《（浙江專用）2019高考數學二輪復習 指導二 透視高考解題模板示范規(guī)范拿高分 模板5 函數與導數問題學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專用）2019高考數學二輪復習 指導二 透視高考解題模板示范規(guī)范拿高分 模板5 函數與導數問題學案（4頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、模板5　函數與導數問題 (滿分15分)設函數f(x)＝emx＋x2－mx. (1)證明：f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增； (2)若對于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍. 滿分解答 得分說明 解題模板 (1)證明　f′(x)＝m(emx－1)＋2x. (1分) 若m≥0，則當x∈(－∞，0)時，emx－1≤0，f′(x)＜0； 當x∈(0，＋∞)時，emx－1≥0，f′(x)＞0. (3分) 若m＜0，則當x∈(－∞，0)時，emx－1＞0，f′(x)＜0；

2、 當x∈(0，＋∞)時，emx－1＜0，f′(x)＞0.(5分) 所以，f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增. (6分) ①求導正確得1分； ②分兩種情況討論正確各得2分； ③得出結論得1分； 第一步　求導數：一般先確定函數的定義域，再求f′(x). 第二步　定區(qū)間：根據f′(x)的符號確定函數的單調區(qū)間. 第三步　尋條件：一般將恒成立問題轉化為函數的最值問題. 第四步　寫步驟：通過函數單調性探求函數最值，對于最值可能在兩點取到的恒成立問題，可轉化為不等式組恒成立. 第五步　再反思：查看是否注意定義域，區(qū)間的寫法

3、、最值點的探求是否合理等. (2)解　由(1)知，對于任意的m，f(x)在[－1，0]上單調遞減，在[0，1]上單調遞增，故f(x)在x＝0處取得最小值．所以對于任意x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要條件是 即① (9分) 設函數g(t)＝et－t－e＋1， 則g′(t)＝et－1. 當t＜0時，g′(t)＜0；當t＞0時，g′(t)＞0. 故g(t)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增. 又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0， 故當t∈[－1，1]時，g(t)≤0. (12分) 當m∈[－1，1]時，

4、g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立； 當m＞1時，由g(t)的單調性知，g(m)＞0，即em－m＞e－1； 當m＜－1時，g(－m)＞0， 即e－m＋m＞e－1. 綜上，m的取值范圍是[－1，1]． (15分) ④找出充要條件得3分； ⑤構造函數，求出“t∈ [－1，1]時，g(t)≤0”得3分； ⑥通過分類討論，得出結果得3分. 【訓練5】 設函數f(x)＝ln x＋，m∈R. (1)當m＝e(e為自然對數的底數)時，求f(x)的極小值； (2)討論函數g(x)＝f′(x)－零點的個數． 解　(1)由題設，當m＝e時，f(x)＝ln x＋， 則f′(

5、x)＝， ∴當x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上單調遞減， 當x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上單調遞增， ∴x＝e時，f(x)取得極小值f(e)＝ln e＋＝2， ∴f(x)的極小值為2. (2)由題設g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0)． 設φ(x)＝－x3＋x(x≥0)， 則φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)， 當x∈(0，1)時，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上單調遞增； 當x∈(1，＋∞)時，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上單調遞減． ∴x＝1是φ(x)的唯一極值點，且是極大值點， 因此x＝1也是φ(x)的最大值點． ∴φ(x)的最大值為φ(1)＝. 又φ(0)＝0，結合y＝φ(x)的圖象(如圖)， 可知 ①當m＞時，函數g(x)無零點； ②當m＝時，函數g(x)有且只有一個零點； ③當0＜m＜時，函數g(x)有兩個零點； ④當m≤0時，函數g(x)有且只有一個零點． 綜上所述，當m＞時，函數g(x)無零點； 當m＝或m≤0時，函數g(x)有且只有一個零點； 當0＜m＜時，函數g(x)有兩個零點． 4