《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 第1課時(shí) 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 新人教A版選修2-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 第1課時(shí) 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 新人教A版選修2-1（17頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1課時(shí)雙曲線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、實(shí)軸長和虛軸長等).2.理解離心率的定義、取值范圍和漸近線方程.3.能用雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問題知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xaya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線yxyx離心率e，e(1，)，其中ca，b，c間的關(guān)系c2a2b2(ca0，cb0)知識(shí)點(diǎn)二等軸雙曲線思考求下列雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長，并分析其共同點(diǎn)(1)x2y21；(2)4x24y21.答案(1)的實(shí)

2、半軸長1，虛半軸長1(2)的實(shí)半軸長，虛半軸長.它們的實(shí)半軸長與虛半軸長相等梳理實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為yx，離心率為.(1)雙曲線1與1(a0，b0)的形狀相同()(2)雙曲線1與1(a0，b0)的漸近線相同()(3)等軸雙曲線的漸近線方程與雙曲線方程有關(guān)()(4)離心率是的雙曲線為等軸雙曲線()類型一雙曲線的性質(zhì)例1求雙曲線9y24x236的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程求a，b，c及漸近線解雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是1，a29，b24，a3，b2，c.又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，

3、(3,0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，實(shí)軸長2a6，虛軸長2b4，離心率e，漸近線方程為yx.引申探究求雙曲線nx2my2mn(m0，n0)的實(shí)半軸長、虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程解把方程nx2my2mn(m0，n0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1(m0，n0)，由此可知，實(shí)半軸長a，虛半軸長b，c，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，離心率e，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，所以漸近線方程為yx，即yx.反思與感悟由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決本題的關(guān)鍵(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定a，b的值(3)由c2a2b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何

4、性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1求雙曲線9y216x2144的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程求a，b，c及漸近線解把方程9y216x2144化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由此可知，實(shí)半軸長a4，虛半軸長b3；c5，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，5)，(0,5)；離心率e；漸近線方程為yx.類型二由雙曲線的性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)已知雙曲線的實(shí)軸長與虛軸長之和等于其焦距的倍，且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B.1C.1D.1考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程求a，b，c及漸近線答案B解析由已知，得雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，從而可設(shè)雙曲線的方程為1(a0

5、，b0)一個(gè)頂點(diǎn)為(0,2)，a2.又實(shí)軸長與虛軸長之和等于焦距的倍，2a2b2c.又a2b2c2，b24，所求雙曲線的方程為1.(2)求與雙曲線1有共同的漸近線，并且經(jīng)過點(diǎn)A(2，3)的雙曲線的方程考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程求a，b，c及漸近線解雙曲線1的漸近線方程為yx.當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求雙曲線的方程為1(a0，b0)因?yàn)?，所以ba.因?yàn)辄c(diǎn)A(2，3)在所求雙曲線上，所以1.聯(lián)立得方程組無解當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求雙曲線的方程為1(a0，b0)，因?yàn)?，所以ab.因?yàn)辄c(diǎn)A(2，3)在所求雙曲線上，所以1.由，得a2，b24，所以所求雙曲線的方程為1

6、.反思與感悟(1)根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式(2)巧設(shè)雙曲線方程的六種方法與技巧焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為1(a0，b0)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為1(a0，b0)與雙曲線1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為1(0，b20，b0)的離心率e，過點(diǎn)A(0，b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)由雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程題點(diǎn)已知雙曲線的焦距、漸近線求雙曲線的方程解(1)設(shè)所求雙曲線的方程為(0)點(diǎn)M(3，2)在雙曲線上，即2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)e，a23b2.又

7、直線AB的方程為bxayab0，d，即4a2b23(a2b2)解組成的方程組，得a23，b21.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.類型三求雙曲線的離心率例3已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，PQ是經(jīng)過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，如果PF2Q90，求雙曲線的離心率考點(diǎn)雙曲線的離心率與漸近線題點(diǎn)求雙曲線的離心率解設(shè)F1(c,0)，將xc代入雙曲線的方程得1，那么y.由|PF2|QF2|，PF2Q90，知|PF1|F1F2|，所以2c，所以b22ac，所以c22aca20，所以2210，即e22e10，所以e1或e1(舍去)，所以雙曲線的離心率為1.反思與感悟求雙曲線離心率的三種方法：(1

8、)若可求得a，c，則直接利用e求解(2)若已知a，b，可直接利用e求解(3)若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2qacra20(p，q，r為常數(shù)，且p0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2qer0求解跟蹤訓(xùn)練3設(shè)雙曲線1(ba0)的焦距為2c，直線l過點(diǎn)A(a,0)，B(0，b)兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線l的距離為c，則雙曲線的離心率為_考點(diǎn)雙曲線的離心率與漸近線題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案2解析如圖所示，在OAB中，|OA|a，|OB|b，|OE|c，|AB|c.因?yàn)閨AB|OE|OA|OB|，所以ccab，即(a2b2)ab，兩邊同除以a2，得20，解得或(舍去)，所以e2.1已知雙曲線方程為x28y23

9、2，則()A實(shí)軸長為4，虛軸長為2B實(shí)軸長為8，虛軸長為4C實(shí)軸長為2，虛軸長為4D實(shí)軸長為4，虛軸長為8考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程求a，b，c答案B解析雙曲線方程x28y232化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1，可得a4，b2，所以雙曲線的實(shí)軸長為8，虛軸長為4.2下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為yx的是()Ax21By21Cx21Dy21考點(diǎn)由雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程題點(diǎn)已知雙曲線的焦距、漸近線求雙曲線的方程答案D解析從選項(xiàng)知，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線有x21與y21，而x21的漸近線方程是y2x，y21的漸近線方程是yx，故選D.3(2017浙江余姚中學(xué)期中)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C

10、：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線C的右支上的點(diǎn)，射線PT平分F1PF2，過原點(diǎn)O作PT的平行線交PF1于點(diǎn)M，若|MP|F1F2|，則雙曲線C的離心率為()A.B3C.D.答案A4與雙曲線1共漸近線且經(jīng)過點(diǎn)M(2，6)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案1解析設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為t(t0)，又經(jīng)過點(diǎn)M(2，6)，t，即t2，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.5已知F是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A(0,6)當(dāng)APF周長最小時(shí)，該三角形的面積為_考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程研究其他問題答案12解析設(shè)左焦點(diǎn)為F1，|PF|PF1|2a2，|PF|2|PF1|，APF的周長為

11、|AF|AP|PF|AF|AP|2|PF1|，APF周長最小即為|AP|PF1|最小，當(dāng)A，P，F(xiàn)1在一條直線上時(shí)最小，過AF1的直線方程為1，與x21聯(lián)立，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，此時(shí)S12.1隨著x和y趨向于無窮大，雙曲線將無限地與漸近線接近，但永遠(yuǎn)沒有交點(diǎn)；由漸近線方程可確定a與b或b與a的比值，但無法確定焦點(diǎn)位置2求漸近線的方程，常把雙曲線的方程右邊的常數(shù)寫成0，分解因式即得漸近線方程，若已知漸近線方程mxny0，求雙曲線的方程，常將雙曲線的方程設(shè)為(0)求解3與雙曲線1(a0，b0)有共同漸近線的雙曲線系的方程可設(shè)為(0，a0，b0).一、選擇題1雙曲線2x2y28的實(shí)軸長是()A

12、2B2C4D4考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程求a，b，c及漸近線答案C解析將雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)形式為1，得2a4.2若雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為()Ay2xByxCyxDyx考點(diǎn)雙曲線的離心率與漸近線題點(diǎn)漸近線與離心率的關(guān)系答案B解析由e，得22.故漸近線方程為yx，故選B.3設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小內(nèi)角為30，則C的離心率為()A.B.C.D.考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案C解析不妨設(shè)|PF1|PF2|，則|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得

13、|PF1|4a，|PF2|2a，則PF1F2是PF1F2的最小內(nèi)角，為30，|PF2|2|PF1|2|F2F1|22|PF1|F2F1|cos 30，(2a)2(4a)2(2c)224a2c，化為e22e30，解得e.4設(shè)雙曲線1的漸近線方程為3x2y0，則a的值為()A4B3C2D1考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程求a，b，c及漸近線答案A解析方程表示雙曲線，a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l與雙曲線右支交于A，B兩點(diǎn)(B在第四象限)，若ABF1是B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，設(shè)該雙曲線的離心率為e，則e2為()A52B52C42D42答案A7設(shè)F為雙曲線C：1

14、(a0，b0)的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為1的直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若3，則雙曲線C的離心率e等于()A.B.C.D.考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案D解析設(shè)F(c,0)，則過雙曲線：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線l的方程為y(xc)，而漸近線方程是yx，由得B，由得A，由3，得3，則3，即ba，則ca，則e，故選D.二、填空題8(2017嘉興一中期末)雙曲線C：x24y21的焦距是_，雙曲線C的漸近線方程是_答案yx9已知雙曲線y21(m0)的離心率e(1,2)，則m的取值范圍是_考點(diǎn)雙曲線的離心率與漸近線題點(diǎn)雙曲線離心率的取值范圍答案(0,

15、3)解析由雙曲線y21(m0)知，a1，b，所以e，又e(1,2)，所以12，解得0m3.10(2017金華一中月考)已知雙曲線1(a0，b0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的漸近線方程為_答案y2x11過雙曲線1(a0，b0)的左焦點(diǎn)F(c,0)(c0)作圓x2y2的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交雙曲線右支于點(diǎn)P，若()，則雙曲線的離心率為_考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線離心率答案解析如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為M，連接PM.OEPF，在RtOEF中，|EF|.又()，E是PF的中點(diǎn)，|PF|2|EF|2 ，|PM|2|OE|a.由雙曲線的定義知，|PF|PM|2a，2

16、a2a，e.三、解答題12已知雙曲線的一條漸近線為xy0，且與橢圓x24y264有相同的焦距，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)由雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程題點(diǎn)已知雙曲線的焦距、漸近線求雙曲線的方程解橢圓方程為1，可知橢圓的焦距為8.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)，解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)，解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.13已知點(diǎn)A(0,1)，點(diǎn)P在雙曲線C：y21上(1)當(dāng)|PA|最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)A的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OMN的面積

17、為2，求直線l的方程考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程研究其他問題解(1)設(shè)P(x，y)，則|PA|，當(dāng)y時(shí)，|PA|最小，故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為.(2)由題知直線l的斜率存在，故可設(shè)l的方程為ykx1，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，與雙曲線方程聯(lián)立得(12k2)x24kx40，則16(1k2)0且0，即k2.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2，x1x2，|x1x2|，SOMN1|x1x2|2，解得k2或k2(舍去)，即k，l的方程為x2y20或x2y20.四、探究與拓展14已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線E：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心

18、率為()A.B.C.D2考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案A解析因?yàn)镸F1與x軸垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由雙曲線的定義，得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以離心率e.15已知雙曲線C：y21(a0)，直線l：xy1，雙曲線C與直線l有兩個(gè)不同交點(diǎn)A，B，直線l與y軸交點(diǎn)為P.(1)求離心率e的取值范圍；(2)若，求a的值考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程研究其他問題解(1)由雙曲線C與直線l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，得方程組有兩個(gè)不同的解，消去y并整理，得(1a2)x22a2x2a20，解得a且a1.又a0，0a且a1.雙曲線的離心率e，0a且a1，e且e，雙曲線C的離心率e的取值范圍是(，)(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得P(0,1)，(x1，y11)(x2，y21)，由此可得x1x2.x1，x2都是方程的根，且1a20，x1x2x2.x1x2x，消去x2得，即a2.又a0，a.17