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1、2022年高中數(shù)學(xué) 二次函數(shù)問題 專題教案 蘇教版
一、知識回顧
二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一,它既簡單又具有豐富的內(nèi)涵和外延. 作為最基本的初等函數(shù),可以以它為素材來研究函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì),還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系;這些縱橫聯(lián)系,使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題.
同時,有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系,是學(xué)生進(jìn)入高校繼續(xù)深造的重要知識基礎(chǔ).因此,從這個意義上說,有關(guān)二次函數(shù)的問題在高考中頻繁出現(xiàn),也就不足為奇了.
學(xué)習(xí)二次函數(shù),可以從兩個方面入手:一是解析式,二是圖像特征. 從解析式出發(fā),可
2、以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理,這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng);從圖像特征出發(fā),可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合,這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法.
如:二次函數(shù)解析式的三種形式
一般式:
頂點(diǎn)式:
零點(diǎn)式:存在零點(diǎn),
則有
二、例題精講
例1.若函數(shù)是偶函數(shù),則函數(shù)的最小值為 .
解:∵二次函數(shù)是偶函數(shù),∴其圖像關(guān)于軸對稱.∴.∴函數(shù)的最小值為.
練習(xí)1. 若二次函數(shù)的圖像的對稱軸是軸,則實(shí)數(shù)的值是 .
解:由已知解得.
例2. 已知函數(shù)在R上滿足,則曲線在點(diǎn)處的切線方程是 .
解:由
得,
3、即,∴
∴,∴切線方程為,即
練習(xí)2.設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為 .
解:由已知,而,∴
例3.若函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是
.
解:由已知對一切實(shí)數(shù)恒成立.
(1)當(dāng)時,滿足題意;(2)當(dāng)時,只須解得.
由(1)、(2)得.
練習(xí)3.若函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是
.
解:由已知對一切實(shí)數(shù)恒成立.
(1)當(dāng)時,滿足題意;(2)當(dāng)時,只須.解得.
由(1)、(2)得.
例4. 已知二次函數(shù)和函數(shù),
(1)若為偶
4、函數(shù),試判斷的奇偶性;
(2)若方程有兩個不等的實(shí)根,求證:函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù).
解:(1)∵為偶函數(shù), ∴,,即,∴.
∴. ∵的定義域?yàn)?
且 , ∴函數(shù)為奇函數(shù).
(2)由,得 ,
由△,且, 得,即
∴ 函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù).
練習(xí)4.已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn),且得解集為.
(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求函數(shù)在上的最值.
解:由已知設(shè)二次函數(shù),其中.將點(diǎn)帶入,解得.
∴.
(1),要使在區(qū)間上單調(diào)遞增,
只須,解得;
(2)由,得.
∵,∴.∴.
∴函數(shù)在上的最大值為0,最小值為.
例5. 設(shè)為實(shí)數(shù),記函數(shù)的最大
5、值為,求.
解: (1) 若,則, ∴.
(2) 若,則,
①當(dāng)時,由知在上單調(diào)遞增,
∴;
②當(dāng)時,
若,即,則,
若,即,則,
若,即,則.
綜上所述:=.
思考: 設(shè)為實(shí)數(shù),記函數(shù)的最大值為,
求.
分析: 令,則, ∴ .
∵函數(shù)的定義域?yàn)? ∴.
∴,.
由題意知即為函數(shù),的最大值,化歸為例2求解.
或由函數(shù)的定義域?yàn)椋闪?,,則
,又令,則,
∴,
練習(xí)5. 設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù).
(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求的最小值.
解:(1)若,則
(2)當(dāng)時,
當(dāng)時,
綜上
例6.已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖
6、像與直線平行,且在=-1處取得最小值m-1(m).設(shè)函數(shù)
(1)若曲線上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為,求m的值;
(2) 如何取值時,函數(shù)存在零點(diǎn),并求出零點(diǎn).
解:(1)設(shè),則;
又的圖像與直線平行,.即.
又在取最小值,∴ ,即.
,;∴ .
設(shè),
則.
∴ ,解得或;
(2)由,
得
當(dāng)時,方程有一解,函數(shù)有一零點(diǎn);
當(dāng)時,方程有二解,
①若,,
函數(shù)有兩個零點(diǎn);
②若,,
函數(shù)有兩個零點(diǎn);
當(dāng)時,方程有一解, ,
函數(shù)有一零點(diǎn)
練習(xí)6.已知關(guān)于的二次方程.
(1)若方程有兩根,其中一根在區(qū)間內(nèi),另一根在區(qū)間內(nèi),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若方程兩根均在區(qū)間內(nèi),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解:設(shè)二次方程所對應(yīng)的函數(shù)為.
(1)要使方程的兩根一根在區(qū)間內(nèi),另一根在區(qū)間內(nèi),
由根的分布知識得解得;
(2)要使方程兩根均在區(qū)間內(nèi),由根的分布知識得
解得即.
備用.己知,
(1)
(2),證明:對任意,的充要條件是;
證明:(1)依題意,對任意,都有
(2)充分性:
必要性:對任意
.