《（浙江專用）2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1 2.1.3 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系 2.1.4 平面與平面之間的位置關(guān)系學(xué)案 新人教A版必修2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1 2.1.3 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系 2.1.4 平面與平面之間的位置關(guān)系學(xué)案 新人教A版必修2（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.1.3　空間中直線與平面之間的位置關(guān)系 2.1.4　平面與平面之間的位置關(guān)系 目標(biāo)定位　1.掌握直線與平面之間的三種位置關(guān)系，會(huì)用圖形語言和符號(hào)語言表示.2.掌握平面與平面之間的兩種位置關(guān)系，會(huì)用圖形語言和符號(hào)語言表示. 自 主 預(yù) 習(xí) 1.直線與平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 定義 圖形語言 符號(hào)語言 直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) a?α 直線與平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) a∩α＝A 直線與平面平行 沒有公共點(diǎn) a∥α 2.兩個(gè)平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 圖形表示 符號(hào)表示 公共點(diǎn) 平面α與平面β平行 α∥β 沒有公

2、共點(diǎn) 平面α與平 面β相交 α∩β＝l 有一條公共直線 即 時(shí) 自 測(cè) 1.判斷題 (1)若直線a在平面α外，則直線a∥α.(×) (2)若平面α內(nèi)存在直線與平面β無交點(diǎn)，則α∥β.(×) (3)若平面α內(nèi)的任意直線與平面β均無交點(diǎn)，則α∥β.(√) (4)與兩相交平面的交線平行的直線必平行于這兩個(gè)相交平面.(×) 提示　(1)直線a在平面α外，則直線a∥α或a與α相交. (2)α與β可能平行，也可能相交. (4)若α∩β＝b，且a∥b，則有a∥α且a∥β，或a?α，或a?β. 2.若直線l與平面α不平行，則(　　) A.l與α相交 B.l?

3、α C.l與α相交或l?α D.以上結(jié)論都不對(duì) 解析　若l與α不平行，則l與α相交或l?α. 答案　C 3.若兩個(gè)平面互相平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系是(　　) A.線面平行 B.線面相交 C.線在面內(nèi) D.無法確定 解析　兩面平行時(shí)，兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，在一個(gè)平面的直線與另一個(gè)平面也沒有公共點(diǎn)，所以它們平行. 答案　A 4.兩條直線不相交，則兩條直線可能平行或者異面；如果兩個(gè)平面不相交，則兩個(gè)平面________. 解析　兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種：平行或相交. 答案　平行 類型一　直線與平面的位置關(guān)系(互動(dòng)探究)

4、 【例1】 以下命題(其中a，b表示直線，α表示平面)，①若a∥b，b?α，則a∥α；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a∥b，b∥α，則a∥α；④若a∥α，b?α，則a∥b.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 [思路探究] 探究點(diǎn)一　空間中直線與平面的位置關(guān)系有哪幾種？ 提示　空間中直線與平面只有三種位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)，直線與平面相交，直線與平面平行. 探究點(diǎn)二　判斷直線與平面的位置關(guān)系的策略是什么？ 提示　判斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí)可借助幾何模型判斷，通過特例排除錯(cuò)誤命題.對(duì)于正確命題，根據(jù)線、面位置關(guān)系的定義或反證法進(jìn)行判斷.要注意

5、多種可能情形. 解析　如圖所示在長方體ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB?平面ABCD，但CD?平面ABCD，故①錯(cuò)誤；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′與B′C′相交，故②錯(cuò)誤；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③錯(cuò)誤；A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′與BC異面，故④錯(cuò)誤. 答案　A 規(guī)律方法　1.本題在求解時(shí)，常受思維定勢(shì)影響，誤以為直線在平面外就是直線與平面平行. 2.判斷直線與平面位置關(guān)系的問題，其解決方式除了定義法外，還可以借助模型(如長方體)和舉反例兩種行之有效的方法. 【訓(xùn)練1】

6、 下列命題： ①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α ②若直線a在平面α外，則a∥α ③若直線a∥b，直線b?α，則a∥α ④若直線a∥b，直線b?α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線 其中假命題的序號(hào)是________. 解析　對(duì)于①，∵直線l雖與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，但l有可能在平面α內(nèi)，∴l(xiāng)不一定平行于α，∴①是假命題；對(duì)于②，∵直線a在平面α外包括兩種情況：a∥α和a與α相交，∴a和α不一定平行，∴②是假命題；對(duì)于③， ∵直線a∥b，b?α，則只能說明a和b無公共點(diǎn)，但a可能在平面α內(nèi)，∴a不一定平行于α，∴③是假命題；對(duì)于④，∵a∥b，b?α，那么a?α

7、或a∥α，所以a可以與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線平行，∴④是真命題. 答案?、佗冖? 類型二　平面與平面的位置關(guān)系 【例2】 給出的下列四個(gè)命題中，其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) ①平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個(gè)平面平行；②平面α內(nèi)有無數(shù)條直線和平面β平行，則α與β平行；③平面α內(nèi)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到平面β的距離相等，則α與β平行；④若兩個(gè)平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是相交或重合. A.0 B.1 C.3 D.4 解析　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，對(duì)于①，在平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分別取AA1、DD1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，

8、連接EF，則知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D與平面A1B1C1D1是相交的，交線為A1D1，故命題①錯(cuò)； 對(duì)于②，在正方體ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D中，與A1D1平行的直線有無數(shù)條，但平面AA1D1D與平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直線A1D1，故②是錯(cuò)誤的； 對(duì)于③，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，分別取AA1，DD1，BB1，CC1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距離相等，而△A1BC與平面EFHG相交，故③是錯(cuò)誤的； 對(duì)于④，兩平面位置關(guān)系中不存在重合，若重合則為一個(gè)平面，故命題④錯(cuò). 答案　A 規(guī)律方法　(1

9、)判斷兩平面的位置關(guān)系或兩平面內(nèi)的線線，線面關(guān)系，我們常根據(jù)定義，借助實(shí)物模型“百寶箱”長方體(或正方體)進(jìn)行判斷. (2)反證法也用于相關(guān)問題的證明. 【訓(xùn)練2】 如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是(　　) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不能確定 解析　如圖所示，由圖可知C正確. 答案　C [課堂小結(jié)] 1.空間中直線與平面的位置關(guān)系有兩種分類方式 (1) (2) 2.判斷直線與平面及平面與平面位置關(guān)系常用定義和反證法. 1.如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的(　　) A.一條直線不

10、相交 B.兩條直線不相交 C.無數(shù)條直線不相交 D.任意一條直線不相交 解析　直線a∥平面α，則a與α無公共點(diǎn)，與α內(nèi)的直線當(dāng)然均無公共點(diǎn). 答案　D 2.若M∈平面α，M∈平面β，則α與β的位置關(guān)系是(　　) A.平行 B.相交 C.異面 D.不確定 解析　∵M(jìn)∈平面α，M∈平面β，∴α與β相交于過點(diǎn)M的一條直線. 答案　B 3.下列命題： ①兩個(gè)平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合； ②若l，m是異面直線，l∥α，m∥β，則α∥β. 其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為________. 解析　對(duì)于①，兩個(gè)平面相交，則有一條交線，也有無數(shù)多個(gè)公共點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于

11、②，借助于正方體ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB與B1C1異面，而平面DCC1D1與平面AA1D1D相交，故②錯(cuò)誤. 答案?、佗? 4.如圖所示，平面ABC與三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之間有什么位置關(guān)系？ 解　∵平面ABC與平面A1B1C1無公共點(diǎn)，∴平面ABC與平面A1B1C1平行. ∵平面ABC與平面ABB1A1有公共直線AB， ∴平面ABC與平面ABB1A1相交. 同理可得平面ABC與平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交. 基 礎(chǔ) 過 關(guān) 1.若a，b是異面直線，且a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是(　

12、　) A.b∥α B.相交 C.b?α D.b?α、相交或平行 解析　如圖所示，選D. 答案　D 2.如果平面α外有兩點(diǎn)A、B，它們到平面α的距離都是a，則直線AB和平面α的位置關(guān)系一定是(　　) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.AB?α 解析　結(jié)合圖形可知選項(xiàng)C正確. 答案　C 3.α、β是兩個(gè)不重合的平面，下面說法正確的是(　　) A.平面α內(nèi)有兩條直線a、b都與平面β平行，那么α∥β B.平面α內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面β，那么α∥β C.若直線a與平面α和平面β都平行，那么α∥β D.平面α內(nèi)所有的直線都與平面β平行，那

13、么α∥β 解析　A、B都不能保證α、β無公共點(diǎn)，如圖①；C中當(dāng)a∥α，a∥β時(shí)，α與β可能相交，如圖②；只有D說明α、β一定無公共點(diǎn)，故選D. 答案　D 4.若a與b異面，則過a與b平行的平面有________個(gè). 解析　當(dāng)a與b異面時(shí)，如圖，過a上任意一點(diǎn)M作b′∥b，則a與b′確定了唯一的平面α，且b∥α，故過a與b平行的平面有1個(gè). 答案　1 5.空間三個(gè)平面如果每兩個(gè)都相交，那么它們的交線有________條. 解析　以打開的書頁或長方體為模型，觀察可得結(jié)論. 答案　1或3 6.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn)

14、，則下列直線與平面的位置關(guān)系是什么？ (1)AM所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系； (2)CN所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系； (3)AM所在的直線與平面CDD1C1的位置關(guān)系； (4)CN所在的直線與平面CDD1C1的位置關(guān)系. 解　(1)AM所在的直線與平面ABCD相交. (2)CN所在的直線與平面ABCD相交. (3)AM所在的直線與平面CDD1C1平行. (4)CN所在的直線與平面CDD1C1相交. 7.已知一條直線與一個(gè)平面平行，求證：經(jīng)過這個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)與這條直線平行的直線必在這個(gè)平面內(nèi). 解　已知：a∥α，A∈α，A∈b，b∥a.求證：b?α. 證

15、明　如圖，∵a∥α，A∈α，∴A?a， ∴由A和a可確定一個(gè)平面β，則A∈β， ∴α與β相交于過點(diǎn)A的直線，設(shè)α∩β＝c， 由a∥α知，a與α無公共點(diǎn)，而c?α，∴a與c無公共點(diǎn). ∵a?β，c?β，∴a∥c.又已知a∥b，且A∈b，A∈c， ∴b與c重合.∴b?α. 能 力 提 升 8.以下四個(gè)命題： ①三個(gè)平面最多可以把空間分成八部分； ②若直線a?平面α，直線b?平面β，則“a與b相交”與“α與β相交”等價(jià)； ③若α∩β＝l，直線a?平面α，直線b?平面β，且a∩b＝P，則P∈l； ④若n條直線中任意兩條共面，則它們共面. 其中正確的是(　　) A.①②

16、 B.②③ C.③④ D.①③ 解析　對(duì)于①，正確；對(duì)于②，逆推“α與β相交”推不出“a與b相交”，也可能a∥b；對(duì)于③，正確；對(duì)于④，反例：正方體的側(cè)棱任意兩條都共面，但這4條側(cè)棱卻不共面，故④錯(cuò).所以正確的是①③. 答案　D 9.在長方體ABCD－A1B1C1D1的六個(gè)表面與六個(gè)對(duì)角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，與棱AA1平行的平面共有(　　) A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 解析　如圖所示，結(jié)合圖形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面B

17、B1D1D. 答案　B 10.如果空間的三個(gè)平面兩兩相交，則下列判斷正確的是________(填序號(hào)). ①不可能只有兩條交線 ②必相交于一點(diǎn) ③必相交于一條直線 ④必相交于三條平行線 解析　空間的三個(gè)平面兩兩相交，可能只有一條交線，也可能有三條交線，這三條交線可能交于一點(diǎn). 答案　① 11.如圖，已知平面α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈α，點(diǎn)C∈β，且A?l，B?l，直線AB與l不平行，那么平面ABC與平面β的交線與l有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論. 解　平面ABC與β的交線與l相交.證明如下： ∵AB與l不平行，且AB?α，l?α， ∴AB與l一定相交.設(shè)AB∩l＝P，則P∈AB，P∈l. 又∵AB?平面ABC，l?β，∴P∈平面ABC，P∈β. ∴點(diǎn)P是平面ABC與β的一個(gè)公共點(diǎn)，而點(diǎn)C也是平面ABC與β的一個(gè)公共點(diǎn)， 且P，C是不同的兩點(diǎn)， ∴直線PC就是平面ABC與β的交線， 即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P， ∴平面ABC與β的交線與l相交. 探 究 創(chuàng) 新 12.試畫圖說明三個(gè)平面可把空間分成幾個(gè)部分？ 解　三個(gè)平面可把空間分成4(如圖①)、6(如圖②③)、7(如圖④)或8(如圖⑤)個(gè)部分. 8