《(全國(guó)通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國(guó)通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法學(xué)案 新人教A版選修2-2(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、22.2反證法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過(guò)程,會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)反證法王戎小時(shí)候,愛(ài)和小朋友在路上玩耍一天,他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子,小朋友一哄而上,去摘李子,獨(dú)有王戎沒(méi)動(dòng),等到小朋友們摘了李子一嘗,原來(lái)是苦的!他們都問(wèn)王戎:“你怎么知道李子是苦的呢?”王戎說(shuō):“假如李子不苦的話,早被路人摘光了,而這樹上卻結(jié)滿了李子,所以李子一定是苦的”思考本故事中王戎運(yùn)用了什么論證思想?答案運(yùn)用了反證法思想梳理(1)定義:假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出矛盾,因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法(2)反證法常見(jiàn)
2、的矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾,或與假設(shè)矛盾,或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等1反證法屬于間接證明問(wèn)題的方法()2反證法的證明過(guò)程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理()3反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾()類型一用反證法證明否定性命題例1已知a,b,c,dR,且adbc1,求證:a2b2c2d2abcd1.考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)a2b2c2d2abcd1.因?yàn)閍dbc1,所以a2b2c2d2abcdbcad0,即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20.所以ab0,cd0,ad0,bc0,則abcd0,這與已知條件adbc1矛盾,
3、故假設(shè)不成立所以a2b2c2d2abcd1.反思與感悟(1)用反證法證明否定性命題的適用類型:結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語(yǔ)的命題稱為否定性命題,此類問(wèn)題的正面比較模糊,而反面比較具體,適合使用反證法(2)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟跟蹤訓(xùn)練1已知三個(gè)正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列但不成等差數(shù)列,求證:,不成等差數(shù)列考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè),成等差數(shù)列,則2,4bac2.a,b,c成等比數(shù)列,b2ac,由得b,代入式,得ac2()20,ac,從而abc.這與已知a,b,c不成等差數(shù)列相矛盾,假設(shè)不成立故,不成等差數(shù)列類型二用反證法證明“至多、至少”類問(wèn)題例2a,b,
4、c(0,2),求證:(2a)b,(2b)c,(2c)a不能都大于1.考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)(2a)b,(2b)c,(2c)a都大于1.因?yàn)閍,b,c(0,2),所以2a0,2b0,2c0.所以1.同理1,1.三式相加,得3,即33,矛盾所以(2a)b,(2b)c,(2c)a不能都大于1.引申探究已知a,b,c(0,1),求證:(1a)b,(1b)c,(1c)a不能都大于.證明假設(shè)(1a)b,(1b)c,(1c)a都大于.a,b,c都是小于1的正數(shù),1a,1b,1c都是正數(shù).同理,.三式相加,得,即,顯然不成立(1a)b,(1b)c,(1c)a不能都大于.反思與感悟應(yīng)用反證法常
5、見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”當(dāng)命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語(yǔ)時(shí),直接證明不易入手且討論較復(fù)雜這時(shí),可用反證法證明,證明時(shí)常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如:結(jié)論詞反設(shè)詞結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有對(duì)所有x成立存在某個(gè)x0不成立至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對(duì)任意x不成立存在某個(gè)x0成立至少有n個(gè)至多有n1個(gè)p或q綈p且綈q至多有n個(gè)至少有n1個(gè)p且q綈p或綈q跟蹤訓(xùn)練2已知a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù),求證:由y1ax22bxc,y2bx22cxa和y3cx22axb確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交
6、點(diǎn),由y1ax22bxc,y2bx22cxa,y3cx22axb,得14b24ac0,24c24ab0,且34a24bc0.同向不等式求和,得4b24c24a24ac4ab4bc0,所以2a22b22c22ab2bc2ac0,所以(ab)2(bc)2(ac)20,所以abc.這與題設(shè)a,b,c互不相等矛盾,因此假設(shè)不成立,從而命題得證類型三用反證法證明唯一性命題例3求證:方程2x3有且只有一個(gè)根考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明2x3,xlog23.這說(shuō)明方程2x3有根下面用反證法證明方程2x3的根是唯一的假設(shè)方程2x3至少有兩個(gè)根b1,b2(b1b2),則3, 3,兩式相除得1,b1b20
7、,則b1b2,這與b1b2矛盾假設(shè)不成立,從而原命題得證反思與感悟用反證法證明唯一性命題的一般思路:證明“有且只有一個(gè)”的問(wèn)題,需要證明兩個(gè)命題,即存在性和唯一性當(dāng)證明結(jié)論是以“有且只有”“只有一個(gè)”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí),可先證“存在性”,由于假設(shè)“唯一性”結(jié)論不成立易導(dǎo)出矛盾,因此可用反證法證其唯一性跟蹤訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上是增函數(shù),求證:方程f(x)0在區(qū)間a,b上至多有一個(gè)實(shí)根考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a,b上至少有兩個(gè)實(shí)根,設(shè),為其中的兩個(gè)實(shí)根因?yàn)?,不妨設(shè),又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在a,b上是增函數(shù),所以f()f()這與假設(shè)f()0
8、f()矛盾,所以方程f(x)0在區(qū)間a,b上至多有一個(gè)實(shí)根1證明“在ABC中至多有一個(gè)直角或鈍角”,第一步應(yīng)假設(shè)()A三角形中至少有一個(gè)直角或鈍角B三角形中至少有兩個(gè)直角或鈍角C三角形中沒(méi)有直角或鈍角D三角形中三個(gè)角都是直角或鈍角考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)如何正確進(jìn)行反設(shè)答案B2已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么直線c與b的位置關(guān)系為()A一定是異面直線 B一定是相交直線C不可能是平行直線 D不可能是相交直線答案C解析假設(shè)cb,而由ca,可得ab,這與a,b異面矛盾,故c與b不可能是平行直線3用反證法證明“在三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60”,應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形中()A有一個(gè)內(nèi)角小于60
9、 B每一個(gè)內(nèi)角都小于60C有一個(gè)內(nèi)角大于60 D每一個(gè)內(nèi)角都大于60考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)如何正確進(jìn)行反設(shè)答案B4用反證法證明“在同一平面內(nèi),若ac,bc,則ab”時(shí),應(yīng)假設(shè)()Aa不垂直于c Ba,b都不垂直于cCab Da與b相交考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)如何正確進(jìn)行反設(shè)答案D5用反證法證明:關(guān)于x的方程x24ax4a30,x2(a1)xa20,x22ax2a0,當(dāng)a或a1時(shí),至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則由判別式都小于零,得則解得ab”的反面是“ay或xy”;“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”;“三角形最多有一個(gè)鈍
10、角”的反面是“三角形沒(méi)有鈍角”其中正確的敘述有()A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)如何正確進(jìn)行反設(shè)答案B解析錯(cuò),應(yīng)為ab;對(duì);錯(cuò),應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或在三角形的邊上;錯(cuò),應(yīng)為三角形至少有2個(gè)鈍角5用反證法證明命題:“a,bN,ab可被5整除,那么a,b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為()Aa,b都能被5整除Ba,b都不能被5整除Ca,b不都能被5整除Da不能被5整除考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)如何正確進(jìn)行反設(shè)答案B解析“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒(méi)有”,即“a,b都不能被5整除”6已知p3q32,證明:pq2.用反證法證明時(shí),可假設(shè)pq2;若a,bR,|a|b|2
11、,故中的假設(shè)錯(cuò)誤;對(duì)于,其假設(shè)正確,故選D.7設(shè)a,b,c都是正數(shù),則三個(gè)數(shù)a,b,c()A都大于2B至少有一個(gè)大于2C至少有一個(gè)不小于2D至少有一個(gè)不大于2考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用答案C解析假設(shè)a2,b2,c2,則2;a2b22.其中能推出“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是_(填序號(hào))考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用答案10某珠寶店丟了一件珍貴珠寶,以下四人中只有一人說(shuō)真話,只有一人偷了珠寶甲:我沒(méi)有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;?。何覜](méi)有偷根據(jù)以上條件,可以判斷偷珠寶的人是_考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用答案甲解析假如甲:我沒(méi)有偷是真的,則乙:丙是小偷;丙:丁是小偷是假的;丁
12、:我沒(méi)有偷就是真的,與他們四人中有一人說(shuō)真話矛盾假如甲:我沒(méi)有偷是假的,則?。何覜](méi)有偷就是真的,乙:丙是小偷,丙:丁是小偷是假的,成立可以判斷偷珠寶的人是甲11若下列兩個(gè)方程x2(a2)xa20,x2ax2a0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用答案(,82,)解析若兩方程均無(wú)實(shí)根,則1(a2)24a2(3a2)(a2)0,a.2a28aa(a8)0,8a0,故8a0.這與abc0矛盾,假設(shè)不成立,故a,b,c中至少有一個(gè)是大于0的13已知f(x)ax(a1),求證:方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)x0是f(x)0的負(fù)數(shù)
13、根,則x00且x01,且ax0,0ax01,01,解得x02,這與x00矛盾,故方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根四、探究與拓展14若a,b,c,d都是有理數(shù),都是無(wú)理數(shù),且ab,則a與b,c與d之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用答案ab,cd解析假設(shè)ab,令abm(m是不等于零的有理數(shù)),于是bmb,所以m,兩邊平方整理得.左邊是無(wú)理數(shù),右邊是有理數(shù),矛盾,因此ab,從而cd.15設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式;(2)設(shè)q1,證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用(1)解設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)q1時(shí),Sna1a1a1na1;當(dāng)q1時(shí),Sna1a1qa1q2a1qn1,qSna1qa1q2a1qn,由得,(1q)Sna1a1qn,所以Sn,綜上所述,Sn(2)證明假設(shè)an1是等比數(shù)列,則對(duì)任意的kN*,(ak11)2(ak1)(ak21),a2ak11akak2akak21,aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1,因?yàn)閍10,所以2qkqk1qk1.因?yàn)閝0,所以q22q10,所以q1,這與已知矛盾所以假設(shè)不成立,故數(shù)列an1不是等比數(shù)列11