7、＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又∵f′(x)＝xcos x，
∴即
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
反思與感悟 (1)中確定函數(shù)f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常數(shù)．
(2)中利用待定系數(shù)法可確定a，b，c，d的值．
完成(1)(2)問的前提是熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則．
跟蹤訓(xùn)練2 函數(shù)f(x)＝＋2f′(1)x，則f′(0)＝________.
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
8、題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
答案 1
解析 對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝＋2f′(1)＝＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝1，∴f′(0)＝1.
例3 已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲線g(x)在x＝0處的切線方程．
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
解 (1)因?yàn)閒(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin
9、x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7.
又g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0處的切線方程為y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
反思與感悟 (1)此類問題往往涉及切點(diǎn)、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、切線方程三個(gè)主要元素．其他的條件可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而轉(zhuǎn)化為這三個(gè)要素間的關(guān)系．
(2)準(zhǔn)確利用求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)是解決此類問題的第一步，也是解題的關(guān)鍵，務(wù)必做到準(zhǔn)確．
(3)分清已知點(diǎn)是否在曲線上，若不在曲線上，則要設(shè)出切點(diǎn)，這是解題時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)．
跟蹤訓(xùn)練3 (1)設(shè)曲線y＝在點(diǎn)
10、處的切線與直線x＋ay＋1＝0垂直，則a＝________.
(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2，曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率為________．
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
答案 (1)1 (2)4
解析 (1)∵y′＝＝，
當(dāng)x＝時(shí)，y′＝＝1.
又直線x＋ay＋1＝0的斜率是－，
∴－＝－1，即a＝1.
(2)∵曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知g′(1)＝2.
又∵f(x)＝g(x)＋x2，
∴f′(x)＝
11、g′(x)＋2x，即f′(1)＝g′(1)＋2＝4，
∴y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率為4.
1．設(shè)函數(shù)y＝－2exsin x，則y′等于( )
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
答案 D
解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
2．曲線y＝－在點(diǎn)M處的切線的斜率為( )
A．－ B.
C．－ D.
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
答案 B
12、
解析 y′＝＝，故＝，
∴曲線在點(diǎn)M處的切線的斜率為.
3．若函數(shù)f(x)＝?f′(－1)x2－2x＋3，則f′(－1)的值為( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
答案 A
解析 因?yàn)閒(x)＝?f′(－1)x2－2x＋3，
所以f′(x)＝f′(－1)x－2.
所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，
所以f′(－1)＝－1.
4．已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，則x0＝________.
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
答案
解析 因?yàn)閒′(x)＝
＝(
13、x≠0)．
所以由f′(x0)＋f(x0)＝0，得＋＝0.
解得x0＝.
5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線y＝ax2＋(a，b為常數(shù))過點(diǎn)P(2，－5)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x＋2y＋3＝0平行，則a＋b的值是______．
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
答案?。?
解析 y＝ax2＋的導(dǎo)數(shù)為y′＝2ax－，
直線7x＋2y＋3＝0的斜率為－.
由題意得解得
則a＋b＝－3.
1．導(dǎo)數(shù)的求法
對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用．首先，在化簡(jiǎn)時(shí)，
14、要注意化簡(jiǎn)的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤；其次，利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一定要將函數(shù)化為基本初等函數(shù)中的某一個(gè)，再套用公式求導(dǎo)數(shù)．
2．和與差的運(yùn)算法則可以推廣
[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn)．
3．積、商的求導(dǎo)法則
(1)若c為常數(shù)，則[cf(x)]′＝cf′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，
′＝(g(x)≠0)；
(3)當(dāng)f(x)＝1時(shí)，有′＝－(g(x)≠0)．
一、選擇題
1．下列運(yùn)算中正確的是( )
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(
15、x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.′＝
D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
答案 A
解析 A項(xiàng)中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′正確；
B項(xiàng)中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′錯(cuò)誤；
C項(xiàng)中，′＝錯(cuò)誤；
D項(xiàng)中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′錯(cuò)誤．
2．若函數(shù)y＝(a>0)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為0，那么x0等于( )
A．a(chǎn) B．±
16、a
C．－a D．a(chǎn)2
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
答案 B
解析 y′＝′＝＝，
由x－a2＝0，得x0＝±a.
3．若函數(shù)f(x)＝exsin x，則此函數(shù)圖象在點(diǎn)(4，f(4))處的切線的傾斜角為( )
A. B．0 C．鈍角 D．銳角
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
答案 C
解析 ∵f′(x)＝exsin x＋excos x，
∴f′(4)＝e4(sin 4＋cos 4)．
∵π<4<π，∴sin 4<0，cos 4<0，∴f′(4)<0.
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，切線的傾斜角為鈍角．
4．若f(x)＝x2－
17、2x－4ln x，則f′(x)>0的解集為( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
答案 C
解析 ∵f(x)＝x2－2x－4ln x，
∴f′(x)＝2x－2－>0，
整理得>0，
解得－12.
又x>0，∴x>2.
5．函數(shù)f(x)＝xcos x－sin x的導(dǎo)函數(shù)是( )
A．奇函數(shù)
B．偶函數(shù)
C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
D．既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
答案 B
解析 f′(x)
18、＝(xcos x)′－(sin x)′
＝cos x－xsin x－cos x
＝－xsin x.
令F(x)＝－xsin x，x∈R，
則F(－x)＝xsin(－x)＝－xsin x＝F(x)，
∴f′(x)是偶函數(shù)．
6．設(shè)曲線y＝在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a等于( )
A．2 B. C．－ D．－2
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
答案 D
解析 ∵y＝＝1＋，
∴y′＝－，∴＝－.
∴－a×＝－1，即a＝－2.
7．在下面的四個(gè)圖象中，其中一個(gè)圖象是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)
19、的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則f(－1)等于( )
A. B．－
C. D．－或
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
答案 B
解析 ∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，
∴導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象開口向上，
故其圖象必為③.
由圖象特征知f′(0)＝0，且對(duì)稱軸－a>0，
∴a＝－1，則f(－1)＝－－1＋1＝－，故選B.
二、填空題
8．設(shè)f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，則h′(5)＝________.
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
答案
解析 由題意知f(5)
20、＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，
∵h(yuǎn)′(x)＝，
∴h′(5)＝
＝＝.
9．已知某運(yùn)動(dòng)著的物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝＋2t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，則t＝1 s時(shí)物體的瞬時(shí)速度為________ m/s.
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
答案 5
解析 因?yàn)閟(t)＝＋2t2＝－＋2t2
＝－＋2t2，
所以s′(t)＝－＋2·＋4t，
所以s′(1)＝－1＋2＋4＝5，
即物體在t＝1 s時(shí)的瞬時(shí)速度為5 m/s.
10．已知函數(shù)f(x)＝f′cos x＋sin x，則f?的值為________．
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)
21、算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
答案 1
解析 ∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，
∴f?＝1.
11．已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為______________．
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
答案 x－y－1＝0
解析 ∵點(diǎn)(0，－1)不在曲線f(x)＝xln x上，
∴設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)．
又∵f′(x)＝1＋ln x，∴
解得x0＝1，y0＝0.
∴切點(diǎn)坐標(biāo)
22、為(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.
12．已知曲線y＝x＋ln x在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝________.
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
答案 8
解析 由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，
得曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率為k＝＝2，
所以切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
此切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
消去y，得ax2＋ax＋2＝0，
所以a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
三、解答題
13．偶函數(shù)f
23、(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的圖象過點(diǎn)P(0,1)，且在x＝1處的切線方程為y＝x－2，求f(x)的解析式．
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
解 ∵f(x)的圖象過點(diǎn)P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函數(shù)f(x)在x＝1處的切線方程為y＝x－2，
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)．
∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.
∴a＝，c＝－.
∴函數(shù)f
24、(x)的解析式為f(x)＝x4－x2＋1.
四、探究與拓展
14．在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，則f′(0)等于( )
A．26 B．29
C．215 D．212
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
答案 D
解析 ∵f′(x)＝x′(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a1)′(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)′
＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a7)，
25、
∴f′(0)＝a1·a2·…·a8＝(a1a8)4＝84＝212.
15．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值．
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
解 (1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①②得解得
故f(x)＝x－.
(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y′＝1＋知，曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，從而得切線與直線x＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
令y＝x，得y＝x＝2x0，從而切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)．
所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|2x0|＝6.
故曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.
15
（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.2 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 第2課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則學(xué)案 新人教A版選修2-2
