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1、江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題六 應用題講義（含解析）“在考查基礎知識的同時，側(cè)重考查能力”是高考的重要意向，而應用能力的考查又是近幾年能力考查的重點江蘇卷一直在堅持以建模為主所以如何由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的建模過程的探索應是復習的關(guān)鍵應用題的載體很多，前幾年主要考函數(shù)建模，以三角、導數(shù)、不等式知識解決問題.2014年應用考題(2)可以理解為一次函數(shù)模型，也可以理解為條件不等式模型，這樣在建模上增添新意，還是有趣的；2015、2016年應用考題(2)都先構(gòu)造函數(shù)，再利用導數(shù)求解；2016、2017年應用考題是立體幾何模型，2017年應用考題需利用空間中的垂直關(guān)系和解三角形的知識求解；2

2、018年應用考題是三角模型，需利用三角函數(shù)和導數(shù)知識求解題型(一)函數(shù)模型的構(gòu)建及求解主要考查以構(gòu)建函數(shù)模型為背景的應用題，一般常見于經(jīng)濟問題或立體幾何表面積和體積最值問題中.典例感悟例1(2016江蘇高考)現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐PA1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，則倉庫的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6 m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？解(1)由PO12知O1O4PO18.因為A1B1AB6，所以正四棱錐PA1B1

3、C1D1的體積V錐A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積V柱AB2O1O628288(m3)所以倉庫的容積VV錐V柱24288312(m3)(2)設A1B1a m，PO1h m，則0h6，O1O4h.連結(jié)O1B1.因為在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)于是倉庫的容積VV柱V錐a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，從而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍去)當0h2時，V0，V是單調(diào)增函數(shù)；當2h6時，V0，V是單調(diào)減函數(shù)故當h2時，V取得極大值，也是最大值因此，當PO12 m時，倉庫的容積最大方法技

4、巧解函數(shù)應用題的四步驟演練沖關(guān)1(2018蘇錫常鎮(zhèn)二模)某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量w(單位：百千克)與肥料費用x(單位：百元)滿足如下關(guān)系：w4，且投入的肥料費用不超過5百元此外，還需要投入其他成本(如施肥的人工費等)2x百元已知這種水蜜桃的市場售價為16元/千克(即16 百元/百千克)，且市場需求始終供不應求記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為L(x)(單位：百元)(1)求利潤函數(shù)L(x)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)當投入的肥料費用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？解：(1)由題意可得，L(x)16x2x643x(0x5)(2)法一：L(x)643x6767243.

5、當且僅當3(x1)，即x3時取等號故L(x)max43.答：當投入的肥料費用為300元時，種植水蜜桃樹獲得的利潤最大，最大利潤是4 300元. 法二：由(1)可得L(x)3(0x5)，由L(x)0，得x3. 故當x(0,3)時，L(x)0，L(x)在(0,3)上單調(diào)遞增；當x(3,5)時，L(x)0)，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k0)，則年總產(chǎn)值為4k800(4sin cos cos )3k1 600(cos sin cos )8 000k(sin cos cos )，.設f()sin cos cos ，則f()cos2sin2sin (2sin2sin 1)(2sin 1)(sin 1)令

6、f()0，得，當時，f()0，所以f()為增函數(shù)；當時，f()0，所以f()為減函數(shù)所以當時，f()取到最大值答：當時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大方法技巧三角應用題的解題策略(1)解三角應用題是數(shù)學知識在生活中的應用，要想解決好，就要把實際問題抽象概括，建立相應的數(shù)學模型，然后求解(2)解三角應用題常見的兩種情況：實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得

7、出所要求的解(3)三角函數(shù)的值域或最值的求解方法一般有化歸法、換元法、導數(shù)法演練沖關(guān)如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N(異于村莊A)，要求PMPNMN2(單位：千米)記AMN.(1)將AN，AM用含的關(guān)系式表示出來；(2)如何設計(即AN，AM為多長)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離AP最大)?解：(1)由已知得MAN60，AMN，MN2，在AMN中，由正弦定理得，所以ANsin ，AMsin(120)sin(60)(2)在AMP中，由余弦定理可得AP2AM2MP22AMMPc

8、osAMPsin2(60)4sin(60)cos(60)1cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，0120，當且僅當2150270，即60時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小，此時ANAM2.題型(三)與圓有關(guān)的實際應用題主要考查與直線和圓有關(guān)的實際應用題，在航海與建筑規(guī)劃中的實際問題中常見. 典例感悟例3一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l(一條南北方向的直線)3.8海里的A處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍假設緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行(1)若走私船

9、沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使其用最短時間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功；(參考數(shù)據(jù)：sin 17，5.744 6)(2)問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截？并說明理由解(1)設緝私艇在C處與走私船相遇(如圖)，依題意，AC3BC. 在ABC中，由正弦定理得，sinBACsinABC.因為sin 17，所以BAC17.從而緝私艇應向北偏東47方向追擊. 在ABC中，由余弦定理得，cos 120，解得BC1.686 15.又B到邊界線l的距離為3.84sin 301.8.因為1.686 151.8，所以能在領(lǐng)海上成功攔截走私船答：緝私艇應向北偏東47方向追擊(2)法一：如圖

10、，設走私船沿BC方向逃跑，ABC，緝私艇在C處截獲走私船，并設BCa，則AC3a.由余弦定理得(3a)2a2168acos .即cos ，所以sin ，1a2.所以BCcos(120)a(2a2)(a22).令ta2，t，再令tcos ，0180.則BCcos(120)tcos sin sin(30)1.751.8，所以無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截法二：如圖，以A為原點，正北方向所在的直線為y軸建立平面直角坐標系xOy.則B(2,2)，設緝私艇在P(x，y)處(緝私艇恰好截住走私船的位置)與走私船相遇，則3，即3.整理得，22， 所以點P(x，y)的軌跡是以點為圓心，為半

11、徑的圓. 因為圓心到領(lǐng)海邊界線l：x3.8的距離為1.55，大于圓的半徑，所以緝私艇能在領(lǐng)海內(nèi)截住走私船. 答：緝私艇總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截走私船方法技巧與圓有關(guān)應用題的求解策略(1)在與圓有關(guān)的實際應用題中，有些時候，在條件中沒有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中的，要通過分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程), 從而最終可以利用圓的知識來求解，如本例，需通過條件到兩個定點A，B的距離之比為定值3來確定動點(攔截點)的軌跡是圓(2)與直線和圓有關(guān)的實際應用題一般都可以轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系或者轉(zhuǎn)化為直線和圓中的最值問題演練沖關(guān)如圖，半圓AOB是某愛國主義教育基地一景點的平面示意圖，半徑OA的長

12、為1百米為了保護景點，基地管理部門從道路l上選取一點C，修建參觀線路CDEF，且CD，DE，EF均與半圓相切，四邊形CDEF是等腰梯形設DEt百米，記修建每1百米參觀線路的費用為f(t)萬元，經(jīng)測算f(t)(1)用t表示線段EF的長；(2)求修建該參觀線路的最低費用解：(1)法一：設DE與半圓相切于點Q，則由四邊形CDEF是等腰梯形知OQl，DQQE，以OF所在直線為x軸，OQ所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy.由題意得，點E的坐標為， 設直線EF的方程為y1k(k0)，即kxy1tk0.因為直線EF與半圓相切，所以圓心O到直線EF的距離為1，解得k.代入y1k可得，點F的坐標

13、為.所以EF ，即EF(0t2)法二：設EF切圓O于點G，連結(jié)OG，過點E作EHAB，垂足為H.因為EHOG，OFGEFH，GOFHEF，所以RtEHFRtOGF，所以HFFGEFt.由EF21HF212, 解得EF(0t2)答：EF的長為百米(2)設修建該參觀線路的費用為y萬元當0t時，y55，由y50，得y在上單調(diào)遞減所以當t時，y取最小值為32.5.當t2時，y12t，所以y12，因為t0，所以當t時，y0，所以y在上單調(diào)遞減；在(1,2)上單調(diào)遞增所以當t1時，y取最小值為24.5.由知，y取最小值為24.5.答：修建該參觀線路的最低費用為24.5萬元. A組大題保分練1.在一個矩形體

14、育館的一角MAN內(nèi)(如圖所示)，用長為a的圍欄設置一個運動器材儲存區(qū)域，已知B是墻角線AM上的一點，C是墻角線AN上的一點(1)若BCa10，求儲存區(qū)域ABC面積的最大值；(2)若ABAC10，在折線MBCN內(nèi)選一點D，使DBDCa20，求儲存區(qū)域四邊形DBAC面積的最大值解：(1)設ABx，則AC ，所以SABCx 5025，當且僅當x2100x2，即x5時取等號，所以SABC取得最大值為25.(2)由DBDC20知點D在以B，C為焦點的橢圓上因為SABC101050，所以要使四邊形DBAC的面積最大，只需DBC的面積最大，此時點D到BC的距離最大，即D必為橢圓短軸頂點由BC10得短半軸長為

15、5，所以SDBC的最大值為10550.因此四邊形DBAC面積的最大值為100.2.某地擬建一座長為640米的大橋AB，假設橋墩等距離分布，經(jīng)設計部門測算，兩端橋墩A，B造價總共為100萬元，當相鄰兩個橋墩的距離為x米時(其中64x100)，中間每個橋墩的平均造價為 萬元，橋面每1米長的平均造價為萬元(1)試將橋的總造價表示為x的函數(shù)f(x)；(2)為使橋的總造價最低，試問這座大橋中間(兩端橋墩A，B除外)應建多少個橋墩？解：(1)由橋的總長為640米，相鄰兩個橋墩的距離為x米，知中間共有個橋墩，于是橋的總造價f(x)640100，即f(x)xxx1 380xxx1 380(64x100)(2)

16、由(1)可求f(x)xxx，整理得f(x)x(9x280x64080)，由f(x)0，解得x180，x2(舍)，又當x(64,80)時，f(x)0，所以當x80時，橋的總造價最低，此時橋墩數(shù)為17.3如圖所示，有兩條道路OM與ON，MON60，現(xiàn)要鋪設三條下水管道OA，OB，AB(其中A，B分別在OM，ON上)，若下水管道的總長度為3 km.設OAa km，OBb km.(1)求b關(guān)于a的函數(shù)表達式，并指出a的取值范圍；(2)已知點P處有一個污水總管的接口，點P到OM的距離PH為 km，到點O的距離PO為 km，問下水管道AB能否經(jīng)過污水總管的接口點P？若能，求出a的值，若不能，請說明理由解：

17、(1)OAOBAB3，AB3ab.MON60，由余弦定理，得AB2a2b22abcos 60.(3ab)2a2b2ab.整理，得b.由a0，b0,3ab0，及ab3ab，a3abb，b3aba，得0a.綜上，b，0a.(2)以O為原點，OM為x軸，建立如圖所示的直角坐標系PH，PO，點P.假設AB過點P，A(a,0)，B，即B，直線AP方程為y(xa)，即y(xa)將點B代入，得.化簡，得6a210a30.a.a.答：下水管道AB能經(jīng)過污水總管的接口點P，此時a (km)4(2018南京、鹽城二模)在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3 600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個角上

18、切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖)設小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長分別為a厘米和b厘米，其中ab.(1)當a90時，求紙盒側(cè)面積的最大值；(2)試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值解：(1)因為矩形紙板ABCD的面積為3 600，故當a90時，b40，從而包裝盒子的側(cè)面積S2x(902x)2x(402x)8x2260x，x(0,20)因為S8x2260x8(x16.25)22 112.5，故當x16.25時，紙盒側(cè)面積最大，最大值為2 112.5平方厘米(2)包裝盒子的體積V(a2x)(b2x)xxab2(ab)

19、x4x2，x，b60. Vxab2(ab)x4x2x(ab4x4x2)x(3 600240x4x2)4x3240x23 600x，當且僅當ab60時等號成立設f(x)4x3240x23 600x，x(0,30)則f(x)12(x10)(x30)于是當0x10時，f(x)0，所以f(x)在(0,10)上單調(diào)遞增；當10x30時，f(x)0，所以f(x)在(10,30)上單調(diào)遞減因此當x10時，f(x)有最大值f(10)16 000，此時ab60，x10.答：當ab60，x10時紙盒的體積最大，最大值為16 000立方厘米B組大題增分練1(2018常州期末)已知小明(如圖中AB所示)身高1.8米，

20、路燈OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分別與地面交于點A，O.點光源從M發(fā)出，小明在地面上的影子記作AB.(1)小明沿著圓心為O，半徑為3米的圓周在地面上走一圈，求AB掃過的圖形面積；(2)若OA3米，小明從A出發(fā)，以1米/秒的速度沿線段AA1走到A1，OAA1，且AA110米，如圖所示t秒時，小明在地面上的影子長度記為f(t)(單位：米)，求f(t)的表達式與最小值解： (1) 由題意ABOM，OA3，所以OB6.小明在地面上的身影AB掃過的圖形是圓環(huán)，其面積為623227(平方米)(2) 經(jīng)過t秒，小明走到了A0處，身影為A0B0，由(1)知，所以f(t)A0B0OA0，化簡得f

21、(t) ，0t10，當t時，f(t)的最小值為.答：f(t) ，0t10，當t(秒)時，f(t)的最小值為(米)2.(2018南通、泰州一調(diào))如圖，某機械廠要將長6 m，寬2 m的長方形鐵皮ABCD進行裁剪已知點F為AD的中點，點E在邊BC上，裁剪時先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處(點C，D分別落在直線BC下方點M，N處，F(xiàn)N交邊BC于點P)，再沿直線PE裁剪(1)當EFP時，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積；(2)若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大，請給出裁剪方案，并說明理由解：(1)當EFP時，由條件得EFPEFDFEP，所以FPE，即FNBC，所以四邊形MNPE為矩形

22、，此時PNFNPF321 (m)，所以四邊形MNPE的面積SPNMN2(m2). (2)法一：設EFD，由條件，知EFPEFDFEP.所以PF，NPNFPF3，ME3.由得所以四邊形MNPE面積為S(NPME)MN266662 62.當且僅當tan ，即tan ，時取“”此時，(*)成立答：當EFD時，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE的面積最大，最大值為m2. 法二：設BEt m,3t6，則ME6t.因為EFPEFDFEP，所以PEPF，即 tBP.所以BP，NP3PF3PE3(tBP)3t. 由得所以四邊形MNPE面積為S(NPME)MN2662.當且僅當(t3)，即t33時取“”. 此時，(

23、*)成立答：當點E距B點3 m時，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE的面積最大，最大值為(62)m2.3.(2018揚州期末)如圖，射線OA和OB均為筆直的公路，扇形OPQ區(qū)域(含邊界)是一蔬菜種植園，其中P，Q分別在射線OA和OB上經(jīng)測量得，扇形OPQ的圓心角(即POQ)為、半徑為1千米，為了方便菜農(nóng)經(jīng)營，打算在扇形OPQ區(qū)域外修建一條公路MN，分別與射線OA，OB交于M，N兩點，并要求MN與扇形弧相切于點S.設POS(單位：弧度)，假設所有公路的寬度均忽略不計(1) 試將公路MN的長度表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；(2) 試確定的值，使得公路MN的長度最小，并求出其最小值解：(1) 因為MN

24、與扇形弧相切于點S，所以OSMN.在RtOSM中，因為OS1，MOS，所以SMtan .在RtOSN中，NOS，所以SNtan，所以MNtan tan，其中.(2) 法一：(基本不等式) 因為0.令ttan 10，則tan (t1)，所以MN.由基本不等式得MN2，當且僅當t，即t2時取“”此時tan ，由于，故.答：當時，MN的長度最小，為2千米法二：(三角函數(shù)) MN.因為，所以2，故sin1，所以當sin1，即時，MNmin2.答：當時，MN的長度最小，為2千米4.如圖，某城市有一塊半徑為1(單位：百米)的圓形景觀，圓心為C，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路最初規(guī)劃在拐角處(圖中陰影

25、部分)只有一塊綠化地，后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路規(guī)劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB.問：A，B兩點應選在何處可使得小道AB最短？解：法一：如圖，分別由兩條道路所在直線建立直角坐標系xOy，則C(1,1)設A(a,0)，B(0，b)(0a1,0b1)，則直線AB方程為1，即bxayab0.因為AB與圓C相切，所以1.化簡得ab2(ab)20，即ab2(ab)2.因此AB .因為0a1,0b1，所以0ab2，于是AB2(ab)又ab2(ab)22，解得0ab42，或ab42(舍去)所以AB2(ab)2(42)22，當且僅當ab2時取等號，所以AB最小值為22，此時ab2.故當A，B兩點離道路的交點都為2(百米)時，小道AB最短法二：如圖，設圓C與道路1，道路2，AB的切點分別為E，F(xiàn)，D，連結(jié)CE，CA，CD，CB，CF.設DCE，則DCF.在RtCDA中，ADtan.在RtCDB中，BDtan.所以ABADBDtantantan.令ttan，0t1，則ABf(t)tt1222，當且僅當t1時取等號所以AB最小值為22，此時A，B兩點離兩條道路交點的距離是1(1)2.故當A，B兩點離道路的交點都為2(百米)時，小道AB最短