《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 9 第9講 函數(shù)模型及其應(yīng)用教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 9 第9講 函數(shù)模型及其應(yīng)用教學(xué)案（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用1幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)冪函數(shù)模型f(x)axnb(a，b，n為常數(shù)，a0，n0)2.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x值增大，圖象與y軸接近平行隨x值增大，圖象與x軸接近平行隨n值變化而不同疑誤辨析判

2、斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)冪函數(shù)增長(zhǎng)比直線增長(zhǎng)更快()(2)不存在x0，使ax0x1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于yxa(a1)的增長(zhǎng)速度()(4)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)yabxc(a0，b0，b1)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快的形象比喻()答案：(1)(2)(3)(4)教材衍化1(必修1P107A組T1改編)在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是()Ay2xByx21Cy2x2 Dylog2x解析：選D.根據(jù)x0.50，y0.99，代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x2.01，y0.

3、98，代入計(jì)算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)ylog2x，可知滿足題意2(必修1P102例3改編)某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()A收入最高值與收入最低值的比是31B結(jié)余最高的月份是7月C1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D前6個(gè)月的平均收入為40萬(wàn)元解析：選D.由題圖可知，收入最高值為90萬(wàn)元，收入最低值為30萬(wàn)元，其比是31，故A正確；由題圖可知，7月份的結(jié)余最高，為802060(萬(wàn)元)，故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確；由題圖可知，前6個(gè)月的平均收入為(4060303

4、05060)45(萬(wàn)元)，故D錯(cuò)誤3(必修1P107A組T4改編)用長(zhǎng)度為24的材料圍一矩形場(chǎng)地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長(zhǎng)度為_解析：設(shè)隔墻的長(zhǎng)度為x(0xg(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x)解析：選B.由函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)x(4，)時(shí)，增長(zhǎng)速度由大到小依次為g(x)f(x)h(x)故選B.2生產(chǎn)一定數(shù)量商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)x22x20(萬(wàn)元)一萬(wàn)件售價(jià)為20萬(wàn)元，為獲取更大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為_萬(wàn)件解析：利潤(rùn)L(x)20xC(x)(x18

5、)2142，當(dāng)x18時(shí)，L(x)有最大值答案：183某城市客運(yùn)公司確定客票價(jià)格的方法是：如果行程不超過(guò)100 km，票價(jià)是0.5元/km，如果超過(guò)100 km，超過(guò)100 km的部分按0.4元/km定價(jià)，則客運(yùn)票價(jià)y(元)與行程千米數(shù)x(km)之間的函數(shù)關(guān)系式是_解析：由題意可得y答案：y應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題 某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，銷售量為Q件，則銷售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q8 300170 pp2，則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)銷售收入進(jìn)貨支出)()A30元B60元C28 000元 D23 000元【解析】設(shè)毛利潤(rùn)

6、為L(zhǎng)(p)元，則由題意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)當(dāng)p(0，30)時(shí)，L(p)0，當(dāng)p(30，)時(shí)，L(p)0)模型角度一構(gòu)建二次函數(shù)模型 某城市對(duì)一種售價(jià)為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量為(30R)萬(wàn)件，要使附加稅不少于128萬(wàn)元，則R的取值范圍是()A4，8 B6，10C4%，8% D6%，10%【解析】根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬(wàn)元，需160R%128，整理得R212R

7、320，解得4R8，即R4，8【答案】A角度二構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型 某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018年 B2019年C2020年 D2021年【解析】根據(jù)題意，知每年投入的研發(fā)資金增長(zhǎng)的百分率相同，所以，從2015年起，每年投入的研發(fā)資金組成一個(gè)等比數(shù)列an，其中，首項(xiàng)a1130，公比q112%1.12，所以an1301.12n1.由1301.

8、12n1200，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得n1，又3.8，則n4.8，即a5開始超過(guò)200，所以2019年投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元，故選B.【答案】B角度三構(gòu)建分段函數(shù)模型 提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的

9、車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/時(shí))【解】(1)由題意，當(dāng)0x20時(shí)，v(x)60；當(dāng)20x200時(shí)，設(shè)v(x)axb，再由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當(dāng)0x20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x20時(shí)，其最大值為60201 200；當(dāng)200)模型 要建造一個(gè)容積為2 400 m3，深為6 m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池池底造價(jià)為100元/m2，池壁造價(jià)為80元/m2，則最低造價(jià)為_(元)【解析】設(shè)水池長(zhǎng)為x，則寬為.則總造價(jià)y(12x)80400100960(x)40 000960240 00078 400(元)當(dāng)

10、且僅當(dāng)x，即x20時(shí)，最低造價(jià)為78 400元【答案】78 400構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，要正確理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，求解過(guò)程中不要忽略實(shí)際問(wèn)題對(duì)變量的限制 為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國(guó)家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為：yx2200x80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品的價(jià)值為100元，則該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如

11、果不獲利，則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？解：設(shè)該單位每月獲利為S，則S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因?yàn)?00x600，所以當(dāng)x400時(shí)，S有最大值40 000.故該單位不獲利，需要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼40 000元，才能不虧損核心素養(yǎng)系列4數(shù)學(xué)建模函數(shù)建模在實(shí)際問(wèn)題中的妙用 某新型企業(yè)為獲得更大利潤(rùn)，須不斷加大投資，若預(yù)計(jì)年利潤(rùn)低于10%時(shí)，則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來(lái)年利潤(rùn)y(百萬(wàn)元)與年投資成本x(百萬(wàn)元)變化的一組數(shù)據(jù)：年份2008200920102011投資成本x35917年利潤(rùn)y1234給出以下3個(gè)函數(shù)模型：ykxb

12、(k0)；yabx(a0，b0，且b1)；yloga(xb)(a0，且a1)(1)選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)描述x，y之間的關(guān)系；(2)試判斷該企業(yè)年利潤(rùn)超過(guò)6百萬(wàn)元時(shí)，該企業(yè)是否要考慮轉(zhuǎn)型【解】(1)將(3，1)，(5，2)代入ykxb(k0)，得解得所以yx.當(dāng)x9時(shí)，y4，不符合題意；將(3，1)，(5，2)代入yabx(a0，b0，且b1)，得解得所以y()x2.當(dāng)x9時(shí)，y28，不符合題意；將(3，1)，(5，2)代入yloga(xb)(a0，且a1)，得解得所以ylog2(x1)當(dāng)x9時(shí)，ylog283；當(dāng)x17時(shí)，ylog2164.故可用來(lái)描述x，y之間的關(guān)系(2)令log2(x1

13、)6，則x65.因?yàn)槟昀麧?rùn)10%，所以該企業(yè)要考慮轉(zhuǎn)型解函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題，首先應(yīng)考慮該題考查的是何種函數(shù)，然后根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式(注意定義域)，并進(jìn)行相關(guān)求解，最后結(jié)合實(shí)際意義作答 某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月，預(yù)測(cè)上市初期和后期會(huì)因供應(yīng)不足使價(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù)：f(x)pqx；f(x)px2qx1；f(x)x(xq)2p(以上三式中p，q均為常數(shù)，且q1)(1)為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢(shì)，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)(不必說(shuō)明理由)?(2)若f(0)4，f(2)6.求出所選函數(shù)f(x)的解析式(注：函數(shù)定義域是0，5，

14、其中x0表示8月1日，x1表示9月1日，以此類推)；為保證養(yǎng)殖戶的經(jīng)濟(jì)效益，當(dāng)?shù)卣?jì)劃在價(jià)格下跌期間積極拓寬外銷，請(qǐng)你預(yù)測(cè)該海鮮將在哪幾個(gè)月內(nèi)價(jià)格下跌解：(1)因?yàn)樯鲜谐跗诤秃笃趦r(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中期又將出現(xiàn)價(jià)格連續(xù)下跌，所以在所給出的函數(shù)中應(yīng)選模擬函數(shù)f(x)x(xq)2p.(2)對(duì)于f(x)x(xq)2p，由f(0)4，f(2)6，可得p4，(2q)21，又q1，所以q3，所以f(x)x36x29x4(0x5)因?yàn)閒(x)x36x29x4(0x5)，所以f(x)3x212x9，令f(x)0，得1x3.所以函數(shù)f(x)在(1，3)內(nèi)單調(diào)遞減，所以可以預(yù)測(cè)這種海鮮將在9月、10月兩個(gè)月內(nèi)

15、價(jià)格下跌基礎(chǔ)題組練1在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是()x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01A.y2x2 By(x21)Cylog2x Dylogx解析：選B.由題中表可知函數(shù)在(0，)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大得越來(lái)越快，分析選項(xiàng)可知B符合，故選B.2某工廠6年來(lái)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來(lái)這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖象正確的是()解析：選A.前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越

16、來(lái)越快，說(shuō)明呈高速增長(zhǎng)，只有A、C圖象符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，故選A.3一種放射性元素的質(zhì)量按每年10%衰減，這種放射性元素的半衰期(剩余質(zhì)量為最初質(zhì)量的一半所需的時(shí)間叫作半衰期)是(精確到0.1，已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)()A5.2 B6.6C7.1 D8.3解析：選B.設(shè)這種放射性元素的半衰期是x年，則(110%)x，化簡(jiǎn)得0.9x，即xlog0.96.6(年)故選B.4某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過(guò)10 m3的，按每立方米m元收費(fèi)；用水超過(guò)10 m3的，超過(guò)部分加倍收費(fèi)某職工某月繳水費(fèi)16m元，則該職工這個(gè)月實(shí)際用水

17、為()A13 m3 B14 m3C18 m3 D26 m3解析：選A.設(shè)該職工用水x m3時(shí)，繳納的水費(fèi)為y元，由題意得y則10m(x10)2m16m，解得x13.5.已知甲、乙兩種商品在過(guò)去一段時(shí)間內(nèi)的價(jià)格走勢(shì)如圖所示假設(shè)某商人持有資金120萬(wàn)元，他可以在t1至t4的任意時(shí)刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交(其他費(fèi)用忽略不計(jì))如果他在t4時(shí)刻賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤(rùn)是()A40萬(wàn)元 B60萬(wàn)元C120萬(wàn)元 D140萬(wàn)元解析：選C.甲6元時(shí)該商人全部買入甲商品，可以買120620(萬(wàn)份)，在t2時(shí)刻全部賣出，此時(shí)獲利20240萬(wàn)元，乙4元時(shí)該商人買入乙商品，可以買(12040)4

18、40(萬(wàn)份)，在t4時(shí)刻全部賣出，此時(shí)獲利40280萬(wàn)元，共獲利4080120萬(wàn)元，故選C.6.某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60(如圖)，考慮防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為9平方米，且高度不低于米記防洪堤橫斷面的腰長(zhǎng)為x米，外周長(zhǎng)(梯形的上底線段BC與兩腰長(zhǎng)的和)為y米要使防洪堤橫斷面的外周長(zhǎng)不超過(guò)10.5米，則其腰長(zhǎng)x的范圍為()A2，4 B3，4C2，5 D3，5解析：選B.根據(jù)題意知，9(ADBC)h，其中ADBC2BCx，hx，所以9(2BCx)x，得BC，由得2x6.所以yBC2x(2x1，BC2x，又ABy，ACy1，在ABC中，

19、由余弦定理得，(y1)2y24x22y2xcos 60，所以y(x1)(2)M30(2y1)40x3040x，其中x1，設(shè)tx1，則t0，所以M3040(t1)160t2502250490，當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x.所以當(dāng)x時(shí)，修建中轉(zhuǎn)站和道路的總造價(jià)M最低綜合題組練1某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22 的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33 的保鮮時(shí)間是()A16小時(shí) B20小時(shí)C24小時(shí) D28小時(shí)解析：選C.由已知得192eb，48e22kbe22keb，

20、將代入得e22k，則e11k，當(dāng)x33時(shí)，ye33kbe33keb19224，所以該食品在33 的保鮮時(shí)間是24小時(shí)故選C.2某類產(chǎn)品按工藝共分10個(gè)檔次，最低檔次產(chǎn)品每件利潤(rùn)為8元每提高一個(gè)檔次，每件利潤(rùn)增加2元用同樣工時(shí)，可以生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品60件，每提高一個(gè)檔次將少生產(chǎn)3件產(chǎn)品，則每天獲得利潤(rùn)最大時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次是()A7 B8C9 D10解析：選C.由題意，當(dāng)生產(chǎn)第k檔次的產(chǎn)品時(shí)，每天可獲利潤(rùn)為y82(k1)603(k1)6k2108k378(1k10，kN*)，配方可得y6(k9)2864，所以當(dāng)k9時(shí)，獲得利潤(rùn)最大選C.3擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(fèi)(單位：元)由f(m)1.0

21、6(0.5m1)給出，其中m0，m是不超過(guò)m的最大整數(shù)(如33，3.73，3.13)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費(fèi)為_元解析：因?yàn)閙6.5，所以m6，則f(m)1.06(0.561)4.24.答案：4.244某汽車銷售公司在A、B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)為y14.1x0.1x2，在B地的銷售利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)為y22x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤(rùn)是_萬(wàn)元解析：設(shè)公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16x)輛，所以可得利潤(rùn)y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x32

22、0.10.132.因?yàn)閤0，16且xN，所以當(dāng)x10或11時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值43萬(wàn)元答案：435某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)，服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線(1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)治療疾病有效，求服藥一次后治療疾病有效的時(shí)間解：(1)由題圖，設(shè)y當(dāng)t1時(shí)，由y4得k4，由4得a3.所以y(2)由y0.25得或解得t5.因此服藥一次后治療疾病有效的時(shí)間是5(小時(shí))6食品安全問(wèn)題越來(lái)越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對(duì)人民群眾的健康帶來(lái)

23、一定的危害，為了給消費(fèi)者帶來(lái)放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬(wàn)元，搭建了甲、乙兩個(gè)無(wú)公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入20萬(wàn)元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬(wàn)元)滿足P804，Qa120，設(shè)甲大棚的投入為x(單元：萬(wàn)元)，每年兩個(gè)大棚的總收益為f(x)(單位：萬(wàn)元)(1)求f(50)的值；(2)試問(wèn)如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？解：(1)由題意知甲大棚投入50萬(wàn)元，則乙大棚投入150萬(wàn)元，所以f(50)804150120277.5(萬(wàn)元)(2)f(x)804(200x)120x4250，依題意得20x180，故f(x)x4250(20x180)令t，則t2，6，yt24t250(t8)2282，當(dāng)t8，即x128時(shí)，f(x)取得最大值，f(x)max282.所以甲大棚投入128萬(wàn)元，乙大棚投入72萬(wàn)元時(shí)，總收益最大，且最大總收益為282萬(wàn)元16