《江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題二 立體幾何 2.3 專(zhuān)題提能—“立體幾何”專(zhuān)題提能課講義（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題二 立體幾何 2.3 專(zhuān)題提能—“立體幾何”專(zhuān)題提能課講義（含解析）（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題二 立體幾何 2.3 專(zhuān)題提能“立體幾何”專(zhuān)題提能課講義（含解析）失誤1因不會(huì)構(gòu)造適當(dāng)?shù)膸缀误w而解題受阻答案點(diǎn)評(píng)學(xué)生對(duì)于本題往往不知道球心的位置而導(dǎo)致不會(huì)解答把該三棱錐補(bǔ)成正方體來(lái)確定球心的位置是求解本題的關(guān)鍵之處，正方體的體對(duì)角線就是外接球直徑.失誤2因不會(huì)利用側(cè)面展開(kāi)圖而解題受阻例2如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB4 cm，AD2 cm，AA13 cm，則在長(zhǎng)方體表面上連結(jié)A，C1兩點(diǎn)的所有曲線長(zhǎng)度最小值為_(kāi)cm.解析將長(zhǎng)方體的面分別展開(kāi)平鋪，當(dāng)四邊形AA1D1D和四邊形DD1C1C在同一平面內(nèi)時(shí)，最小距離為四邊形AA1C1C的對(duì)角線，

2、長(zhǎng)度是；當(dāng)四邊形AA1D1D和四邊形A1B1C1D1在同一平面內(nèi)時(shí)，最小距離為四邊形AB1C1D的對(duì)角線，長(zhǎng)度是；四邊形ABCD和四邊形CDD1C1在同一平面內(nèi)時(shí)，最小距離為四邊形ABC1D1的對(duì)角線，長(zhǎng)度是，所以最小距離是 cm.答案點(diǎn)評(píng)該題考查的是幾何體的表面距離的最值問(wèn)題，結(jié)合平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的直線段是最短的，所以將長(zhǎng)方體的側(cè)面沿著不同的方向展開(kāi)，使得兩個(gè)點(diǎn)落在同一平面內(nèi)，利用勾股定理來(lái)求解，選出最小的那個(gè)，容易出錯(cuò)的地方在于考慮不全面，沿著一個(gè)方向展開(kāi)求得結(jié)果，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以一定要注意應(yīng)該有三條路徑.失誤3因定理表述不嚴(yán)謹(jǐn)而導(dǎo)致丟分例3如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，求證：

3、平面BC1D平面AB1D1.證明BDB1D1，BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1.BD平面AB1D1，同理BC1平面AB1D1.又BDBC1B，BD平面BC1D，BC1平面BC1D，平面BC1D平面AB1D1.點(diǎn)評(píng)在證明面面平行時(shí)，有的同學(xué)喜歡跳步，直接由線線平行得到面面平行，少了由線線平行到線面平行的過(guò)程，在考試中是要被扣分的立體幾何邏輯性非常強(qiáng)，證明時(shí)要嚴(yán)格按照定理的要求來(lái)進(jìn)行書(shū)寫(xiě)，切不可漏條件策略1割補(bǔ)法：求不規(guī)則幾何體的體積 例1如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且ADE，BCF均為正三角形，EFAB，EF2，則該多面體的體積為_(kāi)解析法一：如圖所

4、示，分別過(guò)A，B作EF的垂線AG，BH，垂足分別為G，H.連結(jié)DG，CH，容易求得EGHF.所以AGGDBHHC，SAGDSBHC1，VVEADGVFBHCVAGDBHC21.法二：如圖所示，將該多面體補(bǔ)成一個(gè)斜三棱柱ADEMNF，點(diǎn)F到平面AMND的距離為，則VVADEMNFVFMNCB1211.答案點(diǎn)評(píng)本題中所用的兩種方法實(shí)際上就是求不規(guī)則幾何體體積的兩種基本方法法一是對(duì)不規(guī)則幾何體進(jìn)行分割法二則是在原不規(guī)則幾何體的基礎(chǔ)上補(bǔ)上一個(gè)幾何體，使之成為規(guī)則幾何體.策略2等積法：求三棱錐的體積例2如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAA13，點(diǎn)P在棱CC1上，則三棱錐PABA1的體積為_(kāi)

5、解析三棱錐PABA1的體積為V三棱錐PABA1V三棱錐CABA1V三棱錐A1ABCSABCAA1323.答案點(diǎn)評(píng)等積法包括等面積法和等體積法利用等積法的前提是平面圖形(或立體圖形)的面積(或體積)通過(guò)已知條件可以得到，利用等積法可以求解幾何圖形的高， 特別是在求三角形的高(點(diǎn)到線的距離)或三棱錐的高(點(diǎn)到面的距離)時(shí)，通常采用此法解決問(wèn)題1函數(shù)與方程思想解決立體幾何中的最值問(wèn)題例1如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起D

6、BC，ECA，F(xiàn)AB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐當(dāng)ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為_(kāi)解析法一：由題意可知，折起后所得三棱錐為正三棱錐，當(dāng)ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，設(shè)ABC的邊長(zhǎng)為a(a0)cm，則ABC的面積為a2，DBC的高為5a，則正三棱錐的高為，25a0，0a0，即x42x30，得0x2，則當(dāng)x時(shí)，f(x)f(2)80，V4.所求三棱錐的體積的最大值為4.答案4點(diǎn)評(píng)處理此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形條件建立適當(dāng)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題2高維與低維的轉(zhuǎn)化思想解決幾何體的展開(kāi)問(wèn)題例2如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2 cm，高為5 cm，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出

7、發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為_(kāi)cm.解析將三棱柱沿側(cè)棱AA1展開(kāi)得如圖所示(兩周)因?yàn)檎庵酌孢呴L(zhǎng)為2 cm，高為5 cm，所以AA15 cm，AA12 cm，所以A1A13，即最短路線為13 cm.答案13點(diǎn)評(píng)將空間幾何體中的距離之和的最值問(wèn)題通過(guò)側(cè)面展開(kāi)圖的運(yùn)用轉(zhuǎn)化為平面幾何的最值，這正是降維轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用線面平行問(wèn)題中的常見(jiàn)轉(zhuǎn)化方法典例如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，CC14，M是棱CC1上的一點(diǎn)(1) 求證：BCAM；(2) 若N是AB的中點(diǎn)，且CN平面AB1M，求CM的長(zhǎng)解(1)證明：因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC

8、.因?yàn)锽C平面ABC，所以CC1BC.因?yàn)锳CBC，CC1ACC，CC1平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，所以BC平面ACC1A1.因?yàn)锳M平面ACC1A1，所以BCAM.(2)法一：如圖，取AB1的中點(diǎn)P，連結(jié)NP，PM.因?yàn)镹是AB的中點(diǎn)，所以NPBB1.因?yàn)镃MBB1，所以NPCM，所以NP與CM共面因?yàn)镃N平面AB1M，平面CNPM平面AB1MMP，所以CNMP.所以四邊形CNPM為平行四邊形，所以CMNPBB1CC12.法二：如圖，設(shè)NC與CC1確定的平面交AB1于點(diǎn)P，連結(jié)NP，PM.因?yàn)镃N平面AB1M，CN平面CNPM，平面AB1M平面CNPMPM，所以CNMP.因?yàn)锽B

9、1CM，BB1平面CNPM，CM平面CNPM，所以BB1平面CNPM.又BB1平面ABB1，平面ABB1平面CNPMNP，所以BB1NP，所以CMNP，所以四邊形CNPM為平行四邊形因?yàn)镹是AB的中點(diǎn)，所以CMNPBB1CC12.法三：如圖，取BB1的中點(diǎn)Q，連結(jié)NQ，CQ.因?yàn)镹是AB的中點(diǎn)，所以NQAB1.因?yàn)镹Q平面AB1M，AB1平面AB1M，所以NQ平面AB1M.因?yàn)镃N平面AB1M，NQCNN，NQ平面NQC，CN平面NQC，所以平面NQC平面AB1M.因?yàn)槠矫鍮CC1B1平面NQCQC，平面BCC1B1平面AB1MMB1，所以CQMB1.因?yàn)锽B1CC1，所以四邊形CQB1M是平

10、行四邊形，所以CMB1QBB1CC12.法四：如圖，分別延長(zhǎng)BC，B1M，設(shè)交點(diǎn)為S，連結(jié)AS.因?yàn)镃N平面AB1M，CN平面ABS，平面ABS平面AB1MAS，所以CNAS.由于ANNB，所以BCCS.又因?yàn)镃MBB1，可得SMMB1，所以CMBB1CC12.點(diǎn)評(píng)線面平行無(wú)論是判定定理還是性質(zhì)定理都是需要轉(zhuǎn)化為線線平行常見(jiàn)的方式有構(gòu)造三角形轉(zhuǎn)化為線線平行，構(gòu)造平行四邊形轉(zhuǎn)化為對(duì)邊平行，構(gòu)造面面平行再利用面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行證明課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練A組易錯(cuò)清零練1設(shè)l，m表示直線，m是平面內(nèi)的任意一條直線則“l(fā)m”是“l(fā)”成立的_條件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中選填

11、一個(gè))解析：由lm，m，可得l，l或l與相交，推不出l；由l，m，結(jié)合線面垂直的定義可得lm.故“l(fā)m”是“l(fā)”成立的必要不充分條件答案：必要不充分2在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABADa，AA12，四面體ACB1D1的體積為6，則a_.解析：如圖，VACB1D1VABCDA1B1C1D1VAA1B1D1VB1ABCVD1ADCVCB1C1D12a2a2a26，所以a3.答案：33設(shè)a，b是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題：若ab，a，則b；若a，則a；若a，a，則；若ab，a，b，則.其中正確命題的序號(hào)是_解析：中b可能在平面內(nèi)；中a可能在平面內(nèi)；中因?yàn)閍，a，所以內(nèi)

12、必存在一條直線b與a平行，從而得到b，所以，故正確；因?yàn)閍b，a，所以b或b，故內(nèi)必有一條直線c與b平行，又b，所以c，故，所以正確答案：4.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1平面AB1C1，AA11，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則此三棱柱的體積為_(kāi)解析：因?yàn)锳A1平面AB1C1，AB1平面AB1C1，所以AA1AB1，又知AA11，A1B12，所以AB1，同理可得AC1，又知在AB1C1中，B1C12，所以AB1C1的邊B1C1上的高為h，其面積S2，于是三棱錐AA1B1C1的體積VAA1B1C1VA1AB1C1SAB1C1AA1，進(jìn)而可得此三棱柱ABCA1B1C1的體積V3

13、VAA1B1C13.答案：B組方法技巧練1設(shè)P，A，B，C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA，PB，PC兩兩垂直，且PAPB1，PC2，則球O的表面積是_解析：設(shè)球O的半徑為R.由PA，PB，PC兩兩垂直，所以外接球的直徑是以PA，PB，PC為棱的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，即4R2PA2PB2PC21146，故S球表面積4R26.答案：62在空間中，用a，b，c表示三條不同的直線，表示平面，給出下列四個(gè)命題：若ab，bc，則ac；若ab，bc，則ac；若a，b，則ab；若a，b，則ab.其中真命題的序號(hào)為_(kāi)解析：根據(jù)公理知平行于同一條直線的兩條直線互相平行，正確；根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理知“同垂直一個(gè)平面的兩條直

14、線平行”，知正確；均不恒成立故選.答案：3.如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若各條棱長(zhǎng)均為2，且M為A1C1的中點(diǎn)，則三棱錐MAB1C的體積是_解析：法一：在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，從而AA1B1M.又因?yàn)锽1M是正三角形A1B1C1的中線，所以B1MA1C1，所以B1M平面ACC1A1，則VMAB1CVB1ACMB1M22.法二：VMAB1CVABCA1B1C1VAA1B1MVCC1B1MVB1ABC2222.答案：4.如圖，平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB1，AD2，ADC60，AF.(1)求證：ACBF；(2)求多面體ABCDE

15、F的體積解：(1)證明：AB1，AD2，ADC60，由余弦定理：AC2CD2AD22CDADcos 60142123，于是AD2CD2AC2，ACD90，ABCD，ACAB.又四邊形ACEF是矩形，F(xiàn)AAC，又AFABA，AC平面AFB，又BF平面AFB，ACBF.(2)令多面體ABCDEF的體積為V，VVDACEFVBACEF2VDACEF，又平面ABCD平面ACEF，DCAC，根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理：DC平面ACEF，DC為四棱錐DACEF的高，S矩形ACEF，VDACEF1，V2VDACEF，即多面體ABCDEF的體積為.5.如圖，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC

16、.(1)求證：平面AEC平面ABE；(2)點(diǎn)F在BE上，若DE平面ACF，求 的值解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以ABBC.因?yàn)槠矫鍭BCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，AB平面ABCD，所以AB平面BCE.因?yàn)镋C平面BCE，所以ECAB.因?yàn)镋CBE，AB平面ABE，BE平面ABE，ABBEB，所以EC平面ABE.因?yàn)镋C平面AEC，所以平面AEC平面ABE.(2) 連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)OF.因?yàn)镈E平面ACF，DE平面BDE，平面ACF平面BDEOF，所以DEOF.又因?yàn)榫匦蜛BCD中，O為BD的中點(diǎn)，所以F為BE的中點(diǎn)，即.C組創(chuàng)新應(yīng)用練1下列命題：若直線

17、l平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，直線a在平面內(nèi)，則la；若直線a在平面外，則a；若直線ab，直線b，則a；若直線ab，b，那么直線a就平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線其中真命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)解析：對(duì)于，直線l雖與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行，但l有可能在平面內(nèi)，l不一定平行于a，是假命題；對(duì)于，直線a在平面外，包括兩種情況：a和a與相交，是假命題；對(duì)于，ab，直線b，則只能說(shuō)明a和b無(wú)公共點(diǎn)，但a可能在平面內(nèi)，a不一定平行于，是假命題；對(duì)于，ab，b，那么a或a，a與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行，是真命題. 答案：12.如圖，已知AB為圓O的直徑，C為圓上一動(dòng)點(diǎn)，PA圓O所在的平面，且PAAB2，過(guò)點(diǎn)A作平面PB，分別交

18、PB，PC于E，F(xiàn)，當(dāng)三棱錐PAEF的體積最大時(shí)，tanBAC_.解析：PB平面AEF，AFPB.又ACBC，APBC，BC平面PAC，AFBC，AF平面PBC，AFE90.設(shè)BAC，在RtPAC中，AF，在RtPAB中，AEPE，EF，VPAEFAFEFPEAF，當(dāng)AF1時(shí)，VPAEF取得最大值，此時(shí)AF1，cos ，sin ，tan .答案：3.如圖所示，等腰ABC的底邊AB6，高CD3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B，D的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且EFAB，現(xiàn)沿EF將BEF折起到PEF的位置，使PEAE，記BEx，V(x)表示四棱錐PACFE的體積，則V(x)的最大值為_(kāi)解析：因?yàn)镻EEF，PE

19、AE，EFAEE，所以PE平面ABC.因?yàn)镃DAB，F(xiàn)EAB，所以EFCD，所以，即，所以EF，所以SABC639，SBEFxx2，所以V(x)xx(0x3)因?yàn)閂(x)，所以當(dāng)x(0,6)時(shí)，V(x)0，V(x)單調(diào)遞增；當(dāng)6x3時(shí)，V(x)0，V(x)單調(diào)遞減，因此當(dāng)x6時(shí)，V(x)取得最大值12.答案：124.如圖所示，在RtABC中，AC6，BC3，ABC90，CD為ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE4.如圖所示，將BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，連結(jié)AB，設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)(1)求證：DE平面BCD；(2)若EF平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn)，求三棱錐

20、BDEG的體積解：(1)證明：在題圖中，因?yàn)锳C6，BC3，ABC90，所以ACB60.因?yàn)镃D為ACB的平分線，所以BCDACD30，所以CD2.又因?yàn)镃E4，DCE30，所以DE2.則CD2DE2CE2，所以CDE90，即DECD.在題圖中，因?yàn)槠矫鍮CD平面ACD，平面BCD平面ACDCD，DE平面ACD，所以DE平面BCD.(2)在題圖中，因?yàn)镋F平面BDG，EF平面ABC，平面ABC平面BDGBG，所以EFBG.因?yàn)辄c(diǎn)E在線段AC上，CE4，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，所以AEEGCG2.過(guò)點(diǎn)B作BHCD交于點(diǎn)H.因?yàn)槠矫鍮CD平面ACD，BH平面BCD，所以BH平面ACD.由條件得BH.又S

21、DEGSACDACCDsin 30，所以三棱錐BDEG的體積為VSDEGBH.5.如圖，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D為BC的中點(diǎn)(1)若平面ABC平面BCC1B1，求證：ADDC1；(2)求證：A1B平面ADC1.證明：(1)因?yàn)锳BAC，D為BC的中點(diǎn)，所以ADBC.因?yàn)槠矫鍭BC平面BCC1B1，平面ABC平面BCC1B1BC，AD平面ABC，所以AD平面BCC1B1.因?yàn)镈C1平面BCC1B1，所以ADDC1.(2)如圖，連結(jié)A1C，交AC1于點(diǎn)O，連結(jié)OD，則O為A1C的中點(diǎn)因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)DA1B.因?yàn)镺D平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B平面A

22、DC1.6.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它的上部是底面圓半徑為5 m的圓錐，下部是底面圓半徑為5 m的圓柱，且該倉(cāng)庫(kù)的總高度為5 m經(jīng)過(guò)預(yù)算，制造該倉(cāng)庫(kù)的圓錐側(cè)面、圓柱側(cè)面用料的單價(jià)分別為4百元/m2、1百元/m2.(1)記倉(cāng)庫(kù)的側(cè)面總造價(jià)為y百元：設(shè)圓柱的高為x m，試將y表示為關(guān)于x的函數(shù)yf(x)；設(shè)圓錐母線與其軸所在直線所成角為，試將y表示為關(guān)于的函數(shù)yg()；(2)問(wèn)當(dāng)圓柱的高度為多少時(shí)，該倉(cāng)庫(kù)的側(cè)面總造價(jià)最少？解：(1)由題可知，圓柱的高為x m，且x(0,5)，則該倉(cāng)庫(kù)的側(cè)面總造價(jià)y(25x)1410x20，x(0,5)由題可知，圓錐母線與軸所在直線所成角為，且，則該倉(cāng)庫(kù)的側(cè)面總造價(jià)y1450，.(2) 由，令h()，則h()，由h()0得cos ，又，所以，當(dāng)變化時(shí)，h()，h()的變化情況如表所示.h()0h()極小值所以當(dāng)時(shí)，h()取得最小值，側(cè)面總造價(jià)y最小，此時(shí)圓柱的高度為55 m.當(dāng)圓柱的高度為5 m時(shí)，該倉(cāng)庫(kù)的側(cè)面總造價(jià)最少