《2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 《平面向量的數(shù)量積》學(xué)習(xí)過程》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 《平面向量的數(shù)量積》學(xué)習(xí)過程(3頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 平面向量的數(shù)量積學(xué)習(xí)過程學(xué)習(xí)過程知識點一:平面向量的數(shù)量積(1) 定義:已知兩個非零向量與,它們的夾角是,則數(shù)量|cosq叫與的數(shù)量積,記作,即有 = |cosq,()(2) .并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0.(3) 投影:“投影”的概念:作圖 定義:|cosq叫做向量在方向上的投影.投影也是一個數(shù)量,不是向量;當(dāng)q為銳角時投影為正值;當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值;當(dāng)q為直角時投影為0;當(dāng)q = 0時投影為 |;當(dāng)q = 180時投影為 -|.(4) 兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積的區(qū)別兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),不是向量,符號由cosq的符號所決定.當(dāng)09
2、0時,0;當(dāng)=90時,=0;當(dāng)90180時,0.兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積,寫成;.符號“ ”在向量運算中不是乘號,既不能省略,也不能用“”代替. 在實數(shù)中,若a0,且ab=0,則b=0;但是在數(shù)量積中,若,且=0,不能推出.因為其中cosq有可能為0.(5)平面向量的數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積等于的長度與在方向上投影|cosq的乘積.注意:在方向上投影可以寫成(6)平面向量的數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)、為兩個非零向量, = 0 當(dāng)與同向時, = |;當(dāng)與反向時,= -|. 特別的 = |2或 cosq =,利用這一關(guān)系,可求兩個向量的夾角。(7)平面向量數(shù)量積的運算律交換律:數(shù)乘結(jié)合律:()=() = (
3、)分配律:(+)= + 說明:一般地,()(),0有如下常用性質(zhì):()()知識點二:平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1) 已知兩個非零向量,則,即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。(2) 向量模的坐標(biāo)表示設(shè),則.如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為、,那么 (3) 注意:若A、B,則,所以的實質(zhì)是A,B的兩點的距離或是線段的長度,這也是模的幾何意義。(4) 兩個向量垂直的條件設(shè),則 (5) 兩向量夾角的余弦公式(6) 設(shè)兩個非零向量,是與的夾角,則有cos=學(xué)習(xí)結(jié)論(1) 兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),不是向量,符號由cosq的符號所決定.(2) 數(shù)學(xué)中涉及向量中點、夾角、距離、
4、平行與垂直問題,均可轉(zhuǎn)化為向量問題。(3) 兩向量垂直的充要條件有時與向量共線條件結(jié)合在一起,要注意兩者的聯(lián)系。典型例題例1 已知與都是非零向量,且+ 3與7 - 5垂直, - 4與7- 2垂直,求與的夾角.解:由( + 3)(7 - 5) = 0 =0 ( - 4)(7 - 2) = 0 兩式相減:代入或得:設(shè)、的夾角為q,則cosq =,又因為 q = 60例2 求證:平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和.解析:如圖:平行四邊形ABCD中,=|2=而= ,|= 2= 例3. 如圖,以原點和A(5, 2)為頂點作等腰直角OAB,使B = 90,求點B和向量的坐標(biāo).答案:B點坐標(biāo)或;=
5、或解析:設(shè)B點坐標(biāo)(x, y),則= (x, y),= (x-5, y-2) x(x-5) + y(y-2) = 0即:x2 + y2 -5x - 2y = 0又| = | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即:10x + 4y = 29由B點坐標(biāo)或;=或 例4. 在ABC中,=(2, 3),=(1, k),且ABC的一個內(nèi)角為直角,求k值.答案:k =或k = 或k =解析:當(dāng)A = 90時,= 0,21 +3k = 0 k = 當(dāng)B = 90時,= 0,=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2(-1) +3(k-3) = 0 k = 當(dāng)C = 90時,= 0,-1 + k(k-3) = 0 k =