《（江蘇專(zhuān)用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.3 最大值與最小值學(xué)案 蘇教版選修1-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專(zhuān)用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.3 最大值與最小值學(xué)案 蘇教版選修1-1（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.3.3　最大值與最小值 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能夠區(qū)分極值與最值兩個(gè)不同的概念．　2.掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值的步驟，會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值與最小值．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 1．函數(shù)的最大值與最小值 如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)任意的x∈I，總有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，則f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的最大值(最小值)． 2．求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的步驟 第一步，求f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值； 第二步，將第一步中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小

2、值． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．判斷正誤： (1)函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值．(　　) (2)開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最值．(　　) (3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值一定在兩個(gè)端點(diǎn)處取得．(　　) 【解析】　(1)×.反例：f(x)＝x3－x2＋2x＋1在[0,10]的最大值是f(10)，而不是其極大值f(1)． (2)√.因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)函數(shù)，故無(wú)極值，又因?yàn)槭情_(kāi)區(qū)間，所以最值不可能在區(qū)間端點(diǎn)上取到，故正確． (3)×.反例：f(x)＝－x2在[－1,1]上的最大值為f(0)＝0，不在區(qū)間端點(diǎn)取得． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)× 2．已知函數(shù)y＝x

3、3－x2－x，該函數(shù)在區(qū)間[0,3]上的最大值是________． 【解析】　y′＝3x2－2x－1，由y′＝0得3x2－2x－1＝0， 得x1＝－，x2＝1. ∵f(0)＝0，f(1)＝－1，f(3)＝27－9－3＝15， ∴該函數(shù)在[0,3]上的最大值為15. 【答案】　15 [合 作 探 究·攻 重 難] 求函數(shù)的最值 　求函數(shù)f(x)＝2x3－12x(x∈[－1,3])的最值． [思路探究]　求f′(x)，研究f(x)在[－1,3]上的極值，并與f(－1)，f(3)比較確定最值． 【自主解答】　f′(x)＝6x2－12＝6(x2－2)＝6(x＋)(x－)．

4、 由f′(x)＝0得x＝－或x＝. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x －1 (－1，) (,3) 3 f′(x) － 0 ＋ f(x) 10 ↘ －8 ↗ 18 由上表知函數(shù)f(x)的最小值是－8，最大值是18. [規(guī)律方法]　求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，只需先求出函數(shù)在閉區(qū)間上的極值，然后比較極值與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，其中最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是函數(shù)的最小值. [跟蹤訓(xùn)練] 1．求函數(shù)f(x)＝x(1－x2)，x∈[0,1]的最值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902236】 【解】　易知f′(x)＝1－3x2

5、.令f′(x)＝1－3x2＝0，則x＝±. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x 0 1 f′(x) ＋ 0 － f(x) 0 ↗ ↘ 0 由上表知f(x)的最大值為，最小值為0. 含參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題 　a為常數(shù)，求函數(shù)f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值． [思路探究]　此題是求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，要注意對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論． 【自主解答】 　f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)． 若a≤0，則f′(x)≤0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝0時(shí)，有最大值f(0)＝0. 若a＞

6、0，則令f′(x)＝0，解得x＝±.因?yàn)閤∈[0,1]，所以只需考慮x＝的情況． (1)0＜＜1，即0＜a＜1時(shí)，當(dāng)x＝時(shí)，f(x)有最大值f()＝2a.(如下表所示) x (0，) (，1) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 2a ↙ (2)≥1時(shí)，即a≥1時(shí)，f′(x)≥0，函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增， 當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有最大值，f(1)＝3a－1. 綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，x＝0時(shí)，f(x)有最大值0. 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＝時(shí)，f(x)有最大值2a. 當(dāng)a≥1時(shí)，x＝1時(shí)，f(x)有最大值3a－1. [規(guī)律方法]　求函數(shù)在閉區(qū)間上的最

7、值時(shí)，如果含有參數(shù)，則應(yīng)進(jìn)行分類(lèi)討論，由于函數(shù)的最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得，所以只需比較極值點(diǎn)和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小即可，最后再將討論的情況進(jìn)行合并整理. [跟蹤訓(xùn)練] 2．已知函數(shù)f(x)＝g(x)·h(x)，其中函數(shù)g(x)＝ex，h(x)＝x2＋ax＋a. (1)求函數(shù)g(x)在(1，g(1))處的切線方程； (2)當(dāng)0＜a＜2時(shí)，求函數(shù)f(x)在x∈[－2a，a]上的最大值； 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902237】 【解】　(1)g′(x)＝ex，故g′(1)＝e， 所以切線方程為y－e＝e(x－1)，即y＝ex. (2)f(x)＝ex·(x2＋ax＋a)，故f′(x)＝(x

8、＋2)(x＋a)ex，令f′(x)＝0，得x＝－a或x＝－2. ①當(dāng)－2a≥－2，即0＜a≤1時(shí)，f(x)在[－2a，－a]上單調(diào)遞減，在[－a，a]上單調(diào)遞增， 所以f(x)max＝max{f(－2a)，f(a)}． 由于f(－2a)＝(2a2＋a)e－2a，f(a)＝(2a2＋a)ea，故f(a)＞f(－2a)，所以f(x)max＝f(a)． ②當(dāng)－2a＜－2，即1＜a＜2時(shí)，f(x)在[－2a，－2]上單調(diào)遞增，在[－2，－a]上單調(diào)遞減，在[－a，a]上單調(diào)遞增， 所以f(x)max＝max{f(－2)，f(a)}． 由于f(－2)＝(4－a)e－2，f(a)＝(2a2＋a

9、)ea， 故f(a)＞f(－2)， 所以f(x)max＝f(a)． 綜上得，f(x)max＝f(a)＝(2a2＋a)ea. 由函數(shù)的最值求參數(shù)的值(范圍) [探究問(wèn)題] 1. (1)若對(duì)任意的x∈[1,2]，都有a≥x成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？ (2)若對(duì)任意的x∈[1,2]，都有a≤x成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？ 【提示】　(1)a≥2　(2)a≤1. 2．(1)若存在x∈[1,2]，使a≥x成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？ (2)若存在x∈[1,2]，使a≤x成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？ 【提示】　(1)a≥1　(2)a≤2. 3．已知函數(shù)y＝f(x)

10、，x∈[m，n]的最大值為ymax，最小值為ymin， (1)若對(duì)任意的x∈[m，n]，都有a≥f(x)成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？ (2)若對(duì)任意的x∈[m，n]，都有a≤f(x)成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？ 【提示】　(1)a≥ymax　(2)a≤ymin 4．已知函數(shù)y＝f(x)，x∈[m，n]的最大值為ymax，最小值為ymin， (1)若存在x∈[m，n]，使a≥f(x)成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？ (2)若存在x∈[m，n]，使a≤f(x)成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？ 【提示】　(1) a≥ymin　(2)a≤ymax 　已知f(x)＝xln x，g(x)＝

11、－x2＋ax－3，對(duì)一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； [思路探究]　把a(bǔ)分離出來(lái)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題． 【自主解答】　由題意知2xln x≥－x2＋ax－3對(duì)一切x∈(0，＋∞)上恒成立，則a≤2ln x＋x＋，設(shè)h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)，則h′(x)＝. 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增， 所以h(x)min＝h(1)＝4，對(duì)一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4. 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，4] [規(guī)律方法]　

12、 1．“恒成立”問(wèn)題向最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化是一種常見(jiàn)的題型， 一般地，可采用分離參數(shù)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化．λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min. 對(duì)于不能分離參數(shù)的恒成立問(wèn)題，直接求含參函數(shù)的最值即可． 2．此類(lèi)問(wèn)題特別要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等號(hào)”的情況，以此來(lái)確定參數(shù)的范圍能否取得“＝”． [跟蹤訓(xùn)練] 3．已知函數(shù)f(x)＝xcos x－sin x，若存在實(shí)數(shù)x∈[0,2π]，使得f(x)＜t成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是__________． 【解析】　f′(x)＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x

13、－cos x＝－xsin x. ∵x∈[0,2π]，∴當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f′(x)≤0，∴f(x)在[0，π]單調(diào)遞減． 當(dāng)x∈[π，2π]時(shí)，f′(x)≥0，∴f(x)在[π，2π]單調(diào)遞增． ∴f(x)min＝f(π)＝－π，∴t的取值范圍t＞－π. 【答案】　(－π，＋∞) [構(gòu)建·體系] [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基] 1．函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8(－3≤x≤3)的值域是________． 【解析】　令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，而f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，則f(x)max＝24，f(x)min＝－8

14、. 【答案】　[－8,24] 2．設(shè)函數(shù)g(x)＝x(x2－1)，則g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902238】 【解析】　g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)． 當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)與g(x)的變化情況如下表： x 0 1 g′(x) － 0 ＋ g(x) 0 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 0 所以當(dāng)x＝時(shí)， g(x)有最小值g＝－. 【答案】?。? 3．函數(shù)f(x)＝exsin x在區(qū)間上的值域?yàn)開(kāi)_________． 【解析】　f′(x)＝e

15、x(sin x＋cos x)，∵x∈，∴f′(x)＞0，∴f(x)在上是單調(diào)增函數(shù)，∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f＝e. 【答案】　 4．函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a在區(qū)間[0,2]上的最大值是3，則a的值為_(kāi)_______． 【解析】　f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0， 解得x＝－(舍去)或x＝1， 又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，則f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1. 【答案】　1 5．已知函數(shù)f(x)＝lnx－x＋a，x∈(0，e]，若f(x)≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902239】 【解析】　由f(x)＝ln x－x＋a得 f′(x)＝－1＝. 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)遞增；當(dāng)x∈(1，e]時(shí)，f′(x)＜0，f(x)遞減． ∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值f(1)＝－1＋a，據(jù)題意可得－1＋a≤0，所以a≤1， 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1]． 6