《（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法學(xué)案 新人教A版選修2-2（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、22.2反證法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過(guò)程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)反證法王戎小時(shí)候，愛(ài)和小朋友在路上玩耍一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨(dú)有王戎沒(méi)動(dòng)，等到小朋友們摘了李子一嘗，原來(lái)是苦的！他們都問(wèn)王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說(shuō)：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的”思考本故事中王戎運(yùn)用了什么論證思想？答案運(yùn)用了反證法思想梳理(1)定義：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法(2)反證法常見(jiàn)

2、的矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等1反證法屬于間接證明問(wèn)題的方法()2反證法的證明過(guò)程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理()3反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾()類型一用反證法證明否定性命題例1已知a，b，c，dR，且adbc1，求證：a2b2c2d2abcd1.考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)a2b2c2d2abcd1.因?yàn)閍dbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20.所以ab0，cd0，ad0，bc0，則abcd0，這與已知條件adbc1矛盾，

3、故假設(shè)不成立所以a2b2c2d2abcd1.反思與感悟(1)用反證法證明否定性命題的適用類型：結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語(yǔ)的命題稱為否定性命題，此類問(wèn)題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法(2)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟跟蹤訓(xùn)練1已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列但不成等差數(shù)列，求證：，不成等差數(shù)列考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)，成等差數(shù)列，則2，4bac2.a，b，c成等比數(shù)列，b2ac，由得b，代入式，得ac2()20，ac，從而abc.這與已知a，b，c不成等差數(shù)列相矛盾，假設(shè)不成立故，不成等差數(shù)列類型二用反證法證明“至多、至少”類問(wèn)題例2a，b，

4、c(0,2)，求證：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1.因?yàn)閍，b，c(0,2)，所以2a0,2b0,2c0.所以1.同理1，1.三式相加，得3，即33，矛盾所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.引申探究已知a，b，c(0,1)，求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.證明假設(shè)(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于.a，b，c都是小于1的正數(shù)，1a,1b,1c都是正數(shù).同理，.三式相加，得，即，顯然不成立(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.反思與感悟應(yīng)用反證法常

5、見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”當(dāng)命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語(yǔ)時(shí)，直接證明不易入手且討論較復(fù)雜這時(shí)，可用反證法證明，證明時(shí)常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如：結(jié)論詞反設(shè)詞結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有對(duì)所有x成立存在某個(gè)x0不成立至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對(duì)任意x不成立存在某個(gè)x0成立至少有n個(gè)至多有n1個(gè)p或q綈p且綈q至多有n個(gè)至少有n1個(gè)p且q綈p或綈q跟蹤訓(xùn)練2已知a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)，求證：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交

6、點(diǎn)，由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb，得14b24ac0，24c24ab0，且34a24bc0.同向不等式求和，得4b24c24a24ac4ab4bc0，所以2a22b22c22ab2bc2ac0，所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以abc.這與題設(shè)a，b，c互不相等矛盾，因此假設(shè)不成立，從而命題得證類型三用反證法證明唯一性命題例3求證：方程2x3有且只有一個(gè)根考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明2x3，xlog23.這說(shuō)明方程2x3有根下面用反證法證明方程2x3的根是唯一的假設(shè)方程2x3至少有兩個(gè)根b1，b2(b1b2)，則3, 3，兩式相除得1，b1b20

7、，則b1b2，這與b1b2矛盾假設(shè)不成立，從而原命題得證反思與感悟用反證法證明唯一性命題的一般思路：證明“有且只有一個(gè)”的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性當(dāng)證明結(jié)論是以“有且只有”“只有一個(gè)”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，可先證“存在性”，由于假設(shè)“唯一性”結(jié)論不成立易導(dǎo)出矛盾，因此可用反證法證其唯一性跟蹤訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，求證：方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個(gè)實(shí)根考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a，b上至少有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)，為其中的兩個(gè)實(shí)根因?yàn)?，不妨設(shè)，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在a，b上是增函數(shù)，所以f()f()這與假設(shè)f()0

8、f()矛盾，所以方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多有一個(gè)實(shí)根1證明“在ABC中至多有一個(gè)直角或鈍角”，第一步應(yīng)假設(shè)()A三角形中至少有一個(gè)直角或鈍角B三角形中至少有兩個(gè)直角或鈍角C三角形中沒(méi)有直角或鈍角D三角形中三個(gè)角都是直角或鈍角考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)如何正確進(jìn)行反設(shè)答案B2已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么直線c與b的位置關(guān)系為()A一定是異面直線 B一定是相交直線C不可能是平行直線 D不可能是相交直線答案C解析假設(shè)cb，而由ca，可得ab，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線3用反證法證明“在三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60”，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形中()A有一個(gè)內(nèi)角小于60

9、 B每一個(gè)內(nèi)角都小于60C有一個(gè)內(nèi)角大于60 D每一個(gè)內(nèi)角都大于60考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)如何正確進(jìn)行反設(shè)答案B4用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若ac，bc，則ab”時(shí)，應(yīng)假設(shè)()Aa不垂直于c Ba，b都不垂直于cCab Da與b相交考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)如何正確進(jìn)行反設(shè)答案D5用反證法證明：關(guān)于x的方程x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0，當(dāng)a或a1時(shí)，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則由判別式都小于零，得則解得ab”的反面是“ay或xy”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；“三角形最多有一個(gè)鈍

10、角”的反面是“三角形沒(méi)有鈍角”其中正確的敘述有()A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)如何正確進(jìn)行反設(shè)答案B解析錯(cuò)，應(yīng)為ab；對(duì)；錯(cuò)，應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或在三角形的邊上；錯(cuò)，應(yīng)為三角形至少有2個(gè)鈍角5用反證法證明命題：“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為()Aa，b都能被5整除Ba，b都不能被5整除Ca，b不都能被5整除Da不能被5整除考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)如何正確進(jìn)行反設(shè)答案B解析“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒(méi)有”，即“a，b都不能被5整除”6已知p3q32，證明：pq2.用反證法證明時(shí)，可假設(shè)pq2；若a，bR，|a|b|2

11、，故中的假設(shè)錯(cuò)誤；對(duì)于，其假設(shè)正確，故選D.7設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)a，b，c()A都大于2B至少有一個(gè)大于2C至少有一個(gè)不小于2D至少有一個(gè)不大于2考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用答案C解析假設(shè)a2，b2，c2，則2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是_(填序號(hào))考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用答案10某珠寶店丟了一件珍貴珠寶，以下四人中只有一人說(shuō)真話，只有一人偷了珠寶甲：我沒(méi)有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；?。何覜](méi)有偷根據(jù)以上條件，可以判斷偷珠寶的人是_考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用答案甲解析假如甲：我沒(méi)有偷是真的，則乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁

12、：我沒(méi)有偷就是真的，與他們四人中有一人說(shuō)真話矛盾假如甲：我沒(méi)有偷是假的，則?。何覜](méi)有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立可以判斷偷珠寶的人是甲11若下列兩個(gè)方程x2(a2)xa20，x2ax2a0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用答案(，82，)解析若兩方程均無(wú)實(shí)根，則1(a2)24a2(3a2)(a2)0，a.2a28aa(a8)0，8a0，故8a0.這與abc0矛盾，假設(shè)不成立，故a，b，c中至少有一個(gè)是大于0的13已知f(x)ax(a1)，求證：方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用證明假設(shè)x0是f(x)0的負(fù)數(shù)

13、根，則x00且x01，且ax0，0ax01，01，解得x02，這與x00矛盾，故方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根四、探究與拓展14若a，b，c，d都是有理數(shù)，都是無(wú)理數(shù)，且ab，則a與b，c與d之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用答案ab，cd解析假設(shè)ab，令abm(m是不等于零的有理數(shù))，于是bmb，所以m，兩邊平方整理得.左邊是無(wú)理數(shù)，右邊是有理數(shù)，矛盾，因此ab，從而cd.15設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列考點(diǎn)反證法及應(yīng)用題點(diǎn)反證法的應(yīng)用(1)解設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1a1na1；當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，由得，(1q)Sna1a1qn，所以Sn，綜上所述，Sn(2)證明假設(shè)an1是等比數(shù)列，則對(duì)任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，因?yàn)閍10，所以2qkqk1qk1.因?yàn)閝0，所以q22q10，所以q1，這與已知矛盾所以假設(shè)不成立，故數(shù)列an1不是等比數(shù)列11