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1、廣西柳州市2022年中考數(shù)學(xué) 專題訓(xùn)練06 分類討論思想 1.[xx·聊城]如圖ZT6-1是由8個(gè)全等的矩形組成的大正方形,線段AB的端點(diǎn)都在小矩形的頂點(diǎn)上,如果點(diǎn)P是某個(gè)小矩形的頂點(diǎn),連接PA,PB,那么使△ABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是 (　　) 圖ZT6-1 A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 2.[xx·義烏]如圖ZT6-2,∠AOB=45°,點(diǎn)M,N在邊OA上,OM=x,ON=x+4,點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn),若使P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè),則x的值是　　　　.? 圖ZT6-2 3.[xx·齊齊哈爾]如圖ZT6-3,在等腰三角形紙片ABC中,A

2、B=AC=10,BC=12,沿底邊BC上的高AD剪成兩個(gè)三角形,用這兩個(gè)三角形拼成平行四邊形,則這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)是　　　　.? 圖ZT6-3 4.[xx·綏化]在等腰三角形ABC中,AD⊥BC交直線BC于點(diǎn)D,若AD=BC,則△ABC的頂角的度數(shù)為　　　　.? 5.[xx·安徽]矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部,點(diǎn)E在邊BC上,滿足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,則PE的長(zhǎng)為　　　　　.? 6.[xx·眉山]如圖ZT6-4,拋物線y=ax2+bx-2與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),已知A(3,0),且M1,-是拋物線上一點(diǎn)

3、. 圖ZT6-4 (1)求a,b的值; (2)連接AC,設(shè)點(diǎn)P是y軸上任一點(diǎn),若以P,A,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,求P點(diǎn)的坐標(biāo); (3)若點(diǎn)N是x軸正半軸上且在拋物線內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)(不與O,A重合),過(guò)點(diǎn)N作NH∥AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)H.設(shè)ON=t,△ONH的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式. 7.[xx·煙臺(tái)]如圖ZT6-5①,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,AB=4.矩形OBDC的邊CD=1,延長(zhǎng)DC交拋物線于點(diǎn)E. 圖ZT6-5 (1)求拋物線的表達(dá)式. (2)如圖ZT6-5②,點(diǎn)P是直線EO上方拋物線上

4、的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線EO于點(diǎn)G,作PH⊥EO,垂足為H.設(shè)PH的長(zhǎng)為l,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,求l與m的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出m的取值范圍),并求出l的最大值. (3)如果點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得以M,A,C,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 8.從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線. 圖ZT6-6

5、 (1)如圖ZT6-6①,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°,求證:CD為△ABC的完美分割線. (2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數(shù). (3)如圖②,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長(zhǎng). 參考答案 1.B　[解析] 由圖可知,矩形的長(zhǎng)是寬的2倍,以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形的點(diǎn)P有2個(gè),以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形的點(diǎn)P有1個(gè),∴滿足條件的有3個(gè). 2.0或4-4或4

6、<4 3.10或4或2　[解析] ∵AB=AC=10,BC=12,底邊BC上的高是AD, ∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD=BC=×12=6, ∴AD==8. ∴用這兩個(gè)三角形拼成平行四邊形,可以分三種情況: (1)按照如圖所示的方法拼成平行四邊形, 則這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)是10. (2)按照如圖所示的方法拼成平行四邊形, 則這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)是=4. (3)按照如圖所示的方法拼成平行四邊形, 則這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)是=2. 綜上所述,這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)是10或4或2. 4.30°或90°或150°　[解析

7、] 應(yīng)分下列三種情況求頂角.(1)若角A是頂角,如圖①,AD=BC,則AD=BD,底角為45°,所以頂角為90°;(2)若角A不是頂角,當(dāng)三角形是銳角三角形時(shí),如圖②,則在△ACD中,AD=BC=AC,所以頂角為30°;若三角形是鈍角三角形,如圖③,則∠ACD=30°,所以頂角為150°.故填30°或90°或150°. 5.3或　[解析] 由題意知,點(diǎn)P在線段BD上.(1)如圖所示,若PD=PA,則點(diǎn)P在AD的垂直平分線上,故點(diǎn)P為BD的中點(diǎn),PE⊥BC,故PE∥CD,故PE=DC=3; (2)如圖所示, 若DA=DP,則DP=8,在Rt△BCD中,BD==10,∴BP=BD-D

8、P=2.∵△PBE∽△DBC,∴==,∴PE=CD=. 綜上所述,PE的長(zhǎng)為3或. 6.解:(1)由題意,得 解得 (2)由(1)得,拋物線的關(guān)系式為y=x2-x-2,當(dāng)x=0時(shí),y=-2,∴C(0,-2). ∵以P,A,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,∴分三種情況: ①若AC=AP(如圖①), 由AO⊥CP,得OP=OC=2,∴P1(0,2); ②若CA=CP(如圖②), ∵AC===, ∴P2(0,-2+),P3(0,-2-); ③若AP=PC(如圖③),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,m),則AP=PC=m+2,由勾股定理,得AP2=OP2+OA2,∴(m+2)2=m

9、2+32,解得m=, ∴P40,. 綜上所述,符合條件的點(diǎn)P有4個(gè),坐標(biāo)分別為P1(0,2),P2(0,-2+),P3(0,-2-),P40,. (3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E, ∵拋物線y=x2-x-2的對(duì)稱軸為直線x=1, ∴D(1,0). 又∵tan∠OAC==, ∴=, ∴DE=. ∵NH∥AC,∴△DHN∽△DEA, ∴=,即=, ∴DH=|t-1|. 分兩種情況: ①當(dāng)0

10、7.解:(1)將x=0代入拋物線的解析式,得y=2.∴C(0,2). ∵四邊形OBDC為矩形, ∴OB=CD=1.∴B(1,0). 又∵AB=4,∴A(-3,0). 設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-1). 將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得-3a=2, 解得a=-, ∴拋物線的解析式為y=-x2-x+2. (2)∵點(diǎn)E在CD上,∴yE=2. 將y=2代入拋物線的解析式,得-x2-x+2=2,解得x=0或x=-2. ∴E(-2,2). ∴EC=OC=2,∴∠COE=45°. ∵PG∥y軸, ∴∠PGH=∠COE=45°. 又∵PH⊥OE, ∴PH=PG. 設(shè)直線OE的解析

11、式為y=kx,將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入,得-2k=2,解得k=-1. ∴直線OE的解析式為y=-x. 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,-m2-m+2,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(m,-m). ∴PG=-m2-m+2+m=-m2-m+2. ∴l(xiāng)=×-m2-m+2=-m2-m+=-m+2+. ∴l(xiāng)的最大值為. (3)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-=-1.設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-1,n),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y). ①當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),依據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知=,解得x=-2. 將x=-2代入拋物線的解析式得y=2. ∴M(-2,2). ②當(dāng)AM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),依據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知=, 解得x=

12、2. 將x=2代入拋物線的解析式得y=-×4-×2+2=-. ∴M2,-. ③當(dāng)AN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),依據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知=,解得x=-4. 將x=-4代入拋物線的解析式得y=-. ∴M-4,-. 綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,2)或2,-或-4,-. 8.解:(1)證明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°, ∴△ABC不是等腰三角形, ∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°, ∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD為等腰三角形, ∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC, ∴△BCD∽△BAC, ∴CD是△ABC的

13、完美分割線. (2)①當(dāng)AD=CD時(shí),如圖①,∠ACD=∠A=48°, ∵△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°. ②當(dāng)AD=AC時(shí),如圖②,∠ACD=∠ADC==66°, ∵△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°. ③當(dāng)AC=CD時(shí),如圖③,∠ADC=∠A=48°, ∵△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48°, ∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍去. ∴∠ACB=96°或114°. (3)由已知AC=AD=2, ∵△BCD∽△BAC, ∴=,設(shè)BD=x, ∴()2=x(x+2),∵x>0,∴x=-1, ∵△BCD∽△BAC, ∴==,∴CD=×2=-.