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2022年高中數(shù)學(xué) 二次函數(shù)問題 專題教案 蘇教版

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 二次函數(shù)問題 專題教案 蘇教版 一、知識回顧 二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一,它既簡單又具有豐富的內(nèi)涵和外延. 作為最基本的初等函數(shù),可以以它為素材來研究函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì),還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系;這些縱橫聯(lián)系,使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題.  同時,有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系,是學(xué)生進(jìn)入高校繼續(xù)深造的重要知識基礎(chǔ).因此,從這個意義上說,有關(guān)二次函數(shù)的問題在高考中頻繁出現(xiàn),也就不足為奇了. 學(xué)習(xí)二次函數(shù),可以從兩個方面入手:一是解析式,二是圖像特征. 從解析式出發(fā),可

2、以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理,這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng);從圖像特征出發(fā),可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合,這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法. 如:二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式: 頂點(diǎn)式: 零點(diǎn)式:存在零點(diǎn), 則有 二、例題精講 例1.若函數(shù)是偶函數(shù),則函數(shù)的最小值為 . 解:∵二次函數(shù)是偶函數(shù),∴其圖像關(guān)于軸對稱.∴.∴函數(shù)的最小值為. 練習(xí)1. 若二次函數(shù)的圖像的對稱軸是軸,則實(shí)數(shù)的值是 . 解:由已知解得. 例2. 已知函數(shù)在R上滿足,則曲線在點(diǎn)處的切線方程是 . 解:由 得,

3、即,∴ ∴,∴切線方程為,即 練習(xí)2.設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為 . 解:由已知,而,∴ 例3.若函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 解:由已知對一切實(shí)數(shù)恒成立. (1)當(dāng)時,滿足題意;(2)當(dāng)時,只須解得. 由(1)、(2)得. 練習(xí)3.若函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 解:由已知對一切實(shí)數(shù)恒成立. (1)當(dāng)時,滿足題意;(2)當(dāng)時,只須.解得. 由(1)、(2)得. 例4. 已知二次函數(shù)和函數(shù), (1)若為偶

4、函數(shù),試判斷的奇偶性; (2)若方程有兩個不等的實(shí)根,求證:函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù). 解:(1)∵為偶函數(shù), ∴,,即,∴. ∴. ∵的定義域?yàn)? 且 , ∴函數(shù)為奇函數(shù). (2)由,得 , 由△,且, 得,即 ∴ 函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù). 練習(xí)4.已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn),且得解集為. (1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍; (2)求函數(shù)在上的最值. 解:由已知設(shè)二次函數(shù),其中.將點(diǎn)帶入,解得. ∴. (1),要使在區(qū)間上單調(diào)遞增, 只須,解得; (2)由,得. ∵,∴.∴. ∴函數(shù)在上的最大值為0,最小值為. 例5. 設(shè)為實(shí)數(shù),記函數(shù)的最大

5、值為,求. 解: (1) 若,則, ∴. (2) 若,則, ①當(dāng)時,由知在上單調(diào)遞增, ∴; ②當(dāng)時, 若,即,則, 若,即,則, 若,即,則. 綜上所述:=. 思考: 設(shè)為實(shí)數(shù),記函數(shù)的最大值為, 求. 分析: 令,則, ∴ . ∵函數(shù)的定義域?yàn)? ∴. ∴,. 由題意知即為函數(shù),的最大值,化歸為例2求解. 或由函數(shù)的定義域?yàn)椋闪?,,則 ,又令,則, ∴, 練習(xí)5. 設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù). (1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍; (2)求的最小值. 解:(1)若,則 (2)當(dāng)時, 當(dāng)時, 綜上 例6.已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖

6、像與直線平行,且在=-1處取得最小值m-1(m).設(shè)函數(shù) (1)若曲線上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為,求m的值; (2) 如何取值時,函數(shù)存在零點(diǎn),并求出零點(diǎn). 解:(1)設(shè),則; 又的圖像與直線平行,.即. 又在取最小值,∴ ,即. ,;∴ . 設(shè), 則. ∴ ,解得或; (2)由, 得 當(dāng)時,方程有一解,函數(shù)有一零點(diǎn); 當(dāng)時,方程有二解, ①若,, 函數(shù)有兩個零點(diǎn); ②若,, 函數(shù)有兩個零點(diǎn); 當(dāng)時,方程有一解, , 函數(shù)有一零點(diǎn) 練習(xí)6.已知關(guān)于的二次方程. (1)若方程有兩根,其中一根在區(qū)間內(nèi),另一根在區(qū)間內(nèi),求實(shí)數(shù)的取值范圍; (2)若方程兩根均在區(qū)間內(nèi),求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解:設(shè)二次方程所對應(yīng)的函數(shù)為. (1)要使方程的兩根一根在區(qū)間內(nèi),另一根在區(qū)間內(nèi), 由根的分布知識得解得; (2)要使方程兩根均在區(qū)間內(nèi),由根的分布知識得 解得即. 備用.己知, (1) (2),證明:對任意,的充要條件是; 證明:(1)依題意,對任意,都有 (2)充分性: 必要性:對任意 .

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