《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 幾何證明選講學(xué)案 選修4-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 幾何證明選講學(xué)案 選修4-1（11頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 幾何證明選講學(xué)案 選修4-1第1課時圓的進(jìn)一步認(rèn)識掌握圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理，弦切角定理，割線定理，切割線定理和圓內(nèi)接四邊形的判定定理與性質(zhì)定理，能用這些定理解決有關(guān)圓的問題. 理解圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理，圓周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割線定理，切割線定理和圓內(nèi)接四邊形的判定定理與性質(zhì)定理. 能應(yīng)用圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理，圓周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割線定理，切割線定理和圓內(nèi)接四邊形的判定定理與性質(zhì)定理解決與圓有關(guān)的問題.1. 如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，已知BOD100，求BCD.解：由題設(shè)BA

2、DBOD50，則BCD180BAD130.2. 如圖，AB是圓O的直徑，MN與圓O相切于點(diǎn)C，ACBC，求sinMCA的值.解：由弦切角定理得，MCAABC，sinABC.故sinMCA.3. 已知ABC內(nèi)接于圓O，BE是圓O的直徑，AD是BC邊上的高.求證：BAACBEAD.證明：連結(jié)AE. BE是圓O的直徑， BAE90， BAEADC. BEAACD， RtBEARtACD. ， BAACBEAD.4. 如圖，在圓O中，M，N是弦AB的三等分點(diǎn)，弦CD，CE分別經(jīng)過點(diǎn)M，N.若CM2，MD4，CN3，求線段NE的長.解：設(shè)AMa，由相交弦定理可知，CMMDAMMB，CNNEANNB，即2

3、4a2a，3NE2aa，消去a解得NE.5. 如圖，EA與圓O相切于點(diǎn)A，D是EA的中點(diǎn)，過點(diǎn)D引圓O的割線，與圓O相交于點(diǎn)B，C，連結(jié)EC.求證：DEBDCE.證明： EA與圓O相切于點(diǎn)A，由切割線定理得DA2DBDC. D是EA的中點(diǎn)， DADE. DE2DBDC. . EDBCDE， EDBCDE， DEBDCE.1. 圓周角定理（1） 圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于其所對弧的度數(shù)的一半.（2） 推論1：同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角相等.同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.（3） 推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角等于90.反之，90的圓周角所對的弧為半圓（或弦為直徑）.2. 圓的切線（

4、1） 圓的切線的性質(zhì)與判定 相關(guān)定義：當(dāng)直線與圓有2個公共點(diǎn)時，直線與圓相交；當(dāng)直線與圓有且只有1個公共點(diǎn)時，直線與圓相切，此時直線是圓的切線，公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)；當(dāng)直線與圓沒有公共點(diǎn)時，直線與圓相離. 切線的判定定理：過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線. 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑. 切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長相等.（2） 弦切角 定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相切，另一邊與圓相交的角稱為弦切角. 弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于其所夾弧的度數(shù)的一半. 推論：同?。ɑ虻然。┥系南仪薪窍嗟?，同弧（或等?。┥系南仪薪桥c圓周角相等.3. 相交弦定理相交弦定理：圓的兩

5、條相交弦，每條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等.4. 切割線定理（1） 割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，該點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等.（2） 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的一條割線與一條切線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓的兩個交點(diǎn)的線段長的等比中項(xiàng).5. 圓內(nèi)接四邊形（1） 圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).（2） 圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果四邊形的對角互補(bǔ)，則此四邊形內(nèi)接于圓.備課札記,1圓周角與弦切角定理及應(yīng)用),1)（2017蘇錫常鎮(zhèn)一模）如圖，圓O的直徑AB6，C為圓上一點(diǎn)，BC3，過點(diǎn)C作圓的切線l，過點(diǎn)A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點(diǎn)D，E.求D

6、AC的大小與線段AE的長.解：如圖，連結(jié)OC，BE，因?yàn)锽COBOC3，所以CBO60.因?yàn)镈CACBO，所以DCA60.又ADDC得DAC30.因?yàn)锳CB90，得CAB30，所以EAB60，從而ABE30，所以AEAB3.變式訓(xùn)練如圖，CP是圓O的切線，P為切點(diǎn)，直線CO交圓O于A，B兩點(diǎn)，ADCP，垂足為D.求證：DAPBAP.證明： CP與圓O 相切， DPAPBA. AB為圓O的直徑， APB90， BAP90PBA. ADCP， DAP90DPA， DAPBAP.,2圓的切線的判定與性質(zhì)),2)如圖，PAQ是直角，圓O與射線AP相切于點(diǎn)T，與射線AQ相交于B，C兩點(diǎn).求證：BT平分O

7、BA. AT是切線， OTAP. PAQ是直角，即AQAP， ABOT， TBABTO.又OTOB， OTBOBT， OBTTBA，即BT平分OBA.如圖，AC切圓O于D，AO的延長線交圓O于B，BC切圓O于B，若ADAC12，求的值. ADAC12， D為AC的中點(diǎn).又AC切圓O于D， ODAC.OAOC. AODCOD， 12.又OBCODC， 32. 12360， OC2OB. OA2OB，即2.,3圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)),3)（2017南通、揚(yáng)州、泰州模擬）如圖，已知AB為圓O的一條弦，點(diǎn)P為弧AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)P任作兩條弦PC，PD，分別交AB于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：PEPCPFPD.因

8、為PABPCB，點(diǎn)P為弧AB的中點(diǎn)，所以PABPBA，所以PCBPBA.又DCBDPB，所以PFEPBADPBPCBDCBPCD，所以E，F(xiàn)，D，C四點(diǎn)共圓.所以PEPCPFPD.如圖，已知AP是圓O的切線，P為切點(diǎn)，AC是圓O的割線，與圓O交于B，C兩點(diǎn)，圓心O在PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn).（1） 求證：A，P，O，M四點(diǎn)共圓；（2） 求OAMAPM的大小.（1） 證明：連結(jié)OP，OM，因?yàn)锳P與圓O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)PAP.因?yàn)镸是圓O的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)MBC，于是OPAOMA180.由圓心O在PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補(bǔ)，所以A，P，O，M四點(diǎn)共圓.（2） 解：由（

9、1）得A，P，O，M四點(diǎn)共圓，所以O(shè)AMOPM.因?yàn)锳P是圓O的切線，P為切點(diǎn)，所以O(shè)PAP，所以O(shè)PMAPM90，所以O(shè)AMAPM90.,4相交弦定理、割線定理及切割線定理的應(yīng)用),4)（2017蘇州暑期檢測）如圖，ABC是圓O的內(nèi)接三角形，PA是圓O的切線，A為切點(diǎn)，PB交AC于點(diǎn)E，交圓O于點(diǎn)D，若PEPA，ABC60，且PD1，PB9，求EC.解： 弦切角PAEABC60，又PAPE， PAE為等邊三角形.由切割線定理有PA2PDPB9， AEEPPA3，EDEPPD2，EBPBPE6，由相交弦定理有ECEAEBED12， EC1234.變式訓(xùn)練（2017南京、鹽城期末）如圖，AB是半

10、圓O的直徑，點(diǎn)P為半圓O外一點(diǎn)，PA，PB分別交半圓O于點(diǎn)D，C.若AD2，PD4，PC3，求BD的長.解：由割線定理得PDPAPCPB，則4（24）3（3BC），解得BC5.又AB是半圓O的直徑，故ADB.則在RtPDB中有BD4.1. （2017蘇州期末）如圖，點(diǎn)E是圓O內(nèi)兩條弦AB和CD的交點(diǎn)，過AD延長線上一點(diǎn)F作圓O的切線FG，G為切點(diǎn)，已知EFFG.求證：EFCB.證明：由切割線定理得FG2FAFD.又EFFG，所以EF2FAFD，即.因?yàn)镋FADFE，所以DEFEAF，所以FEDFAE.因?yàn)镕AEDABDCB，所以FEDBCD，所以EFCB.2. 如圖所示，ABC是圓O的內(nèi)接三角

11、形，且ABAC，APBC，弦CE的延長線交AP于點(diǎn)D.求證：AD2DEDC.證明：連結(jié)AE，則AEDB. ABAC， ACBB， ACBAED. APBC， ACBCAD， CADAED.又ADCEDA， ACDEAD. ，即AD2DEDC.3. （2017南京、鹽城模擬）ABC的頂點(diǎn)A，C在圓O上，B在圓O外，線段AB與圓O交于點(diǎn)M.（1） 如圖，若BC是圓O的切線，且AB8，BC4，求線段AM的長；（2） 如圖，若線段BC與圓O交于另一點(diǎn)N，且AB2AC，求證：BN2MN. （1） 解：因?yàn)锽C是圓O的切線，故由切割線定理得BC2BMBA.設(shè)AMt，因?yàn)锳B8，BC4，所以428（8t），

12、解得t6，即線段AM的長度為6.（2） 證明：因?yàn)樗倪呅蜛MNC為圓內(nèi)接四邊形，所以AMNB.又BB，所以BMNBCA，所以.因?yàn)锳B2AC，所以BN2MN.4. （2017常州期末）如圖，過圓O外一點(diǎn)P作圓O的切線PA，切點(diǎn)為A，連結(jié)OP與圓O交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作AP的垂線，垂足為D.若PA2，PCPO13，求CD的長.解：延長PO交圓O于點(diǎn)B，連結(jié)OA.設(shè)PCx（x0），則由PCPO13，得PO3x，則PB5x.因?yàn)镻A是圓O的切線，所以PA2PCPB，即（2）2x（5x），解得x2.故OAOC4.因?yàn)镻A是圓O的切線，所以O(shè)APA.又CDPA，則OACD，因此.又OA4，所以CD.1. （

13、2017蘇北四市期末）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn).求證：ABBC2ADBD.證明：因?yàn)镈為弧BC的中點(diǎn)，所以DBCDAB，DCDB.因?yàn)锳B為半圓O的直徑，所以ADB90.又E為BC的中點(diǎn)，所以ECEB，所以DEBC，所以ABDBDE.所以，所以ABBC2ADBD.2. 如圖，AB為圓O的切線，A為切點(diǎn)，C為線段AB的中點(diǎn)，過C作圓O的割線CED，求證：CBEBDE.證明：因?yàn)镃A為圓O的切線，所以CA2CECD.又CACB，所以CB2CECD，即.又ECBBCD，所以BCEDCB，所以CBEBDE.3. 如圖，AB是圓O的直徑，弦BD，CA的延長線相交于點(diǎn)

14、E，EF垂直于BA，交BA的延長線于點(diǎn)F. 求證： （1） DEADFA；（2） AB2BEBDAEAC.證明：（1） 連結(jié)AD，因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以ADB90.又EFAB，EFA90，所以A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.所以DEADFA.（2） 由（1）知，BDBEBABF，連結(jié)BC.又ABCAEF， ，即ABAFAEAC. BEBDAEACBABFABAFAB（BFAF）AB2.4. 如圖，直線AB與圓O相切于點(diǎn)B，直線AO交圓O于D，E兩點(diǎn)，BCDE，垂足為C，且AD3DC，BC，求圓O的直徑.解：因?yàn)镈E是圓O的直徑，則BEDEDB90.又BCDE，所以CBDEDB90.又AB切圓O于點(diǎn)B，得ABDBED，所以CBDDBA.即BD平分CBA，則3.又BC，從而AB3，所以AC4，所以AD3.由切割線定理得AB2ADAE，即AE6，故DEAEAD3，即圓O的直徑為3.與圓有關(guān)的輔助線的五種作法（1） 有弦，作弦心距；（2） 有直徑，作直徑所對的圓周角；（3） 有切點(diǎn)，作過切點(diǎn)的半徑；（4） 兩圓相交，作公共弦；（5） 兩圓相切，作公切線.