《(浙江專用)2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 3 第3講 等比數(shù)列及其前n項和教學(xué)案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專用)2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 3 第3講 等比數(shù)列及其前n項和教學(xué)案(20頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3講等比數(shù)列及其前n項和1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示,定義的表達(dá)式為q(q0,nN*)(2)等比中項如果a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項即:G是a與b的等比中項G2ab“a,G,b成等比數(shù)列”是“G是a與b的等比中項”的充分不必要條件2等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式:ana1qn1(2)前n項和公式:Sn3等比數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列an是等比數(shù)列,Sn是其前n項和(m,n,p,q,r,kN*)(1)若mnpq2r,則amanapaqa;(
2、2)數(shù)列am,amk,am2k,am3k,仍是等比數(shù)列;(3)數(shù)列Sm,S2mSm,S3mS2m,仍是等比數(shù)列(此時an的公比q1)4等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)q1,a10或0q1,a11,a10或0q0時,an是遞減數(shù)列;當(dāng)q1時,an是常數(shù)列5等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系當(dāng)q1時,anqn,可以看成函數(shù)ycqx,是一個不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積,因此數(shù)列an各項所對應(yīng)的點都在函數(shù)ycqx的圖象上疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的比都是常數(shù),則這個數(shù)列是等比數(shù)列()(2)三個數(shù)a,b,c成等比數(shù)列的充要條件是b2ac.()(3)滿足an1qan
3、(nN*,q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列()(4)如果an為等比數(shù)列,bna2n1a2n,則數(shù)列bn也是等比數(shù)列()(5)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項()答案:(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(必修5P54A組T8改編)在3與192中間插入兩個數(shù),使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列,則這兩個數(shù)為_解析:設(shè)該數(shù)列的公比為q,由題意知,1923q3,q364,所以q4.所以插入的兩個數(shù)分別為3412,12448.答案:12,482(必修5P51例3改編)已知an是等比數(shù)列,a22,a5,則公比q_解析:由題意知q3,所以q.答案:3(必修5P61A組T1改編)等比數(shù)列an的首項a11,前n項和為S
4、n,若,則an的通項公式an_解析:因為,所以,因為S5,S10S5,S15S10成等比數(shù)列,且公比為q5,所以q5,q,則an1.答案:易錯糾偏(1)忽視項的符號判斷;(2)忽視公比q1的特殊情況;(3)忽視等比數(shù)列的項不為0.1在等比數(shù)列an中,a34,a716,則a3與a7的等比中項為_解析:設(shè)a3與a7的等比中項為G,因為a34,a716,所以G241664,所以G8.答案:82數(shù)列an的通項公式是anan(a0),則其前n項和Sn_解析:因為a0,anan,所以an是以a為首項,a為公比的等比數(shù)列當(dāng)a1時,Snn;當(dāng)a1時Sn.答案:3已知x,2x2,3x3是一個等比數(shù)列的前三項,則
5、x的值為_解析:因為x,2x2,3x3是一個等比數(shù)列的前三項,所以(2x2)2x(3x3),即x25x40,解得x1或x4.當(dāng)x1時,數(shù)列的前三項為1,0,0,不是等比數(shù)列,舍去答案:4等比數(shù)列的基本運算(高頻考點)等比數(shù)列的基本運算是高考的常考內(nèi)容,題型既有選擇題、填空題,也有解答題,難度為中、低檔題主要命題角度有:(1)求首項a1、公比q或項數(shù)n;(2)求通項或特定項;(3)求前n項和角度一求首項a1、公比q或項數(shù)n(1)已知S3a210a1,a59,則a1等于()A. BC. D(2)設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列,前n項和為Sn,若S33a3,則公比q_【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由
6、S3a210a1,得a1a2a3a210a1,即a39a1,q29,又a5a1q49,所以a1.(2)當(dāng)q1時,3a1q2,解得q1(舍去)或.當(dāng)q1時,S3a1a2a33a3也成立【答案】(1)C(2)1或角度二求通項或特定項已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11,a(2an11)an2an10,則an_【解析】由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1)因為an的各項都為正數(shù),所以.故an是首項為1,公比為的等比數(shù)列,因此an.【答案】角度三求前n項和(2020溫州模擬)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列,a1a49,a2a38,則數(shù)列an的前n項和等于_【解析】設(shè)等比數(shù)列的
7、公比為q,則有解得或又an為遞增數(shù)列,所以所以Sn2n1.【答案】2n1解決等比數(shù)列有關(guān)問題的三種常見思想方法(1)方程思想:等比數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q,問題可迎刃而解(2)分類討論思想:因為等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,所以當(dāng)某一參數(shù)為公比進(jìn)行求和時,就要對參數(shù)是否為1進(jìn)行分類討論(3)整體思想:應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時,常把qn或當(dāng)成整體進(jìn)行求解 1設(shè)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù),其前n項和為Sn,若a11,a34,Sk63,則k()A4 B5C6 D7解析:選C.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由已知a11
8、,a34,得q24.又an的各項均為正數(shù),所以q2.而Sk63,所以2k163,解得k6.2(2020紹興市柯橋區(qū)高三期中考試)已知正數(shù)數(shù)列an的前n項和Sn滿足:Sn和2的等比中項等于an和2的等差中項,則a1_,Sn_解析:由題意知,平方可得Sn,由a1S1得,從而可解得a12.又由式得Sn1(n2),可得anSnSn1(n2),整理得(anan1)(anan14)0,因為數(shù)列an的各項都是正數(shù),所以anan140,即anan14.故數(shù)列an是以2為首項4為公差的等差數(shù)列,所以Sn2n42n2.當(dāng)n1時,S1a12.故Sn2n2.答案:22n2等比數(shù)列的判定與證明(1)已知等比數(shù)列an的前
9、n項和為Sn,若a212,a3a54,則下列說法正確的是()Aan是單調(diào)遞減數(shù)列BSn是單調(diào)遞減數(shù)列Ca2n是單調(diào)遞減數(shù)列DS2n是單調(diào)遞減數(shù)列(2)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,nN*.已知a11,a2,a3,且當(dāng)n2時,4Sn25Sn8Sn1Sn1.求a4的值;證明:為等比數(shù)列【解】(1)選C.由于an是等比數(shù)列,則a3a5a4,又a212,則a40,a42,q2,當(dāng)q時,an和Sn不具有單調(diào)性,選項A和B錯誤;a2na2q2n212單調(diào)遞減,選項C正確;當(dāng)q時,S2n不具有單調(diào)性,選項D錯誤(2)當(dāng)n2時,4S45S28S3S1,即4(1a4)581,解得a4.證明:由4Sn25Sn8Sn
10、1Sn1(n2),得4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2),即4an2an4an1(n2)因為 4a3a14164a2,所以4an2an4an1,所以,所以數(shù)列是以a2a11為首項,為公比的等比數(shù)列 (變問法)在本例(2)條件下,求數(shù)列an的通項公式解:由本例(2)的知,an1an,即4.所以數(shù)列是以2為首項,4為公差的等差數(shù)列,所以24(n1)4n2,即an(2n1),所以數(shù)列an的通項公式為an(2n1).等比數(shù)列的判定方法(1)定義法:若q(q為非零常數(shù))或q(q為非零常數(shù)且n2),則an是等比數(shù)列(2)中項公式法:若數(shù)列an中an0且aanan2(nN*),則數(shù)列an是等比數(shù)
11、列(3)通項公式法:若數(shù)列的通項公式可寫成ancqn1(c,q均為不為0的常數(shù),nN*),則an是等比數(shù)列(4)前n項和公式法:若數(shù)列an的前n項和Snkqnk(k為常數(shù)且k0,q0,1),則an是等比數(shù)列提醒(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法,常用于證明;后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定(2)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列,則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可 (2020瑞安市龍翔中學(xué)高三月考)各項為正的數(shù)列an滿足a1,an1an(nN*)(1)取an1,求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求其公比;(2)取2時令bn,記數(shù)列bn的前n項和為Sn,數(shù)列bn的前n項之積為Tn,求證:對任意正
12、整數(shù)n,2n1TnSn為定值解:(1)由an1,得an1an,所以aan1ana0.兩邊同除a可得:10,解得.因為an0,所以為常數(shù),故數(shù)列是等比數(shù)列,公比為.(2)證明:當(dāng)2時,an1an,得2an1an(an2),所以bn.所以Tnb1b2bn,又bn,所以Snb1b2bn2,故2n1TnSn2n122為定值等比數(shù)列的性質(zhì)(高頻考點)等比數(shù)列的性質(zhì)是高考的熱點,多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),其難度為中等主要命題角度有:(1)等比數(shù)列項的性質(zhì)的應(yīng)用;(2)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用角度一等比數(shù)列項的性質(zhì)的應(yīng)用(1)在等比數(shù)列an中,a3,a15是方程x26x80的根,則的值為()A2 B
13、4C2或2 D4或4(2)(2020溫州八校聯(lián)考)數(shù)列an的通項公式為an2n1,則使不等式aaa52n1成立的n的最大值為()A2 B3C4 D5【解析】(1)因為a3,a15是方程x26x80的根,所以a3a158,a3a156,易知a3,a15均為正,由等比數(shù)列的性質(zhì)知,a1a17aa3a158,所以a92,2,故選A.(2)因為an2n1,a4n1,所以aaa(4n1)因為aaa52n1,所以(4n1)52n1,因為2n(2n30)0時,S31q123,當(dāng)且僅當(dāng)q1時,等號成立;當(dāng)公比q0 Da1S30解析:選C.選項A,數(shù)列1,1,1為等比數(shù)列,但a1a322a22,故B錯誤;選項D
14、,數(shù)列1,1,1為等比數(shù)列,但a1S310,故D錯誤;對于選項C,a1(a1a2a3)a1(a1a1qa1q2)a(1qq2),因為等比數(shù)列的項不為0,故a0,而1qq20,故a(1qq2)0,故C正確5(2020鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列an滿足a1a2a3an2n2(nN*),且對任意nN*都有t,則實數(shù)t的取值范圍為()A(,) B,)C(,) D,)解析:選D.依題意得,當(dāng)n2時,an2n2(n1)222n1,又a1212211,因此an22n1,數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,等比數(shù)列的前n項和等于(1)0)()A若b7a6,則b4b10a3a9B若b7a6,則b4b10a3a
15、9C若b6a7,則b3b9a4a10D若b6a7,則b3b9a4a10解析:選C.因為數(shù)列an是等差數(shù)列,數(shù)列bn是等比數(shù)列(bn0),在A中,因為b7a6,b4b1022b7,a3a92a6,所以b4b10a3a9不一定成立,故A錯誤;在B中,因為b7a6,b4b1022b7,a3a92a6,所以b4b10a3a9不一定成立,故B錯誤;在C中,因為b6a7,所以b3b922b6,a4a102a7,所以b3b9a4a10,故C正確;在D中,因為b6a7,所以b3b922b6,a4a102a7,所以b3b9a4a10不一定成立,故D錯誤3已知直線ln:yx與圓Cn:x2y22ann交于不同的兩點
16、An,Bn,nN*,數(shù)列an滿足:a11,an1|AnBn|2,則數(shù)列an的通項公式為_解析:圓Cn的圓心到直線ln的距離dn,半徑rn,故an1|AnBn|2rd2an,故數(shù)列an是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,故an2n1(nN*)答案:an2n1(nN*)4設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a1,且對任意正整數(shù)m,n都有amnaman,若Sna恒成立,則實數(shù)a的最小值為_解析:因為amnaman,令m1得an1a1an,即a1,所以an為等比數(shù)列,所以an,所以Sn0知,A(n),B(n),C(n)均大于0,于是q,q,即q,所以三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列;
17、(充分性):若對任意nN*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列,則B(n)qA(n),C(n)qB(n),于是C(n)B(n)qB(n)A(n),即an2a2q(an1a1),亦即an2qan1a2qa1.由n1時,B(1)qA(1),即a2qa1,從而an2qan10.因為an0,所以q.故數(shù)列an是首項為a1,公比為q的等比數(shù)列綜上所述,數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意nN*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列6(2020杭州市七校高三聯(lián)考)已知等比數(shù)列an的公比為q(0q1),且a2a5,a3a4.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若bnan(log2an),求bn的前n項和Tn;(3)設(shè)該等比數(shù)列an的前n項和為Sn,正整數(shù)m,n滿足a5,解得a21,a5,由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a5a2q3,解得q,ana2,所以數(shù)列an的通項公式為an.(2)由(1)可知bnan(log2an),bn的前n項和Tnb1b2b3bn20,Tn10,兩式相減可得Tn111,所以Tn.(3)因為Sn4,由22n(4m)6,2n(4m)為偶數(shù),因此只能取2n(4m)4,所以有或或.20