4、成的圖形面積為?x3dx＋?(2－x)dx.( √ )
2．在求變速直線運動的路程時，物體運動的速度一定為正．( × )
3．在計算變力做功時，不用考慮力與位移的方向．( × )
類型一 利用定積分求面積
例1 由曲線y2＝x，y＝x2所圍圖形的面積S＝________.
考點 利用定積分求曲線所圍成圖形面積
題點 不需分割的圖形的面積求解
答案
解析 由得交點的橫坐標(biāo)為x＝0及x＝1.
因此，所求圖形的面積為
S＝S曲邊梯形OABC－S曲邊梯形OABD
＝?dx－?x2dx
＝－＝－＝.
反思與感悟 求由曲線圍成圖形面積的一般步驟
(1)根據(jù)題意畫出圖形
5、．
(2)找出范圍，確定積分上、下限．
(3)確定被積函數(shù)．
(4)將面積用定積分表示．
(5)用微積分基本定理計算定積分，求出結(jié)果．
跟蹤訓(xùn)練1 求由拋物線y＝x2－4與直線y＝－x＋2所圍成的圖形的面積．
考點 利用定積分求曲線所圍成圖形面積
題點 不需分割的圖形的面積求解
解 由
得或
所以直線y＝－x＋2與拋物線y＝x2－4的交點坐標(biāo)為(－3,5)和(2,0)，
設(shè)所求圖形面積為S，
根據(jù)圖形可得，S＝?(－x＋2)dx－?(x2－4)dx
＝－
＝－＝.
例2 求由曲線y＝，y＝2－x，y＝－x所圍成的圖形的面積．
考點 利用定積分求曲線所
6、圍成圖形面積
題點 需分割的圖形的面積求解
解 畫出圖形，如圖所示．
解方程組
得交點坐標(biāo)分別為(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以S＝?dx＋?dx
＝?dx＋?dx
＝＋
＝＋＋6－×9－2＋＝.
反思與感悟 兩條或兩條以上的曲線圍成的圖形，一定要確定圖形范圍，通過解方程組求出交點的坐標(biāo)，定出積分上、下限，若積分變量選x運算較煩瑣，則積分變量可選y，同時要更換積分上、下限．
跟蹤訓(xùn)練2 求由曲線y＝x2，直線y＝2x和y＝x所圍成的圖形的面積．
考點 利用定積分求曲線所圍成圖形面積
題點 需分割的圖形的面積求解
解 由和解出O，A，B三點的橫坐標(biāo)分別是
7、0,1,2.
故所求的面積S＝?(2x－x)dx＋?(2x－x2)dx
＝＋
＝－0＋－＝.
類型二 定積分在物理中的應(yīng)用
例3 一點在直線上從時刻t＝0 s開始以速度v＝t2－4t＋3(v的單位：m/s)運動，求：
(1)該點在t＝4 s時的位置；
(2)該點前4 s走過的路程．
考點 利用定積分求路程問題
題點 利用定積分求路程問題
解 (1)在t＝4 s時，該點的位移為?(t2－4t＋3)dt＝＝，即在t＝4 s時，該點與出發(fā)點的距離為 m.
(2)因為v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在區(qū)間[0,1]及[3,4]上，v(t)≥0，在區(qū)間[1,
8、3]上，v(t)≤0，所以走過的路程s＝?(t2－4t＋3)dt＋＋?(t2－4t＋3)dt＝?(t2－4t＋3)dt－?(t2－4t＋3)dt＋?(t2－4t＋3)dt＝4(m)，即前4 s走過的路程為4 m.
反思與感悟 (1)求變速直線運動的物體的路程(位移)方法
①用定積分計算做直線運動物體的路程，要先判斷速度v(t)在時間區(qū)間內(nèi)是否為正值，若v(t)>0，則運動物體的路程為s＝?v(t)dt；若v(t)<0，則運動物體的路程為s＝?|v(t)|dt＝－?v(t)dt；
②注意路程與位移的區(qū)別．
(2)求變力做功的方法步驟
①首先要明確變力的函數(shù)式F(x)，確定物體在力的方向
9、上的位移；
②利用變力做功的公式W＝?F(x)dx計算；
③注意必須將力與位移的單位換算為牛頓與米，功的單位才為焦耳．
跟蹤訓(xùn)練3 一彈簧在彈性限度內(nèi)，拉伸彈簧所用的力與彈簧伸長的長度成正比．若20 N的力能使彈簧伸長3 cm，則把彈簧從平衡位置拉長13 cm(在彈性限度內(nèi))時所做的功W為( )
A. J B．5 J
C. J D．6 J
考點 利用定積分求變力做功問題
題點 定積分在彈力做功中的應(yīng)用
答案 A
解析 設(shè)拉伸彈簧所用的力為F N，彈簧伸長的長度為x m，則F＝kx.
由題意知20＝0.03k，得k＝，
所以F＝x.由變力做功公式，
得W＝?xd
10、x＝＝(J)，
故把彈簧從平衡位置拉長13 cm時所做的功為 J.
1．由曲線y＝x2與直線y＝2x所圍成的平面圖形的面積為( )
A. B.
C. D.
考點 利用定積分求曲線所圍成圖形面積
題點 不需分割的圖形的面積求解
答案 A
解析 如圖，畫出曲線y＝x2和直線y＝2x的圖象，
則所求面積S為圖中陰影部分的面積．
解方程組得
所以A(2,4)，O(0,0)．
所以S＝?2xdx－?x2dx
＝x2＝4－＝.
2．一物體在力F(x)＝3x2－2x＋5(力的單位：N，位移單位：m)的作用下沿與力F(x)相同的方向由x＝5 m運動到x＝10 m，則F
11、(x)做的功為( )
A．925 J B．850 J
C．825 J D．800 J
考點 利用定積分求變力做功問題
題點 定積分在彈力做功中的應(yīng)用
答案 C
解析 依題意F(x)做的功是
W＝?F(x)dx＝?(3x2－2x＋5)dx
＝(x3－x2＋5x)|＝825(J)．
3．由曲線y＝與直線x＝1，x＝2，y＝1所圍成的封閉圖形的面積為________．
考點 利用定積分求曲線所圍成圖形面積
題點 不需分割的圖形的面積求解
答案 1－ln 2
解析 因為函數(shù)y＝在[1,2]上的積分為S2＝?dx＝ln x|＝ln 2，
所以圍成的封閉圖形的面積
12、S1等于四邊形ABCD的面積減去S2的面積，即S1＝1－ln 2.
4．一輛汽車的速度—時間曲線如圖所示，則汽車在1分鐘內(nèi)行駛的路程為________ m.
考點 利用定積分求路程問題
題點 利用定積分求路程問題
答案 900
解析 由速度—時間曲線得
v(t)＝
所以汽車在1分鐘內(nèi)行駛的路程為
?3tdt＋?＋
＝150＋750＝900 m.
5．求由拋物線y＝x2－1，直線x＝2，y＝0所圍成的圖形的面積．
考點 利用定積分求曲線所圍成圖形面積
題點 需分割的圖形的面積求解
解 作出草圖如圖所示，所求圖形的面積為圖中陰影部分的面積．
由x2－1＝0，得拋物線
13、與x軸的交點坐標(biāo)是(－1,0)和(1,0)，
因此所求圖形的面積為
S＝?|x2－1|dx＋?(x2－1)dx
＝?(1－x2)dx＋?(x2－1)dx
＝＋
＝－＋－
＝.
對于簡單圖形的面積求解，我們可直接運用定積分的幾何意義，此時
(1)確定積分上、下限，一般為兩交點的橫坐標(biāo)；
(2)確定被積函數(shù)，一般是上曲線與下曲線對應(yīng)函數(shù)的差．
這樣所求的面積問題就轉(zhuǎn)化為運用微積分基本定理計算定積分了．注意區(qū)別定積分與利用定積分計算曲線所圍圖形的面積：定積分可正、可負(fù)或為零；而平面圖形的面積總是非負(fù)的．
一、選擇題
1.用S表示圖中陰影部分的面積，則S的值是( )
14、
A．?f(x)dx
B．|?f(x)dx|
C．?f(x)dx＋?f(x)dx
D．?f(x)dx－?f(x)dx
考點 利用定積分求曲線所圍成圖形面積
題點 需分割的圖形的面積求解
答案 D
解析 ∵x∈[a，b]時，f(x)<0，x∈[b，c]時，f(x)>0，
∴陰影部分的面積S＝?f(x)dx－?f(x)dx.
2．一物體以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直線運動，則它在t＝0 s到t＝3 s時間段內(nèi)的位移是( )
A．31 m B．36 m
C．38 m D．40 m
考點 利用定積分求路程問題
題點 利用定積分求路程問題
答案 B
解析
15、 S＝?(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)|＝33＋32＝36(m)，故選B.
3．一物體在力F(x)＝4x－1(單位：N)的作用下，沿著與力F相同的方向，從x＝1運動到x＝3處(單位：m)，則力F(x)所做的功為( )
A．8 J B．10 J C．12 J D．14 J
考點 利用定積分求變力做功問題
題點 定積分在彈力做功中的應(yīng)用
答案 D
解析 由變力做功公式有W＝?(4x－1)dx＝(2x2－x)|＝14(J)，故選D.
4．由直線x＝0，x＝，y＝0與曲線y＝2sin x所圍成的圖形的面積等于( )
A．3 B. C．1 D.
考點 利用定積分求
16、曲線所圍成圖形面積
題點 不需分割的圖形的面積求解
答案 A
解析 直線x＝0，x＝，y＝0與曲線y＝2sin x所圍成的圖形如圖所示，
其面積為
S＝＝－2cos x
＝－2cos －(－2cos 0)＝1＋2＝3，故選A.
5．由y＝x2，y＝x2及x＝1圍成的圖形的面積S等于( )
A. B.
C. D．1
考點 利用定積分求曲線所圍成圖形面積
題點 不需分割的圖形的面積求解
答案 C
解析 y＝x2，y＝x2，x＝1所圍成的圖形如圖所示，
S＝?x2dx－?x2dx
＝?x2dx
＝＝.
6．由直線y＝x，曲線y＝x3圍成的封閉圖形的面積
17、為( )
A. B.
C. D.
考點 利用定積分求曲線所圍成圖形面積
題點 需分割的圖形的面積求解
答案 C
解析 由直線y＝x，曲線y＝x3圍成的封閉圖形如圖，所以由直線y＝x，曲線y＝x3圍成的封閉圖形的面積為2?(x－x3)dx＝，故選C.
7．由曲線y＝與直線y＝2x－1及x軸所圍成的封閉圖形的面積為( )
A. B.
C. D.
考點 利用定積分求曲線所圍成圖形面積
題點 需分割的圖形的面積求解
答案 D
解析 聯(lián)立曲線y＝與直線y＝2x－1，構(gòu)成方程組
解得
聯(lián)立直線y＝2x－1，y＝0構(gòu)成方程組，解得
∴曲線y＝與直線y＝
18、2x－1及x軸所圍成的封閉圖形的面積為
S＝?dx－
＝＋－＝.
二、填空題
8．一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)＝7－3t＋(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止．在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是________．
考點 利用定積分求路程問題
題點 利用定積分求路程問題
答案 4＋25ln 5
解析 由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s，此期間行駛的距離為?v(t)dt＝?dt＝＝4＋25ln 5.
9．由曲線y＝ex，y＝e－x及x＝1所圍成的圖形的面積為____________．
19、
考點 利用定積分求曲線所圍成圖形面積
題點 不需分割的圖形的面積求解
答案 e＋－2
解析 如圖，所圍成的圖形的面積為
?(ex－e－x)dx
＝(ex＋e－x)|
＝e＋e－1－2＝e＋－2.
10.如圖，已知點A，點P(x0，y0)(x0>0)在曲線y＝x2上，若陰影部分的面積與△OAP的面積相等，則x0＝________.
考點 導(dǎo)數(shù)與積分幾何意義的應(yīng)用
題點 導(dǎo)數(shù)與積分幾何定義的應(yīng)用
答案
解析 由題意知×x0×＝
即x0＝x，
解得x0＝或x0＝－或x0＝0.
∵x0>0，∴x0＝.
11．若兩曲線y＝x2與y＝cx3(c>0)圍成圖形的面積是，
20、則c＝________.
考點 利用定積分求曲線所圍成圖形的面積
題點 已知曲線所圍成圖形的面積求參數(shù)
答案
解析 由得x＝0或x＝.
∵當(dāng)0cx3，
∴S＝＝
＝－＝＝.
∴c3＝，∴c＝.
三、解答題
12．求由拋物線y2＝8x(y>0)與直線x＋y－6＝0及y＝0所圍成圖形的面積．
考點 利用定積分求曲線所圍成圖形的面積
題點 需分割的圖形的面積求解
解 如圖所示，
由
得所以拋物線y2＝8x(y>0)與直線x＋y－6＝0的交點坐標(biāo)為(2,4)．
方法一 (選y為積分變量)
S＝?dy
＝
＝24－8－×64＝.
方法二 (選x為
21、積分變量)
S＝?()dx＋?(6－x)dx
＝＋
＝＋
＝.
13.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖象如圖所示，它與直線y＝0在原點處相切，此切線與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，求a的值．
考點 利用定積分求曲線所圍成圖形面積
題點 已知曲線所圍成圖形的面積求參數(shù)
解 由題圖知方程f(x)＝0有兩個實根，其中有一個實根為0，于是b＝0，
所以f(x)＝x2(x＋a)．
有＝?[0－(x3＋ax2)]dx＝－＝，
所以a＝±3.
又－a>0，即a<0，所以a＝－3.
四、探究與拓展
14.如圖，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的
22、正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為________．
考點 利用定積分求曲線所圍成圖形面積
題點 不需分割的圖形的面積求解
答案
解析 ∵S陰＝2?(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2，
S正方形＝e2，∴P＝.
15.已知S1為直線x＝0，y＝4－t2及y＝4－x2所圍成圖形的面積，S2為直線x＝2，y＝4－t2及曲線y＝4－x2所圍成圖形的面積(t為常數(shù))．
(1)若t＝，求S2；
(2)若t∈(0,2)，求S1＋S2的最小值．
考點 利用定積分求曲線所圍成圖形面積
題點 需分割的圖形的面積求解
解 (1)當(dāng)t＝時，S2＝
＝＝(－1)．
(2)當(dāng)t∈(0,2)時，S1＝?[(4－x2)－(4－t2)]dx
＝＝t3.
S2＝?[(4－t2)－(4－x2)]dx
＝＝－2t2＋t3.
所以S＝S1＋S2＝t3－2t2＋.
S′＝4t2－4t＝4t(t－1)，
令S′＝0，得t＝0(舍去)或t＝1，
當(dāng)00，S單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝1時，Smin＝2.
14
（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.7 定積分的簡單應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-2
