《江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題七 隨機變量、空間向量（理）7.1 隨機變量與分布列講義（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題七 隨機變量、空間向量（理）7.1 隨機變量與分布列講義（含解析）（15頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題七 隨機變量、空間向量（理）7.1 隨機變量與分布列講義（含解析）這兩部分內容的教學課時都較多，但高考并非是年年都考，通常是交叉式的隔年考一個內容但2017年兩道必做題一改常規(guī)，既考查空間向量在立體幾何中的應用，又考查概率分布與期望值；既考查運算能力，又考查思維能力.2018年又只考查了空間向量由于考題屬中檔題要求，所以不宜過難立體幾何題應當容易建立空間直角坐標系，以計算空間角為主；概率題是離散型隨機變量及其分布列的均值與方差、n次獨立重復試驗的模型及二項分布這幾個基本知識交叉考查第一講 隨機變量與分布列題型(一)離散型隨機變量的分布列及其期望主要考查特殊事

2、件的概率求解以及分布列與期望的求解.典例感悟例1 (2018無錫期末)某公司有A，B，C，D四輛汽車，其中A車的車牌尾號為0，B，C兩輛車的車牌尾號為6，D車的車牌尾號為5，已知在非限行日，每輛車都有可能出車或不出車其中A，D兩輛汽車每天出車的概率為，B，C兩輛汽車每天出車的概率為，且四輛汽車是否出車是相互獨立的該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下：汽車車牌尾號車輛限行日0和5星期一1和6星期二2和7星期三3和8星期四4和9星期五(1)求該公司在星期四至少有兩輛汽車出車的概率；(2)設X表示該公司在星期一和星期二兩天出車的車輛數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學期望解 (1)記該公司在星期四至少有兩輛汽車出車

3、為事件A，則為該公司在星期四最多有一輛汽車出車P()22C2C2.所以P(A)1P().所以該公司在星期四至少有兩輛汽車出車的概率為.(2)由題意，X的可能值為0,1,2,3,4.P(X0)22；P(X1)C2C2；P(X2)2222CC；P(X3)2C2C；P(X4)22.所以X的分布列為X01234PE(X)234.所以X的數(shù)學期望為. 方法技巧求離散型隨機變量分布列及期望的關鍵和步驟由于離散型隨機變量的數(shù)學期望是根據(jù)其分布列運用相應公式求解，因而解決這種問題的關鍵是求離散型隨機變量的分布列，而分布列是由隨機變量及其相應的概率值構成的，所以這類問題主要就是求隨機變量取各個值的概率具體步驟如

4、下：演練沖關(2018揚州考前調研)某校舉辦校園科技文化藝術節(jié)，在同一時間安排生活趣味數(shù)學和校園舞蹈賞析兩場講座已知A，B兩學習小組各有5位同學，每位同學在兩場講座任意選聽一場若A組1人選聽生活趣味數(shù)學，其余4人選聽校園舞蹈賞析；B組2人選聽生活趣味數(shù)學，其余3人選聽校園舞蹈賞析(1)若從此10人中任意選出3人，求選出的3人中恰有2人選聽校園舞蹈賞析的概率；(2)若從A，B兩組中各任選2人，設X為選出的4人中選聽生活趣味數(shù)學的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望E(X)解：(1)設“選出的3人中恰有2人選聽校園舞蹈賞析”為事件M，則P(M)，故選出的3人中恰有2人選聽校園舞蹈賞析的概率為.(2)X可能

5、的取值為0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的分布列為：X0123P所以X的數(shù)學期望E(X)0123.題型(二)n次獨立重復試驗的模型及二項分布主要考查對n次獨立重復試驗的模型的識別以及二項分布模型公式的應用. 典例感悟例2(2018南京、鹽城一模)某年級星期一至星期五每天下午排3節(jié)課，每天下午隨機選擇1節(jié)作為綜合實踐課(上午不排該課程)，張老師與王老師分別任教甲、乙兩個班的綜合實踐課程(1)求這兩個班“在星期一不同時上綜合實踐課”的概率；(2)設這兩個班“在一周中同時上綜合實踐課的節(jié)數(shù)”為X，求X的概率分布與數(shù)學期望E(X)解(1)這兩個班“在星期一不同時上

6、綜合實踐課”的概率為P1.(2)由題意得XB，P(Xk)Ck5k，k0,1,2,3,4,5.所以X的概率分布為：X012345P所以X的數(shù)學期望為E(X)5. 方法技巧二項分布的分布列及期望問題求解三步驟第一步判斷二項分布先判斷隨機變量是否服從二項分布，即若滿足：對立性：即一次試驗中只有兩種結果“成功”和“不成功”，而且有且僅有一個發(fā)生；重復性：試驗在相同條件下獨立重復地進行n次，保證每一次試驗中成功的概率和不成功的概率都保持不變，則該隨機變量服從二項分布，否則不服從二項分布第二步求概率若該隨機變量服從二項分布，還需要通過古典概型或相互獨立事件的概率計算公式計算出試驗中“成功”“不成功”的概率

7、分別是多少第三步求期望根據(jù)二項分布的分布列列出相應的分布列，再根據(jù)期望公式或二項分布期望公式求期望即可演練沖關(2018蘇北四市三調)將4本不同的書隨機放入編號為1,2,3,4的四個抽屜中(1)求4本書恰好放在四個不同抽屜中的概率；(2)設隨機變量X表示放在2號抽屜中書的本數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望E(X)解：(1)將4本不同的書放入編號為1,2,3,4的四個抽屜中，共有44256種不同放法記“4本書恰好放在四個不同抽屜中”為事件A，則事件A共包含A24個基本事件，所以P(A)，所以4本書恰好放在四個不同抽屜中的概率為.(2)法一：X的所有可能取值為0,1,2,3,4，P(X0)，P(X1)，

8、P(X2)，P(X3)，P(X4).所以X的分布列為X01234P所以X的數(shù)學期望為E(X)012341.法二：每本書放入2號抽屜的概率為P(B)，P()1.根據(jù)題意XB，所以P(Xk)Ck4k，k0,1,2,3,4，所以X的分布列為X01234P所以X的數(shù)學期望為E(X)41.題型(三)概率與其他知識的綜合主要考查與概率或期望有關的綜合問題或在復雜背景下的概率與期望的綜合問題.典例感悟例3(2018南通調研)甲、乙兩人進行圍棋比賽，共比賽2n(nN*)局根據(jù)以往比賽勝負的情況知道，每局甲勝的概率和乙勝的概率均為.如果某人獲勝的局數(shù)多于另一人，則此人贏得比賽記甲贏得比賽的概率為P(n)(1)求

9、P(2)與P(3)的值；(2)試比較P(n)與P(n1)的大小，并證明你的結論解(1)若甲、乙比賽4局甲贏，則甲在4局比賽中至少勝3局，所以P(2)C4C4，同理P(3)C6C6C6.(2)在2n局比賽中甲贏，則甲勝的局數(shù)至少為n1局，故P(n)C2nC2nC2n2n2n2n，所以P(n1).又1，所以，所以P(n)P(n1)方法技巧二項分布與二項式定理的交匯問題，其求解的一般思路是先利用二項分布求其P(n)和P(n1)，然后利用組合數(shù)的性質即可求得，概率還常與數(shù)列、函數(shù)、不等式、數(shù)學歸納法、立體幾何等知識交匯命題演練沖關1(2018常州期末)已知正四棱錐PABCD的側棱和底面邊長相等，在這個

10、正四棱錐的8條棱中任取兩條，按下列方式定義隨機變量的值：若這兩條棱所在的直線相交，則的值是這兩條棱所在直線的夾角大小(弧度制)；若這兩條棱所在的直線平行，則0；若這兩條棱所在的直線異面，則的值是這兩條棱所在直線所成角的大小(弧度制)(1)求P(0)的值；(2)求隨機變量的分布列及數(shù)學期望E()解：根據(jù)題意，該四棱錐的四個側面均為等邊三角形，底面為正方形，容易得到PAC，PBD為等腰直角三角形的可能取值為0，共C28種情況，其中，0時，有2種；時，兩條棱所在直線相交時，4個側面三角形，共43種，兩條棱所在直線異面時，底面一條邊與不相鄰的兩條側棱，共42種，共有342420(種)；時，兩個等腰直角

11、三角形，2種，底面正方形，4種，共有246(種)(1)P(0).(2)P，P.再根據(jù)(1)的結論，隨機變量的分布列為：0PE()0.2(2017江蘇高考)已知一個口袋中有m個白球，n個黑球(m，nN*，n2)，這些球除顏色外完全相同現(xiàn)將口袋中的球隨機地逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3，mn的抽屜內，其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k1,2,3，mn).123mn(1)試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p；(2)隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學期望，證明：E(X).解：(1)編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p為：p.(2)證明：隨機變量X的

12、概率分布為：XP隨機變量X的期望為：E(X).所以E(X)(1CCC)(CCCC)(CCC)(CC)，即E(X)0的解集為R的概率解：(1)由題意知，這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)可能為0,1,2,3,4，對應的未發(fā)芽的種子數(shù)為4,3,2,1,0，所以的所有可能取值為0,2,4，P(0)C22，P(2)C31C13，P(4)C40C04.所以隨機變量的概率分布為024P數(shù)學期望E()024.(2)由(1)知的所有可能取值為0,2,4，當0時，代入x2x10，得10，對xR恒成立，即解集為R；當2時，代入x2x10，得2x22x10，即220，對xR恒成立，即解集為R；當4時，代入x2x10，得4x2

13、4x10，其解集為x，不滿足題意所以不等式x2x10的解集為R的概率PP(0)P(2).B組大題增分練1(2018鎮(zhèn)江期末)某學生參加4門學科的學業(yè)水平測試，每門得A等級的概率都是，該學生各學科等級成績彼此獨立規(guī)定：有一門學科獲A等級加1分，有兩門學科獲A等級加2分，有三門學科獲A等級加3分，四門學科獲A等級則加5分記X1表示該生的加分數(shù)，X2表示該生獲A等級的學科門數(shù)與未獲A等級學科門數(shù)的差的絕對值(1)求X1的數(shù)學期望；(2)求X2的分布列解：(1)記該學生有i門學科獲得A等級為事件Ai，i0,1,2,3,4.X1的可能取值為0,1,2,3,5.則P(Ai)Ci4i，即P(A0)，P(A1

14、)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，則X1的分布列為X101235P所以E(X1)01235.(2)X2的可能取值為0,2,4，則P(X20)P(A2)；P(X22)P(A1)P(A3)；P(X24)P(A0)P(A4).所以X2的分布列為X2024P2.(2018南京、鹽城、連云港二模)甲、乙兩人站在點P處分別向A，B，C三個目標進行射擊，每人向三個目標各射擊一次每人每次射擊每個目標均相互獨立，且兩人各自擊中A，B，C的概率分別為，.(1)設X表示甲擊中目標的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；(2)求甲、乙兩人共擊中目標數(shù)為2個的概率解：(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3

15、.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以隨機變量X的分布列為X0123PX的數(shù)學期望E(X)0123. (2)設Y表示乙擊中目標的個數(shù)，由(1)可知，P(Y0)，P(Y1)，P(Y2).則P(X0，Y2)，P(X1，Y1)，P(X2，Y0)， 所以P(XY2)P(X0，Y2)P(X1，Y1)P(X2，Y0).所以甲、乙兩人共擊中目標的個數(shù)為2的概率為. 3.如圖，設P1，P2，P6為單位圓上逆時針均勻分布的六個點，現(xiàn)任選其中三個不同點構成一個三角形，記該三角形的面積為隨機變量S.(1)求S的概率；(2)求S的分布列及數(shù)學期望E(S)解：(1)從六個點中任選三個不同點構成一個三角形

16、共有C種不同選法，其中S的為有一個角是30的直角三角形(如P1P4P5)，共6212種，所以P.(2)S的所有可能取值為，.S的為頂角是120的等腰三角形(如P1P2P3)，共6種，所以P.S的為等邊三角形(如P1P3P5)，共2種，所以P.又由(1)知P，故S的分布列為SP所以E(S).4一個摸球游戲，規(guī)則如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個大小相同、顏色各異的玻璃球參加者交費1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次參加者預先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球當所指定的玻璃球不出現(xiàn)時，游戲費被沒收；當所指定的玻璃球出現(xiàn)1次，2次，3次時，參加者可相應獲得游戲費的0倍，1倍，k倍的獎勵(kN*)，且游戲費仍退還給參加者記參加者玩1次游戲的收益為X元(1)求概率P(X0)的值；(2)為使收益X的數(shù)學期望不小于0元，求k的最小值解：(1)事件“X0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出現(xiàn)1次”，則P(X0)32.(2)依題意得，X的可能值為k，1,1,0，且P(Xk)3，P(X1)3，P(X1)32，結合(1)知，參加游戲者的收益X的數(shù)學期望為E(X)k(1)1，為使收益X的數(shù)學期望不小于0元，所以k110，即kmin110.故k的最小值為110.