《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.2 空間向量的數(shù)乘運算學案 新人教A版選修2-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.2 空間向量的數(shù)乘運算學案 新人教A版選修2-1（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、3.1.2空間向量的數(shù)乘運算學習目標1.了解空間向量數(shù)乘運算的定義及數(shù)乘運算的運算律.2.了解平行(共線)向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法.3.理解共線向量的充要條件和共面向量的充要條件及其推論，并能應用其證明空間向量的共線、共面問題知識點一空間向量的數(shù)乘運算定義與平面向量一樣，實數(shù)與空間向量a的乘積a仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘幾何定義0a與向量a的方向相同0a與向量a的方向相反a的長度是a的長度的|倍0a0，其方向是任意的運算律分配律(ab)ab結合律(a)()a知識點二共線向量與共面向量思考1回顧平面向量中關于向量共線的知識，給出空間中共線向量的定義答案如果表示空間向量的有向線

2、段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量思考2空間中任何兩個向量都是共面向量，這個結論是否正確？答案正確根據(jù)向量相等的定義，可以把向量進行平移，空間任意兩個向量都可以平移到同一平面內，成為共面向量梳理平行(共線)向量與共面向量共線(平行)向量共面向量定義表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一個平面的向量叫做共面向量充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實數(shù)，使ab若兩個向量a，b不共線，則向量p與a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使pxayb推論如果l為經(jīng)過已知點A且平行于已

3、知非零向量a的直線，那么對于空間任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使ta，其中a叫做直線l的方向向量，如圖所示若在l上取a，則式可化為t如圖，空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數(shù)對(x，y)，使xy，或對空間任意一點O來說，有xy(1)若pxayb，則p與a，b共面()(2)若p與a，b共面，則pxayb.()(3)若xy，則P，M，A，B共面()(4)若P，M，A，B共面，則xy.()類型一共線問題例1(1)已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，則一定共線的三點是()AA，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，D(2)設e1，e2是空間兩個不共線的向量，

4、已知e1ke2，5e14e2，e12e2，且A，B，D三點共線，實數(shù)k_.考點線線、線面平行的判斷題點線線平行的判斷答案(1)A(2)1解析(1)3a6b3(a2b)3，故，又與有公共點A，所以A，B，D三點共線(2)7e1(k6)e2，且與共線，故x，即7e1(k6)e2xe1xke2，故(7x)e1(k6xk)e20，又e1，e2不共線，解得故k的值為1.反思與感悟(1)判斷向量共線的策略熟記共線向量的充要條件：()若ab，b0，則存在唯一實數(shù)使ab；()若存在唯一實數(shù)，使ab，b0，則ab.判斷向量共線的關鍵：找到實數(shù).(2)證明空間三點共線的三種思路對于空間三點P，A，B可通過證明下列

5、結論來證明三點共線存在實數(shù)，使成立對空間任一點O，有t(tR)對空間任一點O，有xy(xy1)跟蹤訓練1如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，請判斷向量與是否共線？考點線線、線面平行的判斷題點線線平行的判斷解設AC的中點為G，連接EG，F(xiàn)G，又，共面，()，與共線類型二空間向量的數(shù)乘運算及應用例2如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算解(1)()acb.(2)abc.(3)()()abc.引申探究若

6、把本例中“P是C1D1的中點”改為“P在線段C1D1上，且”，其他條件不變，如何表示？解acb.反思與感悟利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧(1)數(shù)形結合：利用數(shù)乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質跟蹤訓練2如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F(xiàn)在對角線A1C上，且.求證：E，F(xiàn)，B三點共線考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共線向量定理及應用證明設a，b，c.因為2，所以，所以b，()()abc，所以abc.又bcaabc，所以，又因為與有公共點E，所以E，F(xiàn)，B

7、三點共線類型三空間向量共面問題例3(1)已知A，B，M三點不共線，對于平面ABM外的任意一點O，確定在下列條件下，點P是否與A，B，M一定共面3；4.(2)已知A，B，C三點不共線，點M滿足.，三個向量是否共面？點M是否在平面ABC內？考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共面向量定理及應用解(1)3，()()，為共面向量，P與A，B，M共面2()()2，根據(jù)空間向量共面的推論，點P位于平面ABM內的充要條件是xy，P與A，B，M不共面(2)3，()()，向量，共面由知向量，共面，又它們有共同的起點M，且A，B，C三點不共線，M，A，B，C四點共面，即點M在平面ABC內反思與感悟向量共面的充要條件的實

8、質是共面的四點中所形成的兩個不共線的向量一定可以表示其他向量，對于向量共面的充要條件，不僅會正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值跟蹤訓練3如圖所示，若P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，點H為PC上的點，且，點G在AH上，且m，若G，B，P，D四點共面，求m的值考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共面向量定理及應用解連接BG.因為，所以，因為，所以.因為，所以，所以().又因為，所以，因為m，所以m，因為，所以.又因為G，B，P，D四點共面，所以10，m.即m的值是.1下列命題中正確的是()A若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C零向量沒有確定的方向D若ab，

9、則存在唯一的實數(shù)，使ab考點空間向量的數(shù)乘運算題點線線平行的判定答案C解析零向量的方向是任意的2A，B，C不共線，對空間任意一點O，若，則P，A，B，C四點()A不共面B共面C不一定共面D無法判斷是否共面考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共面向量定理及應用答案B解析()()，.由共面的充要條件，知P，A，B，C四點共面3下列條件，能說明空間不重合的A，B，C三點共線的是()A.B.C.D.|考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共線向量定理及應用答案C解析由知與共線，又因有一共同的點B，故A，B，C三點共線4若非零空間向量e1，e2不共線，則使2ke1e2與e12(k1)e2共線的k的值為_考點空間向量的

10、數(shù)乘運算題點空間共線向量定理及應用答案解析若2ke1e2與e12(k1)e2共線，則2ke1e2e12(k1)e2，k.5若非零空間向量e1，e2不共線，則使ke1e2與e1ke2共線的k_.考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共線向量定理及應用答案1解析由ke1e2與e1ke2共線，得ke1e2(e1ke2)，即故k1.1四點P，A，B，C共面對空間任意一點O，都有xyz，且xyz1.2.xy稱為空間平面ABC的向量表達式由此可知空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定3證明(或判斷)三點A，B，C共線時，只需證明存在實數(shù)，使(或)即可，也可用“對空間任意一點O，有t(1t)”來證明三點A

11、，B，C共線4空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數(shù)對(x，y)，使xy，滿足這個關系式的點都在平面MAB內；反之，平面MAB內的任一點都滿足這個關系式這個充要條件常用于證明四點共面一、選擇題1在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量，是()A有相同起點的向量B等長向量C共面向量D不共面向量考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共面向量定理及應用答案C解析因為，且，所以，即.又與不共線，所以，三向量共面2在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC與BD的交點若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是()AabcBabcCabcDabc考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算答案

12、A解析()c(ab)abc.3如圖所示，在四面體ABCD中，點E是CD的中點，記a，b，c，則等于()AabcBabcCabcDabc考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算答案B解析連接AE，E是CD的中點，b，c，()(bc)在ABE中，又a，a(bc)abc.4設點M是ABC的重心，記a，b，c，且abc0，則等于()A.B.C.D.考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算答案D解析設D是BC邊的中點，M是ABC的重心，.而()(cb)，(cb)5設空間四點O，A，B，P滿足mn，其中mn1，則()A點P一定在直線AB上B點P一定不在直線AB上C點P可能在直線AB上，也可能不在直

13、線AB上D與的方向一定相同考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共線向量定理及應用答案A解析已知mn1，則m1n，(1n)nnn，即n()，即n.因為0，所以和共線，又AP和AB有公共點A，所以點A，P，B共線，故選A.6已知點M在平面ABC內，并且對空間任意一點O，有x，則x的值為()A1B0C3D.考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共面向量定理及應用答案D解析x，且M，A，B，C四點共面，x1，x，故選D.7在下列命題中：若a，b共線，則a，b所在的直線平行；若a，b所在的直線是異面直線，則a，b一定不共面；若a，b，c三向量兩兩共面，則a，b，c三向量一定也共面；已知三向量a，b，c，則空間任意一個

14、向量p總可以唯一表示為pxaybzc.其中正確命題的個數(shù)為()A0B1C2D3考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共面向量定理及應用答案A解析根據(jù)空間向量的基本概念知四個命題都不對二、填空題8以下命題：兩個共線向量是指在同一直線上的兩個向量；共線的兩個向量互相平行；共面的三個向量是指在同一平面內的三個向量；共面的三個向量是指平行于同一平面的三個向量其中正確命題的序號是_考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量共面定理及應用答案解析根據(jù)共面與共線向量的定義判定，知正確9已知A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，若由向量確定的點P與A，B，C共面，則_.考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共面向量定理及應用答

15、案解析A，B，C三點不共線，點O是平面ABC外一點，由向量確定的點P與A，B，C共面，1，解得.10如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為AB，B1C的中點用，表示，則_.考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算答案解析()().11設棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中的八個頂點所成的集合為S.向量的集合Pm|m，P1，P2S，則P中長度為a的向量有_個考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算答案8解析每一條體對角線對應兩個向量，正方體共有4條體對角線三、解答題12設e1，e2，e3三向量不共面，而e12e23e3，2e1e2e3，3e1e22e3，如果A，B，

16、D三點共線，試求，的值考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共線向量定理及應用解(2e1e2e3)(3e1e22e3)(23)e1(1)e2e3.A，B，D三點共線，與是共線向量存在實數(shù)k，使得k，即e12e23e3k(23)e1(1)e2e3(12k3k)e1(2kk)e2(3k)e30.e1，e2，e3三向量不共面，12k3k0,2kk0,3k0.將k代入前兩式，可得解得1，3.13.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EFAB，AB2EF，H為BC的中點求證：FH平面EDB.考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量共面定理及應用證明因為H為BC的中點，所以()()(2)因為EFAB，

17、CDAB，且AB2EF，所以20，所以().因為與不共線，所以由共面向量定理知，共面因為FH平面EDB，所以FH平面EDB.四、探究與拓展14.如圖所示，已知A，B，C三點不共線，P為一定點，O為平面ABC外任一點，則下列能表示向量的為_22；32；32；23.考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算答案解析因為A，B，C，P四點共面，所以可設xy，即xy，由題圖可知x3，y2.15.如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BMBD，ANAE.求證：MN平面CDE.考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量共面定理及應用證明因為M在BD上，且BMBD，所以.同理.所以.又與不共線，根據(jù)共面向量定理可知，共面因為MN不在平面CDE內，所以MN平面CDE.17