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1、 2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修4-4教學(xué)案：4-4 4-4-3 參數(shù)方程的應(yīng)用 Word版含答案 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P22] 1．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1(a>b>0)的一個(gè)參數(shù)方程是(φ為參數(shù))． 2．圓心為(a，b)、半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 3．過定點(diǎn)M(x0，y0)傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 4．利用曲線的參數(shù)方程可解決變量的范圍或最值問題；利用參數(shù)思想可解決求曲線、軌跡方程的問題． [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P23] 利用參數(shù)方程研究最值或范圍問題 [例1]　已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P是橢圓＋y2

2、＝1上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值． [思路點(diǎn)撥]　化直線參數(shù)方程為普通方程，設(shè)出橢圓的參數(shù)方程后建立距離d的函數(shù)關(guān)系，利用三角知識(shí)求最值． [精解詳析]　直線l的普通方程為x＋2y＝0. 因?yàn)镻為橢圓＋y2＝1上任一點(diǎn)， 所以可設(shè)P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R. 因此點(diǎn)P到直線l的距離是 d＝＝， 所以當(dāng)θ＝kπ＋，k∈Z時(shí)，dmax＝. 由于橢圓或圓上點(diǎn)的坐標(biāo)都能描述為參數(shù)θ的三角函數(shù)，故涉及橢圓、圓有關(guān)的最值問題，可以利用參數(shù)方程設(shè)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問題，利用三角函數(shù)的有界性求解． 1．(新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知

3、曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值． 解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為d＝|4cos θ＋3sin θ－6|. 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|， 其中α為銳角，且tan α＝. 當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為. 當(dāng)sin(θ＋α)＝1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為. 2．已知直線l

4、：(t為參數(shù)，α為傾斜角，且α≠)與曲線＋＝1交于A，B兩點(diǎn)． (1)寫出直線l的普通方程及直線l通過的定點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)求PA·PB的最大值． 解：(1)∵(t為參數(shù)，α為傾斜角且α≠)， ∴＝＝tan α， ∴直線l的普通方程為xtan α－y－2tan α＝0. 直線l通過的定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)． (2)把代入橢圓的方程＋＝1， 得3(2＋tcos α)2＋4(tsin α)2－48＝0， 即(3＋sin2α)t2＋12cos α·t－36＝0. 設(shè)A(2＋t1cos α，t1sin α)，B(2＋t2 cos α，t2sin α)， 則PA＝|t1|，PB

5、＝|t2| ∴PA·PB＝|t1t2|＝. ∵0≤α<π，且α≠， ∴0≤sin2α<1，∴PA·PB的最大值為12. 參數(shù)法求軌跡方程 [例2]　如圖，已知圓的方程為x2＋y2＝，橢圓的方程為＋＝1，過原點(diǎn)的射線交圓于A點(diǎn)，交橢圓于B點(diǎn)，過A、B分別作x軸和y軸的平行線，求所作兩直線交點(diǎn)P的軌跡方程． [思路點(diǎn)撥]　根據(jù)A在圓上，B在橢圓上，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，得到P的坐標(biāo)(用參數(shù)表示)，消去參數(shù)得P的軌跡方程． [精解詳析]　設(shè)A，B(5cos θ，4sin θ)，P(x，y)． 則 由O、A、B三點(diǎn)共線，知kOA＝kOB， 從而得tan α＝tan θ.③

6、 由①得tan2θ＝.④ 由②得tan2α＝.⑤ 將③兩邊平方得tan2α＝tan2θ.⑥ 把④⑤代入⑥化簡整理得所求軌跡方程為：8x2＋9x2y2＋400y2＝200. 在求曲線的軌跡方程時(shí)，常根據(jù)需要引入一個(gè)中間變量即參數(shù)，將x，y表示成關(guān)于該參數(shù)的函數(shù)，這種方法是參數(shù)法．特別是當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的軌跡由圓錐曲線上的點(diǎn)來決定時(shí)，則可以利用橢圓、圓的參數(shù)方程表示出這一點(diǎn)的坐標(biāo)，從而建立動(dòng)點(diǎn)與該點(diǎn)的聯(lián)系，求得動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)方程，最后消去參數(shù)即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． 3．求由方程x2＋y2－4tx－2ty＋5t2－4＝0(t為參數(shù))所表示的一組圓的圓心軌跡． 解：將方程變形為(x－2t)2＋

7、(y－t)2＝4， ∴這組圓的圓心坐標(biāo)為(2t，t)． 令?x－2y＝0. 故軌跡為直線x－2y＝0. 4．(新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t＝α與t＝2α(0<α<2π)，M為PQ的中點(diǎn)． (1)求M的軌跡的參數(shù)方程． (2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)． 解：(1)依題意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． 故M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，0<α<2π)． (2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d＝＝(0

8、<α<2π)． 當(dāng)α＝π時(shí)，d＝0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn). 參數(shù)方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用 　　 [例3]　在一次軍事演習(xí)中，一轟炸機(jī)以150 m/s的速度作水平直線飛行，在離地面飛行高度為490 m時(shí)向目標(biāo)投彈(不計(jì)空氣阻力，重力加速度g＝9.8 m/s2，炸彈的初速度等于飛機(jī)的速度)， 求炸彈離開飛機(jī)后飛行軌跡的參數(shù)方程． [思路點(diǎn)撥]　炸彈離開飛機(jī)后作平拋運(yùn)動(dòng)，可以選擇時(shí)間作為參變數(shù)，將炸彈的水平方向和豎直方向的運(yùn)動(dòng)表示出來． [精解詳析]　如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A為投彈點(diǎn)，B為轟炸目標(biāo)，由于已知炸彈運(yùn)動(dòng)的水平速度和垂直速度，所以可以以時(shí)間t為參數(shù)，建立參數(shù)方程．設(shè)曲

9、線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，其對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為t， 則有 又由y≥0，得t≤10， 所以參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，0≤t≤10)． 1．某些實(shí)際問題中，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x，y之間的關(guān)系不易直接得到，但可發(fā)現(xiàn)x，y的變化受另一變量(如時(shí)間、速度、角度等)的制約，這時(shí)可選擇這一變量為參數(shù)，求軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)即可得普通方程． 2．對(duì)于實(shí)際問題中的有關(guān)計(jì)算，我們可以利用坐標(biāo)法，建立曲線的參數(shù)(普通)方程，利用曲線的參數(shù)(普通)方程和幾何性質(zhì)進(jìn)行推理、運(yùn)算．解答中常采用“建模、運(yùn)算、回答”三步走． 5.某隧道橫斷面由拋物線拱頂與矩形三邊組成，尺寸如圖．某卡車在空車時(shí)能過此隧

10、道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3米，車與箱共高4.5米，此車能否通過此隧道，說明理由． 解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 由于點(diǎn)(3，－3)在拋物線上，代入?yún)?shù)方程可解得 t＝－1，p＝－， 所以拋物線參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 又箱寬3米，故當(dāng)x＝1.5時(shí)，y＝－0.75， 即B(1.5，－0.75)， 那么B點(diǎn)到底的距離為5－0.75＝4.25米，而車與箱的高為4.5米，故不能通過． 6．已知彈道曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求炮彈從發(fā)射到落地所需的時(shí)間； (2)求炮彈在運(yùn)動(dòng)中達(dá)到的最大高度． 解：(1)令y＝0，即2tsin－gt2＝0，

11、∴t1＝0， t2＝≈0.204，即從發(fā)射到落地需0.204. (2)y＝2tsin －gt2＝－x2＋x，是開口向下的拋物線，∴ymax＝≈0.051， 即最大高度為0.051. [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P25] 1．已知點(diǎn)P(x，y)在橢圓＋＝1上，試求z＝2x－y的最大值． 解：設(shè)點(diǎn)P(4cos θ，2sin θ)， 則z＝2x－y＝8cos θ－6sin θ＝10sin(θ＋α)≤10，所以zmax＝10. 2．直線與拋物線y2＝4x交于兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q.已知A(2,4)，求： (1)AP＋AQ的值； (2)PQ的長． 解：已知直線的斜率為－1，故直線的傾斜角為135

12、°，故 (t′為參數(shù))，代入y2＝4x， 得t′2＋12t′＋16＝0. 故有t1′＋t2′＝－12，t1′t2′＝16. (1)AP＋AQ＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t′2|＝12. (2)PQ＝|t1′－t2′|＝＝4. 3．已知A，B分別是橢圓＋＝1的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動(dòng)，求△ABC的重心的軌跡方程． 解：由于動(dòng)點(diǎn)C在橢圓上運(yùn)動(dòng)， 可設(shè)C的坐標(biāo)為(6cos θ，3sin θ)， 由于點(diǎn)C不與A，B重合， 故θ∈∪. 設(shè)△ABC的重心G的坐標(biāo)為(x，y)． 依題意，知A(6,0)，B(0,3)，由三角形的重心坐標(biāo)公式，得 即(θ為參數(shù))

13、． 其中θ∈∪，這就是重心G的參數(shù)方程，消去參數(shù)θ，得＋(y－1)2＝1，點(diǎn)(4,1)及(2,2)除外， 所以△ABC的重心的軌跡方程為 ＋(y－1)2＝1，點(diǎn)(4,1)及(2,2)除外． 4．當(dāng)x2＋y2＝4時(shí)，求u＝x2＋2xy－y2的最值． 解：設(shè)(0≤θ≤2π)，于是 u＝x2＋2xy－y2 ＝4cos2θ＋8cos θsin θ－4sin2θ ＝4cos 2θ＋4sin 2θ ＝8sin. 所以，當(dāng)θ＝，x＝，y＝1時(shí)，或θ＝，x＝－，y＝－1時(shí)，umax＝8； 當(dāng)θ＝，x＝－1，y＝時(shí)，或θ＝，x＝1，y＝－時(shí)，umin＝－8. 5．經(jīng)過點(diǎn)M(，0)作直線l

14、，交曲線C：(α為參數(shù))于A，B兩點(diǎn)，若MA，AB，MB成等比數(shù)列，求直線l的方程． 解：根據(jù)題意，設(shè)直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))． 曲線C：化成普通方程得x2＋y2＝4， 將代入x2＋y2＝4得 (＋tcos θ)2＋t2sin2θ＝4， 化簡整理得t2＋2tcos θ＋6＝0， 設(shè)A(＋t1cos θ，t1sin θ)，B(＋t2cos θ，t2sin θ)， 則t1＋t2＝－2cos θ，t1t2＝6. 由題意得AB2＝MA·MB， 而AB2＝(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝40cos2θ－24， MA·MB＝|t1t2|＝6， ∴40cos2

15、θ－24＝6，解得cos θ＝±， ∴sin θ＝±，k＝tan θ＝±， 所求直線l的方程為y＝x－或y＝－x＋，即x－y－＝0或x＋y－＝0. 6.已知橢圓＋y2＝1和點(diǎn)P，過點(diǎn)P作橢圓的弦AB，使點(diǎn)P是此弦的一個(gè)三等分點(diǎn)，求弦所在直線的方程． 解：設(shè)直線AB的方程為(t為參數(shù))， 代入方程＋y2＝1，化簡得(1＋sin2α)t2＋tcos α－＝0.(*) 由t的幾何意義知，方程(*)的兩根t1，t2滿足 因?yàn)镻是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以t1＝－2t2.③ 由①和③，解得t2＝， 由②和③，得t1t2＝－2t. 所以－＝， 所以7(1＋sin2α)＝8cos2

16、α， 即7(sin2α＋cos2α＋sin2α)＝8cos2α. 因?yàn)閏os α≠0，所以tan2α＝，所以k＝tan α＝±. 所以弦AB的方程為y＝±. 7．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上且長軸長為4，短軸長為2，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l被橢圓截得的弦長為？ 解：由題知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋x2＝1.由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，得 令t′＝t，則得直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(t′為參數(shù)，其絕對(duì)值的幾何意義是直線上的點(diǎn)到點(diǎn)(0，m)的距離)，將其代入橢圓方程并整理，得8t′2＋4mt′＋5m2－20＝0. 設(shè)方程的兩根分別為t′1，t′2，則根據(jù)

17、根與系數(shù)的關(guān)系，有t′1＋t′2＝－，t′1·t′2＝. ∴弦長為|t′1－t′2|＝ ＝， ∴m2＝，解得m＝±. 8．已知曲線C1：(t為參數(shù))，C2：(θ為參數(shù))． (1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線； (2)若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)t＝，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到C3：(t為參數(shù))距離的最小值． 解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1. C1為圓心是(－4,3)，半徑是1的圓． C2為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓． (2)當(dāng)t＝時(shí)，P(－4,4)，設(shè)Q(8cos θ，3sin θ)， 故M. C3的參數(shù)方程化為普通方程是x－2y－7＝0，C3是一條直線，則M到C3的距離 d＝|4cos θ－3sin θ－13| ＝|5cos(θ＋φ)－13|. 從而當(dāng)cos(θ＋φ)＝1時(shí)，d取最小值.