《（全國通用）2019屆高考數學大一輪復習 第八章 立體幾何與空間向量 高考專題突破四 高考中的立體幾何問題學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國通用）2019屆高考數學大一輪復習 第八章 立體幾何與空間向量 高考專題突破四 高考中的立體幾何問題學案（17頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、高考專題突破四高考中的立體幾何問題【考點自測】1在正三棱柱ABCA1B1C1中，D為BC的中點，E為A1C1的中點，則DE與平面A1B1BA的位置關系為()A相交 B平行C垂直相交 D不確定答案B解析如圖取B1C1的中點為F，連接EF，DF，則EFA1B1，DFB1B，且EFDFF，A1B1B1BB1，平面EFD平面A1B1BA，DE平面A1B1BA.2設x，y，z是空間中不同的直線或平面，對下列四種情形：x，y，z均為直線；x，y是直線，z是平面；z是直線，x，y是平面；x，y，z均為平面其中使“xz且yzxy”為真命題的是()A B C D答案C解析由正方體模型可知為假命題；由線面垂直的性

2、質定理可知為真命題3(2018屆黑龍江海林市朝鮮中學模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A94() B102()C112() D112()答案C解析根據三視圖還原幾何體為一個直四棱柱，兩底面為四邊形(側視圖)，其余各側面為矩形，兩底面面積為25，四個側面面積為221222622，幾何體的表面積為112()，故選C.4(2017天津濱海新區(qū)模擬)如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結論：BDAC；BAC是等邊三角形；三棱錐DABC是正三棱錐；平面ADC平面ABC.其中正確的是()A BC D答

3、案B解析由題意知，BD平面ADC，故BDAC，正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等邊三角形，正確；易知DADBDC，又由知正確；由知錯故選B.5(2017沈陽調研)設，是三個平面，a，b是兩條不同的直線，有下列三個條件：a，b；a，b；b，a.如果命題“a，b，且_，則ab”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是_(把所有正確的序號填上)答案或解析由線面平行的性質定理可知，正確；當b，a時，a和b在同一平面內，且沒有公共點，所以平行，正確故應填入的條件為或.題型一求空間幾何體的表面積與體積例1(2016全國)如圖，菱形ABCD的對角線AC與

4、BD交于點O，點E，F分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點H，將DEF沿EF折到DEF的位置(1)證明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱錐D-ABCFE的體積(1)證明由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得，故ACEF，由此得EFHD，折后EF與HD保持垂直關系，即EFHD，所以ACHD.(2)解由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4，所以OH1，DHDH3，于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，BD，HD平面BHD，所以AC平面BHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，AC，OH平面ABC，所

5、以OD平面ABC.又由得EF.五邊形ABCFE的面積S683.所以五棱錐D-ABCFE的體積V2.思維升華 (1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進行求解其中，等積轉換法多用來求三棱錐的體積(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形轉化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解跟蹤訓練1(2018烏魯木齊質檢)正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內有一個球與它的四個面都相切(如圖)求：(1)這個正三棱錐的表面積；(2)這個正三棱錐內切球的表面積與體積解(1)底面正三角

6、形中心到一邊的距離為2，則正棱錐側面的斜高為，S側329，S表S側S底9(2)296.(2)設正三棱錐PABC的內切球球心為O，連接OP，OA，OB，OC，而O點到三棱錐的四個面的距離都為球的半徑r.V三棱錐PABCV三棱錐OPABV三棱錐OPBCV三棱錐OPACV三棱錐OABCS側rSABCrS表r(32)r.又VPABC(2)212，(32)r2，得r2.S內切球4(2)2(4016).V內切球(2)3(922).題型二空間點、線、面的位置關系例2(2017廣州五校聯考)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，PAPD，BAD60，E是AD的中點，點Q在側棱PC上(1)求證：AD平

7、面PBE；(2)若Q是PC的中點，求證：PA平面BDQ；(3)若VPBCDE2VQABCD，試求的值(1)證明由E是AD的中點，PAPD可得ADPE.因為底面ABCD是菱形，BAD60，所以ABBD，所以ADBE，又PEBEE，PE，BE平面PBE，所以AD平面PBE.(2)證明連接AC，交BD于點O，連接OQ.因為O是AC的中點，Q是PC的中點，所以OQPA，又PA平面BDQ，OQ平面BDQ，所以PA平面BDQ.(3)解設四棱錐PBCDE，QABCD的高分別為h1，h2.所以V四棱錐PBCDES四邊形BCDEh1，V四棱錐QABCDS四邊形ABCDh2.又VPBCDE2VQABCD，且S四邊

8、形BCDES四邊形ABCD，所以.思維升華 (1)平行問題的轉化利用線線平行、線面平行、面面平行的相互轉化解決平行關系的判定問題時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而應用性質定理時，其順序正好相反在實際的解題過程中，判定定理和性質定理一般要相互結合，靈活運用(2)垂直問題的轉化在空間垂直關系中，線面垂直是核心，已知線面垂直，既可為證明線線垂直提供依據，又可為利用判定定理證明面面垂直作好鋪墊應用面面垂直的性質定理時，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內一點作交線的垂線，從而把面面垂直問題轉化為線面垂直問題，進而可轉化為線線垂直問題跟蹤訓

9、練2 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，E是BC的中點，求證：(1)平面AB1E平面B1BCC1；(2)A1C平面AB1E.證明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC.因為AE平面ABC，所以CC1AE.因為ABAC，E為BC的中點，所以AEBC.因為BC平面B1BCC1，CC1平面B1BCC1，且BCCC1C，所以AE平面B1BCC1.因為AE平面AB1E，所以平面AB1E平面B1BCC1.(2)連接A1B，設A1BAB1F，連接EF.在直三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形AA1B1B為平行四邊形，所以F為A1B的中點又因為E是BC的中點，所以EFA1C.因為E

10、F平面AB1E，A1C平面AB1E，所以A1C平面AB1E.題型三平面圖形的翻折問題例3 (2016全國)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB5，AC6，點E，F分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF的位置，OD.(1)證明：DH平面ABCD；(2)求二面角B-DA-C的正弦值(1)證明由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.因此EFHD，從而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得.所以OH1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD.(2)解如圖，以

11、H為坐標原點，HF，HD，HD所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)，D(0,0,3)，(3，4,0)，(6,0,0)，(3,1,3)設m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，則即所以可取m(4,3，5)設n(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，則即所以可取n(0，3,1)于是cosm，n，sinm，n.因此二面角B-DA-C的正弦值是.思維升華 平面圖形的翻折問題，關鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關系和度量關系的變化情況一般地，翻折后還在同一個平面上的性質不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質發(fā)生變化跟

12、蹤訓練3如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如圖(2)折疊，折痕EFDC.其中點E，F分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后，點P疊在線段AD上的點記為M，并且MFCF.(1)證明：CF平面MDF；(2)求三棱錐MCDE的體積(1)證明因為PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因為ABCD是矩形，CDAD，PDCDD，PD，CD平面PCD，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，MD，MF平面MDF，所以CF平面MDF.(2)解因為PDDC，PC2，CD1，PCD60，所以PD，由(1)知FDCF

13、，在RtDCF中，CFCD.如圖，過點F作FGCD交CD于點G，得FGFCsin 60，所以DEFG，故MEPE，所以MD.SCDEDEDC1.故V三棱錐MCDEMDSCDE.題型四立體幾何中的存在性問題例4 (2017安徽江南名校聯考)如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，DC6，AD8，BC10，PAD45，E為PA的中點(1)求證：DE平面BPC；(2)線段AB上是否存在一點F，滿足CFDB？若存在，請求出二面角FPCD的余弦值；若不存在，請說明理由(1)證明取PB的中點M，連接EM和CM，過點C作CNAB，垂足為點N.在平面ABCD內，CNAB，DAAB，C

14、NDA，又ABCD，四邊形CDAN為平行四邊形，CNAD8，DCAN6，在RtBNC中，BN6，AB12，而E，M分別為PA，PB的中點，EMAB且EM6，又DCAB，EMCD且EMCD，四邊形CDEM為平行四邊形，DECM.CM平面PBC，DE平面PBC，DE平面BPC.(2)解由題意可得DA，DC，DP兩兩互相垂直，如圖，以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系Dxyz，則A(8,0,0)，B(8,12,0)，C(0,6,0)，P(0,0,8)假設AB上存在一點F使CFBD，設點F的坐標為(8，t,0)(0t12)，則(8，t6,0)，(8,12,0)，由0

15、，得t.又平面DPC的一個法向量為m(1,0,0)，設平面FPC的法向量為n(x，y，z)又(0,6，8)，.由得即不妨令y12，則n(8,12,9)則cosn，m.又由圖可知，該二面角為銳二面角，故二面角FPCD的余弦值為.思維升華 對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾的結論則否定假設跟蹤訓練4(2018成都模擬)如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E為棱AA1的中點(1)證明：B1C1CE；(2)求二面

16、角B1CEC1的正弦值；(3)設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長(1)證明如圖，以點A為原點，分別以AD，AA1，AB所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，由題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是0，所以B1C1CE.(2)解(1，2，1)設平面B1CE的法向量m(x，y，z)，則即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個法向量為m(3，2,1)由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，CC1CEC，CC1，CE平面CE

17、C1，可得B1C1平面CEC1，故(1,0，1)為平面CEC1的一個法向量于是cosm，從而sinm，所以二面角B1CEC1的正弦值為.(3)解(0,1,0)，(1,1,1)，設(，)(01)，則(，1，)可取(0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量設為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則sin |cos，|，于是，解得(負值舍去)，所以AM.1(2017北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為()A3 B2C2 D2答案B解析在正方體中還原該四棱錐，如圖所示，可知SD為該四棱錐的最長棱由三視圖可知正方體的棱長為2，故SD2.故選B.2(2018沈陽質檢)如圖所示，已知

18、平面平面l，.A，B是直線l上的兩點，C，D是平面內的兩點，且ADl，CBl，DA4，AB6，CB8.P是平面上的一動點，且有APDBPC，則四棱錐PABCD體積的最大值是()A48 B16 C24 D144答案A解析由題意知，PAD，PBC是直角三角形，又APDBPC，所以PADPBC.因為DA4，CB8，所以PB2PA.作PMAB于點M，由題意知，PM平面.令BMt，則AM|6t|，PA2(6t)24PA2t2，所以PA24t12.所以PM，即為四棱錐PABCD的高，又底面ABCD為直角梯形，S(48)636.所以V361212448.3(2017云南省11校調研)設已知m，n是兩條不同的

19、直線，為兩個不同的平面，有下列四個命題：若，m，n，則mn；若m，n，mn，則；若m，n，mn，則；若m，n，則mn.其中所有正確命題的序號是_答案解析對于，當兩個平面互相垂直時，分別位于這兩個平面內的兩條直線未必垂直，因此不正確；對于，依據結論“由空間一點向一個二面角的兩個半平面(或半平面所在平面)引垂線，這兩條垂線所成的角與這個二面角的平面角相等或互補”可知正確；對于，分別與兩條平行直線平行的兩個平面未必平行，因此不正確；對于，由n得，在平面內必存在直線n1平行于直線n，由m，得m，mn1，又n1n，因此有mn，正確綜上所述，所有正確命題的序號是.4.如圖梯形ABCD中，ADBC，ABC9

20、0，ADBCAB234，E，F分別是AB，CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，給出四個結論：DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC；平面DCF平面BFC.在翻折過程中，可能成立的結論是_(填寫結論序號)答案解析因為BCAD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，則錯誤；設點D在平面BCF上的射影為點P，當BPCF時就有BDFC，而ADBCAB234，可使條件滿足，所以正確；當點P落在BF上時，DP平面BDF，從而平面BDF平面BCF，所以正確；因為點D的投影不可能在FC上，所以平面DCF平面BFC不成立，即錯誤5.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為

21、BC的中點，點P在線段D1E上，則點P到直線CC1的距離的最小值為_答案解析點P到直線CC1的距離等于點P在平面ABCD上的射影到點C的距離，設點P在平面ABCD上的射影為P，顯然點P到直線CC1的距離的最小值為PC的長度的最小值連接DE，當PCDE時，PC的長度最小，此時PC.6(2018煙臺模擬)如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ACB1D，BB1底面ABCD，E，F，H分別為AD，CD，DD1的中點，EF與BD交于點G.(1)證明：平面ACD1平面BB1D；(2)證明：GH平面ACD1.證明(1)BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1.又ACB1D，BB1B1DB1，B

22、B1，B1D平面BB1D，AC平面BB1D.AC平面ACD1，平面ACD1平面BB1D.(2)設ACBDO，連接OD1.E，F分別為AD，CD的中點，EFODG，G為OD的中點H為DD1的中點，HGOD1.GH平面ACD1，OD1平面ACD1，GH平面ACD1.7(2017青島質檢)在平面四邊形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.將ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如圖所示(1)求證：ABCD；(2)若M為AD的中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值(1)證明平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，A

23、BCD.(2)解過點B在平面BCD內作BEBD，如圖由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD.ABBE，ABBD.以B為坐標原點，分別以BE，BD，BA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系由題意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M，則(1,1,0)，(0,1，1)設平面MBC的法向量為n(x0，y0，z0)，則即取z01，得平面MBC的一個法向量n(1，1,1)設直線AD與平面MBC所成的角為，則sin |cosn，|，即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為.8(2017鄭州模擬)等邊三角形ABC的邊長為3，點D，E分別是邊A

24、B，AC上的點，且滿足，如圖1.將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1DEB為直二面角，連接A1B，A1C，如圖2.(1)求證：A1D平面BCED；(2)在線段BC上是否存在點P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60？若存在，求出PB的長；若不存在，請說明理由(1)證明因為等邊三角形ABC的邊長為3，且，所以AD1，AE2.在ADE中，DAE60，由余弦定理得DE.從而AD2DE2AE2，所以ADDE.折起后有A1DDE，因為二面角A1DEB是直二面角，所以平面A1DE平面BCED，又平面A1DE平面BCEDDE，A1DDE，所以A1D平面BCED.(2)解存在理由：由(1)可知

25、EDDB，A1D平面BCED.以D為坐標原點，分別以DB，DE，DA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.設PB2a(02a3)，作PHBD于點H，連接A1H，A1P，則BHa，PHa，DH2a.所以A1(0,0,1)，P(2a，a,0)，E(0，0)所以(a2，a,1)因為ED平面A1BD，所以平面A1BD的一個法向量為(0，0)要使直線PA1與平面A1BD所成的角為60，則sin 60，解得a.此時2a，滿足02a3，符合題意所以在線段BC上存在點P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60，此時PB.9(2018合肥模擬)如圖，在梯形ABCD中，ABCD，A

26、DDCCB1，BCD，四邊形BFED為矩形，平面BFED平面ABCD，BF1.(1)求證：AD平面BFED；(2)點P在線段EF上運動，設平面PAB與平面ADE所成銳二面角為，試求的最小值(1)證明在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD，AB2，BD2AB2AD22ABADcos 3.AB2AD2BD2，ADBD.平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCDBD，DE平面BFED，DEDB，DE平面ABCD，DEAD，又DEBDD，AD平面BFED.(2)解由(1)可建立以點D為坐標原點，分別以直線DA，DB，DE為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標系，如圖所示令EP(0)，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，0)，P(0，1)，(1，0)，(0，1)設n1(x，y，z)為平面PAB的一個法向量，由得取y1，得n1(，1，)，n2(0,1,0)是平面ADE的一個法向量，cos .0，當時，cos 有最大值，又為銳角，的最小值為.17