競賽活動中，某單位甲、乙等5名參賽選手，甲和乙必須相鄰出場且都不在開頭和末尾出場，這5名選手不同的出場順序共有()A.12種 B.24種 C.48種 D.120種解析甲乙相鄰，將甲乙捆綁在一起看作一個元素，共有AA種排法，甲乙相鄰且在首末出場有CAA種排法.故甲乙相鄰且都不在首末出場的順序有AACAA24(種).答案B15.(2018江西八所重點中學(xué)聯(lián)合模擬)攝像師要對已坐定一排照像的5位小朋友的座位順序進行調(diào)整，要求其中恰有2人座位不調(diào)整，則不同的調(diào)整方案的種數(shù)為_(用數(shù)字作答).解析從5人中任選3人有C種，將3人位置全部進行調(diào)整，有CCC種.故有NCCCC20種調(diào)整方案.答案2016.設(shè)集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么集合A中滿足條件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素有_個(用數(shù)字作答).解析因為xi1，0，1，i1，2，3，4，5，且1|x1|x2|x3|x4|x5|3，所以xi中至少兩個為0，至多四個為0.xi(i1，2，3，4，5)中4個0，1個為1或1，A有2C10個元素；xi中3個0，2個為1或1，A有C2240個元素；xi中2個0，3個為1或1，A有C22280個元素；從而，集合A中共有104080130個元素.答案13011