《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 5 第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 5 第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學(xué)案（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第5講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1根式(1)根式的概念若xna，則x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)a的n次方根的表示：xna(2)根式的性質(zhì)()na(nN*，且n1)2有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a(a0，m，nN*，且n1)；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)函數(shù)yax(a0，且a1)圖象0a1圖象特征在x軸上方，過定點(0

2、，1)當(dāng)x逐漸增大時，圖象逐漸下降當(dāng)x逐漸增大時，圖象逐漸上升性質(zhì)定義域R值域(0，)單調(diào)性減增函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x0時，y1當(dāng)x1；當(dāng)x0時，0y1當(dāng)x0時，0y0時，y14.指數(shù)函數(shù)的變化特征在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出指數(shù)函數(shù)yax，ybx，ycx，ydx(a1，b1，0c1，0d1)的圖象，如圖所示作出直線x1，分別與四個圖象自上而下交于點A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，得到底數(shù)的大小關(guān)系是：ab1cd0.根據(jù)y軸右側(cè)的圖象，也可以利用口訣：“底大圖高”來記憶疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)()na.()(2)(1)(1).()(3)函數(shù)y

3、ax是R上的增函數(shù)()(4)函數(shù)yax21(a1)的值域是(0，)()(5)函數(shù)y2x1是指數(shù)函數(shù)()(6)若am0，且a1)，則mn.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)教材衍化1(必修1P59A組T4改編)化簡(x0，y0)_解析：因為x0，y0且a1)的圖象恒過定點A，則A的坐標(biāo)為_解析：令x20，則x2，f(2)3，即A的坐標(biāo)為(2，3)答案：(2，3)易錯糾偏(1)忽略n的范圍導(dǎo)致式子(aR)化簡出錯；(2)不能正確理解指數(shù)函數(shù)的概念致錯；(3)指數(shù)函數(shù)問題時刻注意底數(shù)的兩種情況；(4)復(fù)合函數(shù)問題容易忽略指數(shù)函數(shù)的值域致錯1計算_解析：(1)(1)2.答案：22若函數(shù)f(

4、x)(a23)ax為指數(shù)函數(shù)，則a_解析：由題意知即a2.答案：23若函數(shù)f(x)ax在1，1上的最大值為2，則a_解析：當(dāng)a1時，a2；當(dāng)0a0且21.答案：(0，1)(1，)指數(shù)冪的運算 化簡下列各式：(1)22(0.01)0.5；(2)ab2(a，b0)【解】(1)原式111.(2)原式ab3ab3ab.指數(shù)冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數(shù)運算(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)(3)底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答提醒運算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)

5、指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式力求統(tǒng)一 化簡下列各式：(1)(0.027)；(2).解：(1)原式0.32 .(2)原式.指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 (1)函數(shù)f(x)21x的大致圖象為()(2)函數(shù)f(x)|axb|(a0，a1，bR)的圖象如圖所示，則ab的取值范圍是_(3)若方程|3x1|k有一解，則k的取值范圍為_【解析】(1)函數(shù)f(x)21x2，單調(diào)遞減且過點(0，2)，選項A中的圖象符合要求(2)因為根據(jù)圖象得a1，f()0，b10.(3)函數(shù)y|3x1|的圖象是由函數(shù)y3x的圖象向下平移一個單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示當(dāng)k0或k

6、1時，直線yk與函數(shù)y|3x1|的圖象有唯一的交點，所以方程有一解【答案】(1)A(2)(0，)(3)01，)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象的4個技巧(1)畫指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0，1)，.(2)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點，判斷所給的圖象是否過這些點，若不滿足則排除(3)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論(4)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解 1函數(shù)y(a1)的圖象大致是()解析：選B.y因為

7、a1，依據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象特征可知選B.2若函數(shù)y21xm的圖象不經(jīng)過第一象限，則m的取值范圍為_解析：ym，函數(shù)y的圖象如圖所示，則要使其圖象不經(jīng)過第一象限，則m2.答案：(，2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(高頻考點)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)主要是其單調(diào)性，特別受到高考命題專家的青睞，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)主要命題角度有：(1)比較指數(shù)式的大?。?2)解簡單的指數(shù)方程或不等式；(3)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；(4)函數(shù)的值域(最值)角度一比較指數(shù)式的大小 設(shè)a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()Aabc BacbCbac Dbca【解析】因為函數(shù)y0.6x是減函數(shù)，00.60

8、.60.60.61.5，即ba0，所以1.50.61.501，即c1.綜上，bac.【答案】C角度二解簡單的指數(shù)方程或不等式 設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)1，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，3) B(1，)C(3，1) D(，3)(1，)【解析】當(dāng)a0時，不等式f(a)1可化為71，即8，即，因為03，此時3a0；當(dāng)a0時，不等式f(a)1可化為1，所以0a0，a1)在區(qū)間1，1上的最大值是14，則a的值為()A. B1C3 D.或3【解析】令axt，則ya2x2ax1t22t1(t1)22.當(dāng)a1時，因為x1，1，所以t，又函數(shù)y(t1)22在上單調(diào)遞增，所以ymax(a1)2214，解得a3(負(fù)

9、值舍去)當(dāng)0a1時，因為x1，1，所以t，又函數(shù)y(t1)22在上單調(diào)遞增，則ymax214，解得a(負(fù)值舍去)綜上知a3或a.【答案】D有關(guān)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的問題類型及解題思路(1)比較指數(shù)冪大小問題，常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值(0或1)(2)求解簡單的指數(shù)不等式問題，應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時進行分類討論(3)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問題歸結(jié)為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決提醒在研究指數(shù)型函數(shù)單

10、調(diào)性時，當(dāng)?shù)讛?shù)與“1”的大小關(guān)系不明確時，要分類討論 1已知函數(shù)f(x)axb(a0，a1)的定義域和值域都是1，0，則ab_解析：當(dāng)a1時，函數(shù)f(x)axb在1，0上為增函數(shù)，由題意得無解當(dāng)0a1時，函數(shù)f(x)axb在1，0上為減函數(shù)，由題意得解得所以ab.答案：2已知函數(shù)f(x)的值域是8，1，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)0x4時，f(x)8，1，當(dāng)ax0時，f(x)，所以8，1，即81，即3a1.73 B0.610.62C0.80.11.250.2 D1.70.30.93.1解析：選B.A中，因為函數(shù)y1.7x在R上是增函數(shù)，2.53，所以1.72.51.73.B中，因為y0.6x

11、在R上是減函數(shù)，10.62.C中，因為0.811.25，所以問題轉(zhuǎn)化為比較1.250.1與1.250.2的大小因為y1.25x在R上是增函數(shù)，0.10.2，所以1.250.11.250.2，即0.80.11，00.93.10.93.1.4(2020寧波效實中學(xué)高三質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)a|2x4|(a0，a1)滿足f(1)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A(，2 B2，)C2，) D(，2解析：選B.由f(1)得a2.又a0，所以a，因此f(x).因為g(x)|2x4|在2，)上單調(diào)遞增，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是2，)5已知函數(shù)yf(x)與yF(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，當(dāng)函數(shù)yf(x)和yF

12、(x)在區(qū)間a，b同時遞增或同時遞減時，把區(qū)間a，b叫作函數(shù)yf(x)的“不動區(qū)間”，若區(qū)間1，2為函數(shù)y|2xt|的“不動區(qū)間”，則實數(shù)t的取值范圍是()A(0，2 B.C. D.解析：選C.因為函數(shù)yf(x)與yF(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以F(x)f(x)|2xt|，因為區(qū)間1，2為函數(shù)f(x)|2xt|的“不動區(qū)間”，所以函數(shù)f(x)|2xt|和函數(shù)F(x)|2xt|在1，2上單調(diào)性相同，因為y2xt和函數(shù)y2xt的單調(diào)性相反，所以(2xt)(2xt)0在1，2上恒成立，即1t(2x2x)t20在1，2上恒成立，即2xt2x在1，2上恒成立，即t2，故答案為C.6指數(shù)函數(shù)yf(x)的

13、圖象經(jīng)過點(m，3)，則f(0)f(m)_解析：設(shè)f(x)ax(a0且a1)，所以f(0)a01.且f(m)am3.所以f(0)f(m)1am1.答案：7(2020杭州中學(xué)高三月考)已知exx3x10，27y33y10，則ex3y的值為_解析：因為exx3x10，27y33y10等價于e3y(3y)3(3y)10，所以x3y，即x3y0，所以ex3ye01.答案：18若函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：依題意，a應(yīng)滿足解得a.答案：9當(dāng)x(，1時，不等式(m2m)4x2x0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：原不等式變形為m2m，因為函數(shù)y在(，1上是減函數(shù)，所以2，當(dāng)x

14、(，1時，m2m恒成立等價于m2m2，解得1m0，a1，bR)(1)若f(x)為偶函數(shù)，求b的值；(2)若f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，試求a，b應(yīng)滿足的條件解：(1)因為f(x)為偶函數(shù)，所以對任意的xR，都有f(x)f(x)，即a|xb|a|xb|，|xb|xb|，解得b0.(2)記h(x)|xb|當(dāng)a1時，f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，即h(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，所以b2，b2.當(dāng)0a1且b2.綜合題組練1已知函數(shù)f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0C2a2c D2a2c2解析：選D.作出函數(shù)f(x)|2x1|的圖象

15、，如圖，因為abf(c)f(b)，結(jié)合圖象知，0f(a)1，a0，所以02a1.所以f(a)|2a1|12a1，所以f(c)1，所以0c1.所以12cf(c)，所以12a2c1，所以2a2c0，且a1，b0)的圖象經(jīng)過點P(1，3)，如圖所示，則的最小值為_，此時a，b的值分別為_解析：由函數(shù)yaxb(a0且a1，b0)的圖象經(jīng)過點P(1，3)，得ab3，所以1，又a1，則22，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b時取等號，所以的最小值為.答案：，4(2020紹興一中高三期中)已知函數(shù)f(x)e|x|，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移3個單位后，再向上平移2個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，函數(shù)h(x)若對于任意的x

16、3，(3)，都有h(x)g(x)，則實數(shù)的最大值為_解析：依題意，g(x)f(x3)2e|x3|2，在同一坐標(biāo)系中分別作出g(x)，h(x)的圖象如圖所示，觀察可得，要使得h(x)g(x)，則有4e6x2e(x3)2，故4e2x9，解得2x9ln 4，故xln 2，實數(shù)的最大值為ln 2.答案：ln 25已知函數(shù)f(x)2a4x2x1.(1)當(dāng)a1時，求函數(shù)f(x)在x3，0上的值域；(2)若關(guān)于x的方程f(x)0有解，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時，f(x)24x2x12(2x)22x1，令t2x，x3，0，則t.故y2t2t12，t，故值域為.(2)關(guān)于x的方程2a(2x)22x10有解

17、，設(shè)2xm0，等價于方程2am2m10在(0，)上有解，記g(m)2am2m1，當(dāng)a0時，解為m10，不成立當(dāng)a0時，開口向下，對稱軸m0時，開口向上，對稱軸m0，過點(0，1)，必有一個根為正，綜上得a0.6(2020寧波效實中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)，x1，1，函數(shù)g(x)f(x)22af(x)3的最小值為h(a)(1)求h(a)；(2)是否存在實數(shù)m，n同時滿足下列條件：mn3；當(dāng)h(a)的定義域為n，m時，值域為n2，m2？若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由解：(1)因為x1，1，所以f(x)，設(shè)t.則y(t)t22at3(ta)23a2.當(dāng)a3時，yminh(a)(3)126a.所以h(a)(2)假設(shè)存在m，n滿足題意因為mn3，h(a)126a在(3，)上是減函數(shù)，又因為h(a)的定義域為n，m，值域為n2，m2，所以兩式相減得6(mn)(mn)(mn)，即mn6，與mn3矛盾，所以滿足題意的m，n不存在16