《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過(guò)關(guān) 第四章 平面向量與復(fù)數(shù)學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過(guò)關(guān) 第四章 平面向量與復(fù)數(shù)學(xué)案（32頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過(guò)關(guān) 第四章 平面向量與復(fù)數(shù)學(xué)案 了解向量的實(shí)際背景；理解平面向量的基本概念和幾何表示；理解向量相等的含義. 掌握向量加、減法和數(shù)乘運(yùn)算，理解其幾何意義；理解向量共線定理. 了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義掌握向量加、減法、數(shù)乘的運(yùn)算，以及兩個(gè)向量共線的充要條件1. (必修4P62習(xí)題5改編)下列命題： 零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的； 若a，b都是單位向量，則ab； 向量與相等則所有正確的命題是_(填序號(hào))答案：解析：根據(jù)零向量的定義可知正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故錯(cuò)誤；向量與

2、互為相反向量，故錯(cuò)誤2. 在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD的形狀是_答案：平行四邊形解析：依題意知AC是以AB，AD為相鄰兩邊的平行四邊形的對(duì)角線，所以四邊形ABCD是平行四邊形3. 在ABC中，c，b，若點(diǎn)D滿(mǎn)足2，則_答案：bc解析：如圖，因?yàn)樵贏BC中，c，b，且點(diǎn)D滿(mǎn)足2，所以()bc.4. 設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實(shí)數(shù)_答案：解析：因?yàn)橄蛄縜b與a2b平行，設(shè)abk(a2b)，則所以.5. (必修4P73習(xí)題15改編)已知向量i與j不共線，且imj，nij.若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m，n應(yīng)該滿(mǎn)足的條件是_(填序號(hào)) mn1； mn1； mn1； mn1

3、.答案：解析：由A，B，D共線可設(shè)，于是有imj(nij)nij.又i，j不共線，因此即有mn1.1. 向量的有關(guān)概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)，記作|.(2) 零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的(3) 單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量又稱(chēng)為共線向量，任一組平行向量都可以移到同一直線上規(guī)定：0與任一向量平行(5) 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量(6) 相反向量：與向量a長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量

4、2. 向量加法與減法運(yùn)算(1) 向量的加法 定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法 法則：三角形法則；平行四邊形法則 運(yùn)算律：abba；(ab)ca(bc)(2) 向量的減法 定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法 法則：三角形法則3. 向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(1) 實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下： |a|a|； 當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相同；當(dāng)ba，若向量m(ab，1)和n(bc，1)平行，且sin B，則當(dāng)ABC的面積為時(shí)，b_答案：2解析：由向量m和n平行知ac2b，由acsin Bac，由cba知B為銳角，則cos B，即，由可得b2.4. 在ABC中，

5、AB2，AC3，角A的平分線與AB邊上的中線交于點(diǎn)O.若xy(x，yR)，則xy的值為_(kāi)答案：解析： AO為ABC的角平分線， 存在實(shí)數(shù)(0)使，即， 設(shè)AB邊上的中線與AB交于點(diǎn)D，則2xy. C，O，D三點(diǎn)共線， 2xy1.由得x，y， xy.1. 已知向量a，b(x，1)，其中x0，若(a2b)(2ab)，則x的值為_(kāi)答案：4 解析：a2b，2ab(16x，x1)，由已知(a2b)(2ab)，顯然2ab0，則有(16x，x1)，R， x4(x4舍去)2. (2017南京、鹽城模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為線段AO的中點(diǎn)若(，R)，則_答案：解析：由題意可得

6、，由平面向量基本定理可得，所以.3. 在ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，則的值為_(kāi)答案：解析： M為邊BC上任意一點(diǎn)， 可設(shè)xy(xy1) N為AM的中點(diǎn)， xy. (xy).4. 如圖，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，且滿(mǎn)足mn(m，n均為正實(shí)數(shù))，則的最小值為_(kāi)答案：解析：(解法1)設(shè)a，b，則ab；設(shè)，則ab.因?yàn)閙anb，所以有 1m，n，消去得mn1，12.(解法2)以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(4，0)，C(1，4)，設(shè)(3，4)，則(43，4)因?yàn)閙n(4m

7、，4n), 所以有 434m，44n，消去得mn1(下同解法1)1. 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是惟一的2. 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫(xiě)錯(cuò)坐標(biāo)3. 向量共線問(wèn)題中，一般是根據(jù)其中的一些關(guān)系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標(biāo)表示的，就可以使用兩個(gè)向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值備課札記第3課時(shí)平面向

8、量的數(shù)量積及平面向量的 應(yīng)用舉例(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(文)、(理)7779頁(yè)) 理解平面向量數(shù)量積的含義. 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；能利用數(shù)量積表示兩個(gè)向量夾角的余弦，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)非零向量是否垂直 平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示. 了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題1. (必修4P90習(xí)題19(2)改編)已知向量a(1，2)，b(x，2)，且a(ab)，則實(shí)數(shù)x_答案：9解析：由a(ab)知，a2ab，即5x4，則x9.2. 已知向量a(1，)，b(，1)，則a與b夾角的大小為_(kāi)答案：解析：設(shè)a與b夾角為，由

9、已知，ab2，|a|b|2，cos .因?yàn)?，所以.3. (2017蘇北四市調(diào)研)已知平面向量a與b的夾角等于，若|a|2，|b|3，則|2a3b|_答案：解析：由題意可得ab|a|b|cos 3，所以|2a3b|.4. (必修4P89習(xí)題第8(1)題改編)已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為.若向量b1e12e2，b23e14e2，則b1b2_答案：6解析：b1e12e2，b23e14e2，則b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e.因?yàn)閑1，e2為單位向量，e1，e2，所以b1b23283186.5. (必修4P90習(xí)題21改編)已知D是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足()()0

10、，則ABC的形狀是_答案：等腰三角形解析： ()()()0，所以，所以acos Bbcos A，利用余弦定理化簡(jiǎn)得a2b2，即ab，所以ABC是等腰三角形1. 向量數(shù)量積的定義(1) 向量a與b的夾角(2) 已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a|b|cos_叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，并規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2. 向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，是a與b的夾角，則(1) eaae.(2) ab ab0(3) 當(dāng)a與b同向時(shí)，ab|a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab|a|b|；特殊的，aa|a|2或|a|.(4) cos .(5) |a

11、b|a|b|.3. 向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1) 交換律：abba.(2) 分配律：(ab)cacbc.(3) 數(shù)乘結(jié)合律：(a)b(ab)a(b)4. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1) 若非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.故abx1x2y1y20.(2) 設(shè)a(x，y)，則|a|(3) 若向量a(x1，y1)與向量b(x2，y2)的夾角為，則有cos .備課札記,1平面向量數(shù)量積的運(yùn)算),1)(1) (2017第三次全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷)在四邊形ABCD中，O為對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，若|AC|4，12，2，則_(2) 已知邊長(zhǎng)為6的正三角形ABC，AD與BE交于點(diǎn)P

12、，則的值為_(kāi)答案：(1) 0(2) 解析：(1) 因?yàn)?22412，216，24，所以22440.(2) 以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則B(3，0)，C(3，0)，A(0，3)，E(1，2)，P，則的值為.變式訓(xùn)練(2017南通、揚(yáng)州、泰州調(diào)研)如圖，已知ABC的邊BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q.若|3，|5，則()()的值為_(kāi)答案：16解析：由，0，則()()(2)2()() 2 2325216.,2平面向量的平行與垂直問(wèn)題),2)(2017鎮(zhèn)江一模)已知向量m(cos ，1)，n(2，sin )，其中，且mn.(1) 求cos 2的值；(2) 若sin

13、()，且，求角的值解：(解法一)(1) 由mn得，2cos sin 0，sin 2cos ，代入cos2sin21，得5cos21，且，則cos ，sin ，則cos 22cos2121.(2) 由，得，.因?yàn)閟in()，則cos().則sin sin()sin cos()cos sin().因?yàn)椋瑒t.(解法2)(1) 由mn得，2cos sin 0，tan 2，故cos 2cos2sin2.且cos2sin21，則sin ，cos ，則cos 22cos2121.(2) 由，得，.因?yàn)閟in()，則cos().則sin sin()sin cos()cos sin().因?yàn)?，則.變式訓(xùn)練平面直

14、角坐標(biāo)系xOy中，已知向量(6，1)，(x，y)，(2，3)，且.(1) 求x與y之間的關(guān)系式；(2) 若，求四邊形ABCD的面積解：(1) 由題意得(x4，y2)，(x，y)因?yàn)?，所?x4)y(y2)x0，即x2y0.(2) 由題意(x6，y1)，(x2，y3)因?yàn)椋?x6)(x2)(y1)(y3)0，即x2y24x2y150，聯(lián)立解得或當(dāng)時(shí)，(8，0)，(0，4)，S四邊形ABCDACBD16；當(dāng)時(shí)，(0，4)，(8，0)，S四邊形ABCDACBD16.所以四邊形ABCD的面積為16.,3平面向量的模與夾角問(wèn)題),3)(1) 已知平面向量，滿(mǎn)足|1，且與的夾角為120，則的模的取值范

15、圍是_；(2) (2017鹽城模擬)已知|，且1.若點(diǎn)C滿(mǎn)足|1，則|的取值范圍是_答案：(1) (0，(2) 1，1解析：(1) 設(shè)ABC中，a|1，A60，|c，由正弦定理得，則c，即csin C又0sin C1，即c的取值范圍是(0，則的模的取值范圍是(0，(2) 1， AOB.建系可設(shè)A(，0)，B(，)，C(x，y)， (x，y)， (x)2(y)21， C的軌跡是以點(diǎn)M(，)為圓心，1為半徑的圓， OM， |1，1變式訓(xùn)練(1) 已知向量a，b滿(mǎn)足a(4，3)，|b|1，|ab|，則向量a，b的夾角為_(kāi)(2) (2017江陰檢測(cè))已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2

16、，BC1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|3| 的最小值為_(kāi)答案：(1) (2) 5解析：(1) |b|1，|a|5，對(duì)|ab|兩邊平方，得2ab5，2|a|b|cos 5，cos ，則向量a，b的夾角為.(2) (解法1)以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC所在直線為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系設(shè)DCa，DPx， D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)， 3(5，3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值為5.(解法2)設(shè)x(0x1)， (1x)，x，(1x)， 3(34x)，|3|2 22(34x)(34x)2 225(34x

17、)2 225， |3|的最小值為5.,4平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題)典型示例,4)已知m(cos ，sin )，n(，1)，(0，)(1) 若mn，求角的值；(2) 求|mn|的最小值【思維導(dǎo)圖】【規(guī)范解答】 解：(1) 因?yàn)閙(cos ，sin )，n(，1)，且mn，所以cos sin 0，即tan .又(0，)，所以.(2) 因?yàn)閙n(cos ，sin 1)，所以|mn|.因?yàn)?0，)，所以，故當(dāng)時(shí)，|mn|取到最小值1.總結(jié)歸納解決向量與三角函數(shù)綜合問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)向量間的條件，利用數(shù)量積的性質(zhì)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的條件求解，然后利用三角恒等變換或三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題題組練

18、透1. 已知m(cos ，sin )，n(2，1)，若mn1，則sin(2)_答案：解析：由mn2cos sin 1，cos2sin21，且，得cos ，則sincos 212cos2.2. 若向量a(cos ，sin )，b(，1)，則|2ab|的最大值為_(kāi)答案：4解析：因?yàn)橄蛄縜(cos ，sin )，b(，1)，所以|a|1，|b|2，abcos sin ，所以|2ab|24a2b24ab84(cos sin )88cos ，所以|2ab|2的最大值為16，因此|2ab|的最大值為4.3. 在銳角ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(c

19、os B，sin B)，且mn.(1) 求sin A的值；(2) 若a4，b5，ADBC于D，求的值解：(1) 由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因?yàn)?A，所以sin A.(2) 由正弦定理，得，則sin B.因?yàn)?B0，所以m.3. 已知zabi(a，bR，i是虛數(shù)單位)，z1，z2C，定義：D(z)|z|a|b|，D(z1，z2)|z1z2|.給出下列命題： 對(duì)任意zC，都有D(z)0； 若z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則D(z)D(z)恒成立； 若D(z1)D(z2)(z1，z2C)，則z1z2.其中，真命題是_(填序號(hào))答案：解析：若z0，則D(z)0，所以錯(cuò)誤；因?yàn)镈(z)D(abi)|a|b|a|b|D(z)，所以正確；設(shè)z11i，z21i，則有D(z1)D(z2)，但z1z2，所以錯(cuò)誤4. 若復(fù)數(shù)za2i(i為虛數(shù)單位，aR)滿(mǎn)足|z|3，則a的值為_(kāi)答案：解析：|z|3，則a.5. 已知集合A1，2z2，zi，B2，4，i為虛數(shù)單位若AB2，則純虛數(shù)z為_(kāi)答案：2i解析： A1，2z2，zi，B2，4，且AB2 2z22或zi2