《2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 第三講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 第三講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案 理（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 第三講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案 理考點(diǎn)一軌跡方程問題求軌跡方程的常用方法(1)直接法：直接利用條件建立x、y之間的關(guān)系F(x，y)0；(2)定義法：滿足的條件恰適合某已知曲線的定義，用待定系數(shù)法求方程；(3)相關(guān)點(diǎn)法(代入法)：動點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得出要求的軌跡方程；(4)參數(shù)法：將動點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)表示為第三個變量的函數(shù)，再消參得所求方程對點(diǎn)訓(xùn)練1已知點(diǎn)M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動圓C

2、與直線MN切于點(diǎn)B，過M，N與圓C相切的兩直線(非x軸)相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為()Ax21(x1) Bx21(x0) Dx21(x1)解析由題意知，|PM|PN|BM|BN|2，由雙曲線的定義可知點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，由c3，a1，知b28.所以點(diǎn)P的軌跡方程為x21(x1)故選A.答案A2(2018豫北四校聯(lián)考)已知ABC的頂點(diǎn)B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長|CD|3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_解析設(shè)A(x，y)，由題意可知D.又|CD|3，229，即(x10)2y236，由于A、B、C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)A不能落在x軸上，即y0，點(diǎn)A的軌跡方程為(x10)2

3、y236(y0)答案(x10)2y236(y0)3已知P是圓x2y24上的動點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的射影是D，點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程是_解析設(shè)M(x，y)，則D(x,0)，由知P(x,2y)，點(diǎn)P在圓x2y24上，x24y24，故動點(diǎn)M的軌跡C的方程為y21.答案y214已知雙曲線y21的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x1，y1)是雙曲線上不同于A1、A2的兩個不同的動點(diǎn)，則直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡方程為_解析由題設(shè)知|x1|，A1(，0)，A2(，0)，則有直線A1P的方程為y(x)，直線A2Q的方程為y(x)，聯(lián)立，解得x0，且|x|0)過焦點(diǎn)F的弦AB，若A(x1

4、，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2p. 解(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，因為A(，0)，B(，0)，所以直線PA的斜率為(x)，直線PB的斜率為(x)，又直線PA的斜率為k1，直線PB的斜率為，所以k1(x)，整理得y21(x)，所以點(diǎn)P的軌跡C的方程為y21(x)(2)設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，在y軸上的截距為1的直線l的方程為ykx1，聯(lián)立方程得消去y，得(12k2)x24kx0，解得x10，x2，所以|MN|x1x2|，整理得k4k2200，即(k24)(k25)0，解得k2.所以直線l的方程為2xy10或2xy10.(1)在涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利

5、用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求計算弦長；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解(2)弦長計算公式：直線AB與圓錐曲線有兩個交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長|AB|，其中k為弦AB所在直線的斜率對點(diǎn)訓(xùn)練已知雙曲線y21的右焦點(diǎn)是拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)，直線ykxm與拋物線相交于A，B兩個不同的點(diǎn)，點(diǎn)M(2,2)是線段AB的中點(diǎn)，求AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積解由已知可得雙曲線的右焦點(diǎn)為(2,0)因為該點(diǎn)也為拋物線的焦點(diǎn)，所以p4.所以拋物線方程為y28x.又因為直線ykxm與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)所以將直線方程代入拋物線方程可得(kxm)28x，即k2x2(2km8)

6、xm20，x1x2，x1x2.又因為M(2,2)是線段AB的中點(diǎn)，所以x1x24，且22km，聯(lián)立解得k2，m2.所以|AB|x1x2|2，O到AB的距離d.SAOB22.考點(diǎn)三直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1解決直線與橢圓的位置關(guān)系的常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程(組)，解決相關(guān)問題2涉及弦的中點(diǎn)坐標(biāo)時，可以采用“點(diǎn)差法”求解，設(shè)出弦端點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，分別代入圓錐曲線方程并作差，變形后可出現(xiàn)弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和直線AB的斜率證明(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1.兩式相減，并由k得k0.由題設(shè)知1，m，于是k.由題設(shè)得0m，故k.(

7、2)由題意得F(1,0)設(shè)P(x3，y3)，則(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及題設(shè)得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又點(diǎn)P在C上，所以m，從而P，|.于是|2.同理，|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差數(shù)列設(shè)該數(shù)列的公差為d，則2|d|x1x2|.將m代入得k1.所以l的方程為yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.故x1x22，x1x2，代入解得|d|.所以該數(shù)列的公差為或.求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的方法在涉及直線與二次曲線的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)時，一般不是求出這兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，而是設(shè)出這兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線方程和曲線方程

8、聯(lián)立后所得方程的根的情況，使用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代入，這種設(shè)而不求的思想是解析幾何中處理直線和二次曲線相交問題的最基本方法對點(diǎn)訓(xùn)練(2018長春第一次質(zhì)量監(jiān)測)已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且經(jīng)過點(diǎn)E.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方)，若，且2b0)，則解得所以橢圓C的方程為1.(2)根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為yk(x1)(k0)，聯(lián)立方程，得消去x，得y2y90，1440.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，又，所以y1y2.把代入得y1，y2，并結(jié)合可得y1y2，則，即2.因為23

9、，所以2，即0，解得00)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程解(1)由題意得F(1,0)，l的方程為yk(x1)(k0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設(shè)知8，解得k1(舍去)，或k1，因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)21

10、44.圓錐曲線的綜合問題多以解答題的形式考查，常作為壓軸題出現(xiàn)在第20題的位置，一般難度較大直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡方程、定點(diǎn)、定值、最值、范圍以及存在性問題都是考查的重點(diǎn)，常與向量、函數(shù)、不等式等知識結(jié)合解題時，常以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為突破口，利用設(shè)而不求、整體代換的技巧求解，要注重數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的指導(dǎo)作用熱點(diǎn)課題16圓錐曲線中的切線問題感悟體驗1(2018廣東茂名第一次綜合測試)從拋物線x24y的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)P引拋物線的兩條切線PA，PB，且A，B為切點(diǎn)，若直線AB的傾斜角為，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_解析解法一：設(shè)A(x1，y1)

11、，B(x2，y2)，P(x0，1)，則kAB.因為y1，y2，所以kAB，所以x1x2.由x24y，得y，所以y，所以切線PA的方程為yy1(xx1)，切線PB的方程為yy2(xx2)，即切線PA的方程為y(xx1)，即x2x1x4y0，切線PB的方程為y(xx2)，即x2x2x4y0.因為點(diǎn)P(x0，1)同時在切線PA，PB上，所以x2x1x040，x2x2x040，所以x1，x2是方程x22x0x40的兩根，所以x1x22x0，所以x0.解法二：設(shè)P(x0，1)，則直線AB的方程為x0x4，即yx1.又直線AB的傾斜角為，所以，所以x0.答案2已知一個橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1(5,0)和F

12、2(5,0)，且與直線xy60相切，則該橢圓的長軸長為_解析解法一：設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，橢圓方程為1(ab0)，則切線為1，即yx，對比xy60，可得解得代入切線方程xy60，可得a2b2360，由c5，得2a.即該橢圓的長軸長為.解法二：設(shè)橢圓方程為1(ab0)，橢圓與直線xy60相切于P點(diǎn)，則|PF1|PF2|2a.在直線xy60上任取異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q，均有|QF1|QF2|2a，可知點(diǎn)P是直線xy60上到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和最小的點(diǎn)若F1(5,0)關(guān)于直線xy60對稱的點(diǎn)為F1，則F1，P，F(xiàn)2三點(diǎn)在同一直線上，易得F1(6,11)，所以2a|PF1|PF2|PF1|PF2|F

13、1F2|.即該橢圓的長軸長為.答案專題跟蹤訓(xùn)練(二十六)一、選擇題1在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(1,0)，(1,0)，則滿足tanPABtanPBAm(m為非零常數(shù))的點(diǎn)P的軌跡方程是()Ax21(y0) Bx21Cx21(y0) Dx21解析設(shè)P(x，y)，由題意，得m(m0)，化簡可得x21(y0)答案C2(2018重慶模擬)設(shè)A，P是橢圓y21上兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B(異于點(diǎn)P)，若直線AP，BP分別交x軸于點(diǎn)M，N，則()A0 B1 C. D2解析依題意，將點(diǎn)P特殊化為點(diǎn)(，0)，于是點(diǎn)M，N均與點(diǎn)(，0)重合，于是有2，故選D.答案D3已知橢圓E：1(ab0)的右

14、焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1，兩式作差并化簡變形得，而，x1x22，y1y22，所以a22b2，又a2b2c29，于是a218，b29.故選D.答案D4(2018唐山市高三五校聯(lián)考)直線l與雙曲線C：1(a0，b0)交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，若l與OM(O是原點(diǎn))的斜率的乘積等于1，則此雙曲線的離心率為()A2 B. C3 D.解析設(shè)直線l與雙曲線C：1(a0，b0)的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1x2，則1(a0，b0)，

15、1(a0，b0)，得，即，因為l與OM的斜率的乘積等于1，所以1，雙曲線的離心率e ，故選B.答案B5(2018鄭州市第三次質(zhì)量預(yù)測)橢圓1的左焦點(diǎn)為F，直線xa與橢圓相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)FMN的周長最大時，F(xiàn)MN的面積是()A. B. C. D.解析設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E，由橢圓的定義知FMN的周長為L|MN|MF|NF|MN|(2|ME|)(2|NE|)因為|ME|NE|MN|，所以|MN|ME|NE|0，當(dāng)直線MN過點(diǎn)E時取等號，所以L4|MN|ME|NE|4，即直線xa過橢圓的右焦點(diǎn)E時，F(xiàn)MN的周長最大，此時SFMN|MN|EF|2，故選C.答案C6(2018福建省高三質(zhì)檢)過拋物線y24

16、x的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，且A，C位于x軸同側(cè)，若|AC|2|AF|，則|BF|等于()A2 B3 C4 D5解析設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)D，則由題意，知F(1,0)，D(1,0)，分別作AA1，BB1垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足分別為A1，B1，則有，所以|AA1|，故|AF|.又，即，亦即，解得|BF|4，故選C.答案C二、填空題7橢圓C：1的左、右頂點(diǎn)分別為M，N，點(diǎn)P在C上，且直線PN的斜率是，則直線PM的斜率為_解析設(shè)P(x0，y0)，則1，直線PM的斜率kPM，直線PN的斜率kPN，可得kPMkPN，故kPM3.答案38(2018鄭州一模)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)

17、2是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與C的左、右兩個分支分別交于點(diǎn)B，A.若ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為_解析ABF2為等邊三角形，|AB|AF2|BF2|，F(xiàn)1AF260.由雙曲線的定義可得|AF1|AF2|2a，|BF1|2a.又|BF2|BF1|2a，|BF2|4a.|AF2|4a，|AF1|6a.在AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF2|AF1|cos60，(2c)2(4a)2(6a)224a6a，整理得c27a2，e.答案9(2018湖南六校聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P(1,0)作直線l與拋物線C交于

18、A、B兩點(diǎn)若SABF，且|AF|BF|，則_.解析設(shè)直線l的方程為xmy1，將直線方程代入拋物線C：y24x的方程得y24my40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則00，則k0或kb0)的左焦點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個頂點(diǎn)構(gòu)成一個等邊三角形，直線1與橢圓E有且僅有一個交點(diǎn)M.(1)求橢圓E的方程(2)設(shè)直線1與y軸交于P點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與橢圓E交于兩個不同點(diǎn)A，B，若|PM|2|PA|PB|，求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)由題意，得a2c，bc，則橢圓E的方程為1，聯(lián)立得x22x43c20.直線1與橢圓E有且僅有一個交點(diǎn)M，44(43c2)0，得c21，橢圓E的方程為1.(2)由(1)得M點(diǎn)

19、坐標(biāo)為.直線1與y軸交于點(diǎn)P(0,2)，|PM|2.當(dāng)直線l與x軸垂直時，|PA|PB|(2)(2)1，由|PM|2|PA|PB|，得.當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得(34k2)x216kx40，依題意得，x1x2，且48(4k21)0，|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)1，.k2，0)，圓O：x2y21.(1)若拋物線C的焦點(diǎn)F在圓O上，且A為拋物線C和圓O的一個交點(diǎn)，求|AF|；(2)若直線l與拋物線C和圓O分別相切于點(diǎn)M，N，求|MN|的最小值及相應(yīng)p的值解(1)由題意得F(0,1)，從而拋物線C：x24y.解方程組得yA2，|AF|1.(2)設(shè)M(x0，y0)，由y，得切線l：y(xx0)y0，結(jié)合x2py0，整理得x0xpypy00.由|ON|1得1，即|py0|，p且y10.|MN|2|OM|21xy12py0y1y14(y1)8，當(dāng)且僅當(dāng)y0時等號成立|MN|的最小值為2，此時p.