《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 3 第3講 等比數(shù)列及其前n項和教學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 3 第3講 等比數(shù)列及其前n項和教學(xué)案（20頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3講等比數(shù)列及其前n項和1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為q(q0，nN*)(2)等比中項如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項即：G是a與b的等比中項G2ab“a，G，b成等比數(shù)列”是“G是a與b的等比中項”的充分不必要條件2等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：ana1qn1(2)前n項和公式：Sn3等比數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是其前n項和(m，n，p，q，r，kN*)(1)若mnpq2r，則amanapaqa；(

2、2)數(shù)列am，amk，am2k，am3k，仍是等比數(shù)列；(3)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比數(shù)列(此時an的公比q1)4等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)q1，a10或0q1，a11，a10或0q0時，an是遞減數(shù)列；當(dāng)q1時，an是常數(shù)列5等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系當(dāng)q1時，anqn，可以看成函數(shù)ycqx，是一個不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，因此數(shù)列an各項所對應(yīng)的點都在函數(shù)ycqx的圖象上疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的比都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等比數(shù)列()(2)三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2ac.()(3)滿足an1qan

3、(nN*，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列()(4)如果an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列()(5)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(必修5P54A組T8改編)在3與192中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為_解析：設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，1923q3，q364，所以q4.所以插入的兩個數(shù)分別為3412，12448.答案：12，482(必修5P51例3改編)已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則公比q_解析：由題意知q3，所以q.答案：3(必修5P61A組T1改編)等比數(shù)列an的首項a11，前n項和為S

4、n，若，則an的通項公式an_解析：因為，所以，因為S5，S10S5，S15S10成等比數(shù)列，且公比為q5，所以q5，q，則an1.答案：易錯糾偏(1)忽視項的符號判斷；(2)忽視公比q1的特殊情況；(3)忽視等比數(shù)列的項不為0.1在等比數(shù)列an中，a34，a716，則a3與a7的等比中項為_解析：設(shè)a3與a7的等比中項為G，因為a34，a716，所以G241664，所以G8.答案：82數(shù)列an的通項公式是anan(a0)，則其前n項和Sn_解析：因為a0，anan，所以an是以a為首項，a為公比的等比數(shù)列當(dāng)a1時，Snn；當(dāng)a1時Sn.答案：3已知x，2x2，3x3是一個等比數(shù)列的前三項，則

5、x的值為_解析：因為x，2x2，3x3是一個等比數(shù)列的前三項，所以(2x2)2x(3x3)，即x25x40，解得x1或x4.當(dāng)x1時，數(shù)列的前三項為1，0，0，不是等比數(shù)列，舍去答案：4等比數(shù)列的基本運算(高頻考點)等比數(shù)列的基本運算是高考的常考內(nèi)容，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度為中、低檔題主要命題角度有：(1)求首項a1、公比q或項數(shù)n；(2)求通項或特定項；(3)求前n項和角度一求首項a1、公比q或項數(shù)n(1)已知S3a210a1，a59，則a1等于()A. BC. D(2)設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列，前n項和為Sn，若S33a3，則公比q_【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由

6、S3a210a1，得a1a2a3a210a1，即a39a1，q29，又a5a1q49，所以a1.(2)當(dāng)q1時，3a1q2，解得q1(舍去)或.當(dāng)q1時，S3a1a2a33a3也成立【答案】(1)C(2)1或角度二求通項或特定項已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，a(2an11)an2an10，則an_【解析】由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1)因為an的各項都為正數(shù)，所以.故an是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an.【答案】角度三求前n項和(2020溫州模擬)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1a49，a2a38，則數(shù)列an的前n項和等于_【解析】設(shè)等比數(shù)列的

7、公比為q，則有解得或又an為遞增數(shù)列，所以所以Sn2n1.【答案】2n1解決等比數(shù)列有關(guān)問題的三種常見思想方法(1)方程思想：等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解(2)分類討論思想：因為等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，所以當(dāng)某一參數(shù)為公比進(jìn)行求和時，就要對參數(shù)是否為1進(jìn)行分類討論(3)整體思想：應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，常把qn或當(dāng)成整體進(jìn)行求解 1設(shè)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，若a11，a34，Sk63，則k()A4 B5C6 D7解析：選C.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由已知a11

8、，a34，得q24.又an的各項均為正數(shù)，所以q2.而Sk63，所以2k163，解得k6.2(2020紹興市柯橋區(qū)高三期中考試)已知正數(shù)數(shù)列an的前n項和Sn滿足：Sn和2的等比中項等于an和2的等差中項，則a1_，Sn_解析：由題意知，平方可得Sn，由a1S1得，從而可解得a12.又由式得Sn1(n2)，可得anSnSn1(n2)，整理得(anan1)(anan14)0，因為數(shù)列an的各項都是正數(shù)，所以anan140，即anan14.故數(shù)列an是以2為首項4為公差的等差數(shù)列，所以Sn2n42n2.當(dāng)n1時，S1a12.故Sn2n2.答案：22n2等比數(shù)列的判定與證明(1)已知等比數(shù)列an的前

9、n項和為Sn，若a212，a3a54，則下列說法正確的是()Aan是單調(diào)遞減數(shù)列BSn是單調(diào)遞減數(shù)列Ca2n是單調(diào)遞減數(shù)列DS2n是單調(diào)遞減數(shù)列(2)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，nN*.已知a11，a2，a3，且當(dāng)n2時，4Sn25Sn8Sn1Sn1.求a4的值；證明：為等比數(shù)列【解】(1)選C.由于an是等比數(shù)列，則a3a5a4，又a212，則a40，a42，q2，當(dāng)q時，an和Sn不具有單調(diào)性，選項A和B錯誤；a2na2q2n212單調(diào)遞減，選項C正確；當(dāng)q時，S2n不具有單調(diào)性，選項D錯誤(2)當(dāng)n2時，4S45S28S3S1，即4(1a4)581，解得a4.證明：由4Sn25Sn8Sn

10、1Sn1(n2)，得4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2)，即4an2an4an1(n2)因為 4a3a14164a2，所以4an2an4an1，所以，所以數(shù)列是以a2a11為首項，為公比的等比數(shù)列 (變問法)在本例(2)條件下，求數(shù)列an的通項公式解：由本例(2)的知，an1an，即4.所以數(shù)列是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以24(n1)4n2，即an(2n1)，所以數(shù)列an的通項公式為an(2n1).等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù))或q(q為非零常數(shù)且n2)，則an是等比數(shù)列(2)中項公式法：若數(shù)列an中an0且aanan2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)

11、列(3)通項公式法：若數(shù)列的通項公式可寫成ancqn1(c，q均為不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列(4)前n項和公式法：若數(shù)列an的前n項和Snkqnk(k為常數(shù)且k0，q0，1)，則an是等比數(shù)列提醒(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定(2)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可 (2020瑞安市龍翔中學(xué)高三月考)各項為正的數(shù)列an滿足a1，an1an(nN*)(1)取an1，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其公比；(2)取2時令bn，記數(shù)列bn的前n項和為Sn，數(shù)列bn的前n項之積為Tn，求證：對任意正

12、整數(shù)n，2n1TnSn為定值解：(1)由an1，得an1an，所以aan1ana0.兩邊同除a可得：10，解得.因為an0，所以為常數(shù)，故數(shù)列是等比數(shù)列，公比為.(2)證明：當(dāng)2時，an1an，得2an1an(an2)，所以bn.所以Tnb1b2bn，又bn，所以Snb1b2bn2，故2n1TnSn2n122為定值等比數(shù)列的性質(zhì)(高頻考點)等比數(shù)列的性質(zhì)是高考的熱點，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，其難度為中等主要命題角度有：(1)等比數(shù)列項的性質(zhì)的應(yīng)用；(2)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用角度一等比數(shù)列項的性質(zhì)的應(yīng)用(1)在等比數(shù)列an中，a3，a15是方程x26x80的根，則的值為()A2 B

13、4C2或2 D4或4(2)(2020溫州八校聯(lián)考)數(shù)列an的通項公式為an2n1，則使不等式aaa52n1成立的n的最大值為()A2 B3C4 D5【解析】(1)因為a3，a15是方程x26x80的根，所以a3a158，a3a156，易知a3，a15均為正，由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a17aa3a158，所以a92，2，故選A.(2)因為an2n1，a4n1，所以aaa(4n1)因為aaa52n1，所以(4n1)52n1，因為2n(2n30)0時，S31q123，當(dāng)且僅當(dāng)q1時，等號成立；當(dāng)公比q0 Da1S30解析：選C.選項A，數(shù)列1，1，1為等比數(shù)列，但a1a322a22，故B錯誤；選項D

14、，數(shù)列1，1，1為等比數(shù)列，但a1S310，故D錯誤；對于選項C，a1(a1a2a3)a1(a1a1qa1q2)a(1qq2)，因為等比數(shù)列的項不為0，故a0，而1qq20，故a(1qq2)0，故C正確5(2020鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列an滿足a1a2a3an2n2(nN*)，且對任意nN*都有t，則實數(shù)t的取值范圍為()A(，) B，)C(，) D，)解析：選D.依題意得，當(dāng)n2時，an2n2(n1)222n1，又a1212211，因此an22n1，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，等比數(shù)列的前n項和等于(1)0)()A若b7a6，則b4b10a3a9B若b7a6，則b4b10a3a

15、9C若b6a7，則b3b9a4a10D若b6a7，則b3b9a4a10解析：選C.因為數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列(bn0)，在A中，因為b7a6，b4b1022b7，a3a92a6，所以b4b10a3a9不一定成立，故A錯誤；在B中，因為b7a6，b4b1022b7，a3a92a6，所以b4b10a3a9不一定成立，故B錯誤；在C中，因為b6a7，所以b3b922b6，a4a102a7，所以b3b9a4a10，故C正確；在D中，因為b6a7，所以b3b922b6，a4a102a7，所以b3b9a4a10不一定成立，故D錯誤3已知直線ln：yx與圓Cn：x2y22ann交于不同的兩點

16、An，Bn，nN*，數(shù)列an滿足：a11，an1|AnBn|2，則數(shù)列an的通項公式為_解析：圓Cn的圓心到直線ln的距離dn，半徑rn，故an1|AnBn|2rd2an，故數(shù)列an是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故an2n1(nN*)答案：an2n1(nN*)4設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1，且對任意正整數(shù)m，n都有amnaman，若Sna恒成立，則實數(shù)a的最小值為_解析：因為amnaman，令m1得an1a1an，即a1，所以an為等比數(shù)列，所以an，所以Sn0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是q，q，即q，所以三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列；

17、(充分性)：若對任意nN*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列，則B(n)qA(n)，C(n)qB(n)，于是C(n)B(n)qB(n)A(n)，即an2a2q(an1a1)，亦即an2qan1a2qa1.由n1時，B(1)qA(1)，即a2qa1，從而an2qan10.因為an0，所以q.故數(shù)列an是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列綜上所述，數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意nN*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列6(2020杭州市七校高三聯(lián)考)已知等比數(shù)列an的公比為q(0q1)，且a2a5，a3a4.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnan(log2an)，求bn的前n項和Tn；(3)設(shè)該等比數(shù)列an的前n項和為Sn，正整數(shù)m，n滿足a5，解得a21，a5，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a5a2q3，解得q，ana2，所以數(shù)列an的通項公式為an.(2)由(1)可知bnan(log2an)，bn的前n項和Tnb1b2b3bn20，Tn10，兩式相減可得Tn111，所以Tn.(3)因為Sn4，由22n(4m)6，2n(4m)為偶數(shù)，因此只能取2n(4m)4，所以有或或.20