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1、2022屆高考數(shù)學二輪復習 專題二 數(shù)列 課后綜合提升練 1.2.2 數(shù)列求和及綜合應用 文
(40分鐘 70分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.在數(shù)列{an}中,an+1=2an-1,a3=2,設其前n項和為Sn,則S6= ( )
A. B. C.15 D.27
【解析】選A.因為an+1=2an-1,所以an+1-1=2(an-1),所以{an-1}是以2為公比的等比數(shù)列,所以an-1=(a1-1)2n-1,因為a3=2,所以a1=,所以an=1+2n-3,所以S6=6+=.
2.(2018·廣東省化州市二模)已知有窮數(shù)列{an}中,n=1,2,3,…
2、,729,且an=(2n-1)(-1)n+1,從數(shù)列{an}中依次取出a2,a5,a14,…構成新數(shù)列{bn},容易發(fā)現(xiàn)數(shù)列{bn}是以-3為首項,-3為公比的等比數(shù)列,記數(shù)列{an}的所有項的和為S,數(shù)列{bn}的所有項的和為T,則 ( )
A.S>T B.S=T
C.S
3、29)
=1+=729,
因為a728=-1 455,a729=1 457,又因為數(shù)列{bn}是以-3為首項,-3為公比的等比數(shù)列,所以b6=(-3)6=729,所以數(shù)列{bn}共有6項,所以所有項的和為T==546,所以S>T.
3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1為函數(shù)f(x)=sin x+cos x(x∈R)的最大值,且滿足an-anSn+1=-anSn,則數(shù)列{an}的前2 018項之積A2 018= ( )
A.1 B. C.-1 D.2
【解析】選A.因為a1為函數(shù)f(x)=sin x+cos x(x∈R)的最大值,所以a1=2,因為an-anSn+1=-anS
4、n,所以(Sn+1-Sn)an=an-1,所以an+1=,所以a2=,a3=-1,a4=2所以數(shù)列{an}是周期數(shù)列,周期為3,所以{an}的前2018項之積A2018=a1·a2·a3·…·a2 018
=(-1)672×1=1.
4.(2018· 河南省六市聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足: an+1+(-1)n+1an=2,則其前100項的和為 ( )
A.250 B.200 C.150 D.100
【解析】選D.因為an+1+(-1)n+1an=2,所以a1+a2=2,a3+a4=2,a5+a6=2,…,a99+a100=2,所以其前100項和為2×50=100.
5.已知數(shù)列
5、{an}滿足a1=1, an+1-an=4n-2(n∈N*),則使an≥163的正整數(shù)n的最小值為 ( )
A.8 B.10 C.12 D.14
【解析】選B.由題意得an+1-an=4n-2,
則當n≥2時,a2-a1=2,a3-a2=6,…,an-an-1=4n-6,
這n-1個式子相加,就有an-a1==2(n-1)2,
即an=2(n-1)2+1=2n2-4n+3,
當n=1時,a1=1也滿足上式,所以an=2n2-4n+3,
由an≥163得2n2-4n+3≥163,即n2-2n-80≥0,
解得n≥10或n≤-8,所以n≥10,
即使an≥163的正
6、整數(shù)n的最小值為10.
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(n∈N*),記數(shù)列{an}的前n項和Sn,則在S1,S2,…,S2 017中,有____________個有理數(shù).?
【解析】依題意,an==
=
=-,故Sn=a1+a2+…+an=1-,因為44<<45,故n+1=22,32,…,442,故有43個有理數(shù).
答案:43
7.(2018·湖北省聯(lián)考試題)“斐波那契數(shù)列”由十三世紀意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契發(fā)現(xiàn),因為斐波那契以兔子繁殖為例子而引入,故又稱該數(shù)列為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=1,an=a
7、n-1+an-2(n≥3,n∈N*),記其前n項和為Sn,設a2 018=t(t為常數(shù)),則S2 016+S2 015-S2 014-S2 013=____________(用t表示).?
【解析】S2 016+S2 015-S2 014-S2 013=a2 016+a2 015+a2 015+a2 014=a2 017+a2 016=a2 018=t.
答案:t
8.有下列命題:
①等比數(shù)列{an}中,前n項和為Sn,公比為q,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍然是等比數(shù)列,其公比為qn;
②若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,前n項和為Sn,則數(shù)列是等差數(shù)列;
③若數(shù)列{an}是正
8、項數(shù)列,且++…+=n2+3n(n∈N*),則++…+=2n2+6n;
④若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sn=20n-19,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
其中正確命題的序號是____________(填序號).?
【解析】①錯,q=-1,n=2,S4-S2=0,不符合等比數(shù)列. ②因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,前n項和為Sn,所以Sn=na1+d,所以=a1+(n-1),所以數(shù)列是以a1為首項,以為公差的等差數(shù)列.③++…+=n2+3n中n用n-1代替得++…+=(n-1)2+3(n-1),兩式作差得=2n+2(n≥2),an=4(n+1)2,a1=16,符合.=4(n+1),所以++…+
9、=2n2+6n.④當n=1時, a1=S1=201-19=20-18,
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=20n-19-20n-20=19×20n-20,所以an=,所以數(shù)列{an}不是等比數(shù)列
答案:②③
三、解答題(每小題10分,共30分)
9.(2018·亳州市一模)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足2Sn=3an-λ,其中λ是不為零的常數(shù),n∈N*.
(1)求{an}的通項公式.
(2)若λ=3,記bn=,求數(shù)列{bn·}的前n項和Tn.
【解析】(1)由已知2Sn=3an-λ可得:2Sn+1=3an+1-λ
兩式相減得:2an+1=3an+1-3an,即an+1=3a
10、n
因為2S1=3a1-λ,所以a1=λ≠0,
所以an≠0,所以=3,
所以{an}是首項為λ,公比為3的等比數(shù)列,從而an=
λ·3n-1.
(2)因為λ=3,所以an=3n,從而bn=,
所以bn·bn+2==2,
所以
Tn=
2
=2
=3--.
10.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且對任意正整數(shù)n,點(an+1,Sn)都在直線2x+y-2=0上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)若bn=n,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求證:Tn<.
【解析】(1)因為點(an+1,Sn)在直線2x+y-2=0上,所以2an+1+Sn-2=0,
11、當n>1時,2an+Sn-1-2=0,兩式相減得2an+1-2an+Sn-Sn-1=0,即2an+1-2an+an=0,
an+1=an,又當n=1時,2a2+S1-2=2a2+a1-2=0,a2==a1,
所以{an}是首項a1=1,公比q=的等比數(shù)列,數(shù)列{an}的通項公式為an=.
(2)由(1)知,bn=n=,
則Tn=1+++…+,
Tn=++…++,
兩式相減得
Tn=1+++…+-=-=-,
所以Tn=-<.
11.設等差數(shù)列{an}的公差為d,點(an,bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上(n∈N*).
(1)若a1=-2,點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖
12、象上,求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
(2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2-,求數(shù)列的前n項和Tn.
【解析】(1)點(an,bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上,所以bn=,又等差數(shù)列{an}的公差為d,
所以===2d,
因為點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,所以4b7==b8,所以2d==4?d=2.又a1=-2,所以
Sn=na1+d=-2n+n2-n=n2-3n.
(2)由f(x)=2x?f′(x)=2xln 2,
函數(shù)f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線方程為y-b2=(ln 2)(x-a2),
所以切線在x軸
13、上的截距為a2-,從而a2-=2-,故a2=2,
從而an=n,bn=2n,=,
Tn=+++…+,
Tn=+++…+,
所以
Tn=++++…+-
=1--=1-,
故Tn=2-.
(20分鐘 20分)
1.(10分)設數(shù)列{an}滿足a1=0且-=1.
(1)求{an}的通項公式.
(2)設bn=,記Sn=bk,證明:Sn<1.
【解析】(1)由題設-=1,
即是公差為1的等差數(shù)列.
又=1,故=n.所以an=1-.
(2)由(1)得bn===-,Sn=bk==1-<1.
2.(10分)已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn,且Sn+an=1(n∈N*).
(1
14、)求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)設bn=log4(1-Sn+1)(n∈N*),Tn=++…+,求使Tn≥成立的最小的正整數(shù)n的值.
【解析】(1)當n=1時,a1=S1,由S1+a1=1?a1=,
當n≥2時,Sn+an=1, ①
Sn-1+an-1=1, ②
①-②,得an+an-an-1=0,即an=an-1,
所以{an}是以為首項,為公比的等比數(shù)列.
故an==3(n∈N*).
(2)由(1)知1-Sn+1=an+1=,
bn=log4(1-Sn+1)=log4=-(n+1),
==-,
Tn=++…+
=++…+
=-,
-≥?n≥2 014,
故使Tn≥成立的最小的正整數(shù)n的值為2 014.
2022屆高考數(shù)學二輪復習 專題二 數(shù)列 課后綜合提升練 1.2.2 數(shù)列求和及綜合應用 文
