《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題突破練16 5.3.2 空間中的垂直與空間角 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題突破練16 5.3.2 空間中的垂直與空間角 理（14頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題突破練16 5.3.2 空間中的垂直與空間角 理1.(2018湖南衡陽二模,理18)如圖,EA平面ABC,DB平面ABC,ABC是等邊三角形,AC=2AE,M是AB的中點(diǎn).(1)證明:CMDM;(2)若直線DM與平面ABC所成角的余弦值為,求二面角B-CD-E的正弦值.2.(2018北京卷,理16)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,D,E,F,G分別為AA1,AC,A1C1,BB1的中點(diǎn),AB=BC=,AC=AA1=2.(1)求證:AC平面BEF;(2)求二面角B-CD-C1的余弦值;(3)證明:直線FG與平面BCD相交.3.(2018湖南

2、衡陽八中一模,理19)在如圖所示的五面體中,四邊形ABCD為直角梯形,BAD=ADC=,平面ADE平面ABCD,EF=2DC=4AB=4,ADE是邊長為2的正三角形.(1)證明:BE平面ACF;(2)求二面角A-BC-F的余弦值.4.(2018寧夏銀川一中一模,理19)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA面ABCD,ADBC,BAD=90,ACBD,BC=1,AD=PA=2,E,F分別為PB,AD的中點(diǎn).(1)證明:ACEF;(2)求直線EF與平面PCD所成角的正弦值.5.(2018河北唐山三模,理19)如圖,ABCD中,BC=2AB=4,ABC=60,PAAD,E,F分別為BC,PE的中點(diǎn),A

3、F平面PED.(1)求證:PA平面ABCD;(2)求直線BF與平面AFD所成角的正弦值.6.如圖,BCD是等邊三角形,AB=AD,BAD=90,將BCD沿BD折疊到BCD的位置,使得ADCB.(1)求證:ADAC;(2)若M,N分別是BD,CB的中點(diǎn),求二面角N-AM-B的余弦值.7.(2018山東濰坊一模,理18)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1=4,AB=2,AC=2,BAC=45,點(diǎn)M是棱AA1上不同于A,A1的動點(diǎn).(1)證明:BCB1M;(2)若平面MB1C把此棱柱分成體積相等的兩部分,求此時二面角M-B1C-A的余弦值.參考答案專題突破練16空間中的垂直與空間角1.解

4、(1)因?yàn)锳BC是等邊三角形,M是AB的中點(diǎn),所以CMMB.DB平面ABC,CM平面ABC,DBCM.DBMB=B,CM平面DMB.DM平面DMB,CMDM.(2)解法1:以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn),MC所在直線為x軸,MB所在直線為y軸,過M且與直線BD平行的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M-xyz.因?yàn)镈B平面ABC,所以DMB為直線DM與平面ABC所成的角.由題意得cosDMB=,tanDMB=2,即BD=2MB,從而BD=AC.不妨設(shè)AC=2,又AC=2AE,則CM=,AE=1.故B(0,1,0),C(,0,0),D(0,1,2),E(0,-1,1).于是=(,-1,0),=(0,0,

5、2),=(-,-1,1),=(-,1,2),設(shè)平面BCD與平面CDE的法向量分別為m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),由令x1=1,得y1=,m=(1,0).由令x2=1,得y2=-,z2=n=cos=0.故二面角B-CD-E的正弦值為1.解法2:DB平面ABC,DMB為直線DM與平面ABC所成的角.由題意得cosDMB=,tanDMB=2,即BD=2MB,從而BD=AC.不妨設(shè)AC=2,又AC=2AE,則CM=,AE=1,AB=BC=BD=2.由于EA平面ABC,DB平面ABC,則EABD.取BD的中點(diǎn)N,連接EN,則EN=AB=2.在RtEND中,ED=,在RtEAC中,E

6、C=,在RtCBD中,CD=2,取CD的中點(diǎn)P,連接EP,BP,BE,則EPCD,BPCD.所以EPB為二面角B-CD-E的平面角.在RtEPC中,EP=,在RtCBD中,BP=CD=,在RtEAB中,EB=,EP2+BP2=5=EB2,EPB=90.故二面角B-CD-E的正弦值為1.2.(1)證明 在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,四邊形A1ACC1為矩形.又E,F分別為AC,A1C1的中點(diǎn),ACEF.AB=BC,ACBE,AC平面BEF.(2)解 由(1)知ACEF,ACBE,EFCC1.CC1平面ABC,EF平面ABC.BE平面ABC,EFBE.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

7、系E-xyz.由題意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).=(2,0,1),=(1,2,0).設(shè)平面BCD的法向量為n=(a,b,c),則令a=2,則b=-1,c=-4,平面BCD的法向量n=(2,-1,-4),又平面CDC1的法向量為=(0,2,0),cos=-由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角,二面角B-CD-C1的余弦值為-(3)證明 平面BCD的法向量為n=(2,-1,-4),G(0,2,1),F(0,0,2),=(0,-2,1),n=-2,n與不垂直,FG與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi),FG與平面BCD相交.3.(1)證明

8、 取AD的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,過O作AB的平行線為y軸,OE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,1,0),E(0,0,),A(1,0,0),C(-1,2,0),F(0,4,),=(-1,-1,),=(-1,4,),=(-2,2,0),=1-4+3=0,=2-2=0,BEAF,BEAC.又AFAC=A,BE平面ACF.(2)解 =(-2,1,0),=(-1,3,).設(shè)平面BCF的法向量n=(x,y,z),則取x=1,得n=易知平面ABC的一個法向量m=(0,0,1).設(shè)二面角A-BC-F的平面角為,則cos =-二面角A-BC-F的余弦值為-4.解 (1)易知AB,AD,AP兩兩垂

9、直.如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=t,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為:A(0,0,0),B(t,0,0),C(t,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E,F(0,1,0),從而=(t,1,0),=(-t,2,0).因?yàn)锳CBD,所以=-t2+2+0=0.解得t=或t=-(舍去).于是=(,1,0).因?yàn)?-1+1+0=0,所以,即ACEF.(2)由(1)知,=(,1,-2),=(0,2,-2).設(shè)n=(x,y,z)是平面PCD的一個法向量,則令z=,則n=(1,).設(shè)直線EF與平面PCD所成的角為,則sin =|cos|=即直線E

10、F與平面PCD所成角的正弦值為5.解 (1)連接AE,因?yàn)锳F平面PED,ED平面PED,所以AFED,在ABCD中,BC=2AB=4,ABC=60,AE=2,ED=2,從而有AE2+ED2=AD2.AEED.AFAE=A,ED平面PAE.PA平面PAE,EDPA.PAAD,ADED=D,PA平面ABCD.(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),D(0,4,0),B(,-1,0),E(,1,0).AF平面PED,AFPE.F為PE的中點(diǎn),PA=AE=2,P(0,0,2),F=(0,4,0),設(shè)平面AFD的法向量為n=(x,y,z),由得令z=1,得n=設(shè)直線BF

11、與平面AFD所成的角為,則sin =|cos|=即直線BF與平面AFD所成角的正弦值為6.解 (1)證明:BAD=90,ADAB.CBAD,且ABCB=B,AD平面CAB.AC平面CAB,ADAC.(2)BCD是等邊三角形,AB=AD,BAD=90,不妨設(shè)AB=1,則BC=CD=BD=M,N分別為BD,CB的中點(diǎn),由此以A為原點(diǎn),以AB,AD,AC所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.則有A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(0,0,1),M,N,0,設(shè)平面AMN的法向量為m=(x,y,z),則即令x=1,則y=z=-1,m=(1,-1,-1).又平面AB

12、M的一個法向量是n=(0,0,1),cos=-,二面角N-AM-B的余弦值為7.(1)證明 在ABC中,由余弦定理得,BC2=4+8-222cos 45=4,BC=2,則有AB2+BC2=8=AC2,ABC=90,BCAB.又BCBB1,BB1AB=B,BC平面ABB1A1,又B1M平面ABB1A1,BCB1M.(2)解 由題設(shè)知,平面把此三棱柱分成兩個體積相等的幾何體為四棱錐C-ABB1M和四棱錐B1-A1MCC1.由(1)知四棱錐C-ABB1M的高為BC=2,224=8,V柱=4,又BC=4,=6=2,AM=2.此時M為AA1中點(diǎn).以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz.A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,4),M(2,0,2),=(0,-2,4),=(2,0,-2),=(-2,2,0),設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面CB1M的一個法向量,即令z1=1,可得n1=(1,2,1),設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面ACB1的一個法向量,即令z2=1,可得n2=(2,2,1),cos=所以二面角M-B1C-A的余弦值等于