《（全國通用版）2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題復(fù)習(xí)（七）函數(shù)與幾何綜合探究題練習(xí)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題復(fù)習(xí)（七）函數(shù)與幾何綜合探究題練習(xí)（33頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、（全國通用版）2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題復(fù)習(xí)（七）函數(shù)與幾何綜合探究題練習(xí)如圖，對(duì)稱軸為直線x的拋物線經(jīng)過B(2，0)，C(0，4)兩點(diǎn)，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A.(1)求拋物線的解析式；【思路點(diǎn)撥】已知對(duì)稱軸，可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)a(x)2k，然后將點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入，解方程組即可得到拋物線的解析式(一題多解)【答題示范】解法一：拋物線的對(duì)稱軸為直線x，設(shè)拋物線的解析式為ya(x)2k(a0)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(2，0)，C(0，4)，解得拋物線的解析式為y2(x)2，即y2x22x4.解法二：拋物線的對(duì)稱軸為直線x，A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線x對(duì)稱且B(2，0)，A(1，0)設(shè)拋物線的解析式為ya(x1)

2、(x2)(a0)拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0，4)，2a4，解得a2.拋物線的解析式為y2(x1)(x2)，即y2x22x4.解法三：設(shè)拋物線的解析式為yax2bxc(a0)拋物線的對(duì)稱軸為直線x且經(jīng)過點(diǎn)B(2，0)，C(0，4)，解得拋物線的解析式為y2x22x4.二次函數(shù)的解析式的確定：1確定二次函數(shù)的解析式一般用待定系數(shù)法，由于二次函數(shù)解析式有三個(gè)待定系數(shù)a，b，c(a，h，k或a，x1，x2)，因而確定二次函數(shù)的解析式需要已知三個(gè)獨(dú)立的條件：(1)已知拋物線上任意三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，選用一般式，即yax2bxc(a0)；(2)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和另外一點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，選用頂點(diǎn)式，即ya(xh)2k(a

3、0)；(3)已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)(或橫坐標(biāo)x1，x2)時(shí)，選用交點(diǎn)式，即ya(xx1)(xx2)(a0)2用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的步驟：(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)；(3)解方程(組)，求出待定系數(shù)的值，從而寫出函數(shù)的解析式(2)若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，設(shè)四邊形COBP的面積為S，求S的最大值；【思路點(diǎn)撥】先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用割補(bǔ)法將四邊形COBP的面積表示成幾個(gè)容易計(jì)算的圖形面積的和差，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值(一題多解)【答題示范】解法一：如圖1，連接BC，過點(diǎn)P作PFx軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E.圖1設(shè)直線BC的解析式為

4、ydxt(d0)直線經(jīng)過點(diǎn)B(2，0)，C(0，4)，解得直線BC的解析式為y2x4.P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(n，2n22n4)(0n90，只能CMMQ.由(2)的解法一得：直線BC的解析式為y2x4.設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(m，2m4)(0m2)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(m，0)，MQ2m4，OQm，BQ2m.在RtOBC中，BC2.MQOC，BMQBCO.，即.BM2m.CMBCBM2(2m)m.CMMQ，2m4m，m48.Q(48，0)解法二：由(2)的解法一得：直線BC的解析式為y2x4.設(shè)M(m，2m4)(0m90，只能CMMQ.由(2)的解法一得：直線BC的解析式為y2x4.設(shè)M點(diǎn)坐

5、標(biāo)為(m，2m4)(0m2)，過點(diǎn)M作MDy軸于點(diǎn)D，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(m，0)，DMm，CD4(2m4)2m，BQ2m.在RtCDM中，CMm.CMMQm.tanCBO2，tanMBQ2，即2.m48.Q(48，0)()解法一：如圖5所示：當(dāng)QMB90時(shí)，圖5CMQ90，只能CMMQ.過點(diǎn)M作MNx軸于點(diǎn)N，設(shè)M(m，2m4)(0m2)，則ONm，MN2m4，NB2m.由()得：BM2m，CMm.QBMOBC，QMBCOB90，RtBOCRtBMQ.，即.MQ2(2m)42m.CMMQ，CMm，m42m.m.M(，)MNx軸于點(diǎn)N，MQBC，QMNNMB90，NMBNBM90，QMNMBN.又B

6、NMMNQ90，RtBNMRtMNQ.，即.NQ.OQNQON.Q(，0)解法二：如圖6所示：當(dāng)QMB90時(shí)，圖6CMQ90，只能CMMQ.設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(m，2m4)(0m2)在RtCOB和RtQMB中，tanCBOtanMBQ2，又tanMBQ，由()知BM2m，MQCMm.tanMBQ2.m42m.m.M(，)此時(shí)，BM2m，MQ.BQ.OQBQOB2.Q(，0)綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(48，0)或(，0)1在解答直角三角形的存在性問題時(shí)，具體方法如下：(1)先假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角頂點(diǎn)的不確定性，分情況討論；(2)找點(diǎn)：當(dāng)所給定長(zhǎng)未說明是直角三角形的斜邊還是直角邊時(shí)，需分情況討

7、論，具體方法如下：當(dāng)定長(zhǎng)為直角三角形的直角邊時(shí)，分別以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)作定長(zhǎng)的垂線，與坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)；當(dāng)定長(zhǎng)為直角三角形的斜邊時(shí)，以此定長(zhǎng)為直徑作圓，圓弧與所求點(diǎn)滿足條件的坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)；(3)計(jì)算：把圖形中的點(diǎn)坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從而表示出三角形的各邊(表示線段時(shí)，還要注意代數(shù)式的符號(hào))，再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，或者利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，或者利用三角函數(shù)建立方程求點(diǎn)的坐標(biāo)(如P207T2(2)2除了探究直角三角形外，還常常探究等腰三角形的存在性，這個(gè)和直角三角形的方法類似：(1)假設(shè)結(jié)論成立；(2)找點(diǎn)：當(dāng)

8、所給定長(zhǎng)未說明是等腰三角形的底還是腰時(shí)，需分情況討論，具體方法如下：當(dāng)定長(zhǎng)為腰時(shí)，找已知直線或拋物線上滿足條件的點(diǎn)時(shí)，以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑畫弧，若所畫弧與坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)且交點(diǎn)不是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)；當(dāng)定長(zhǎng)為底邊時(shí)，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長(zhǎng)的垂直平分線，若作出的垂直平分線與坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)，則交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，若作出的垂直平分線與坐標(biāo)軸或拋物線無交點(diǎn)，則滿足條件的點(diǎn)不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點(diǎn)；(3)計(jì)算：在求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，大多時(shí)候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形，有時(shí)也可利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求

9、解(如P207T1(3)，P208T3(3)如圖，直線y2x2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，把AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，過點(diǎn)B的拋物線yx2bxc與直線BC交于點(diǎn)D(3，4)(1)求直線BD和拋物線的解析式；【思路點(diǎn)撥】由直線y2x2可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，把B，D兩點(diǎn)代入yx2bxc中即可求出拋物線解析式，由B，D兩點(diǎn)可求出直線BD的解析式【答題示范】y2x2，當(dāng)x0時(shí)，y2.B(0，2)當(dāng)y0時(shí)，x1，A(1，0)拋物線yx2bxc過點(diǎn)B(0，2)，D(3，4)，解得拋物線的解析式為yx2x2.設(shè)直線BD的解析式為ykxm，由題意，得解得直線BD的解析式為y2x2.(2)在第一象限內(nèi)的拋

10、物線上，是否存在點(diǎn)M，作MN垂直于x軸，垂足為點(diǎn)N，使得以M，O，N為頂點(diǎn)的三角形與BOC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；【思路點(diǎn)撥】與BOC相似的MON，只有兩個(gè)直角頂點(diǎn)可以確定對(duì)應(yīng)，所以要分兩種情況討論，再利用MON的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是點(diǎn)M的坐標(biāo)，與BOC的兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例，便可列出方程，求解即可，注意是否符合條件【答題示范】存在由(1)知C(1，0)，設(shè)M(a，a2a2)MNx軸，BOCMNO90，即點(diǎn)O與點(diǎn)N對(duì)應(yīng)，可分兩種情況討論：如圖1，當(dāng)BOCMNO時(shí)，.，解得a11，a22(舍)M(1，2)；如圖2，當(dāng)BOCONM時(shí)，.，解得a1，a2(舍)M(，)符合條件

11、的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，2)或(，),探究三角形相似的存在性問題的一般思路：解答三角形相似的存在性問題時(shí)，要具備分類討論的思想以及數(shù)形結(jié)合思想，要先找出三角形相似的分類標(biāo)準(zhǔn)，一般涉及動(dòng)態(tài)問題要以靜制動(dòng)，動(dòng)中求靜，具體如下：(1)假設(shè)結(jié)論成立，分情況討論探究三角形相似時(shí)，往往沒有明確指出兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(尤其是以文字形式出現(xiàn)讓證明兩個(gè)三角形相似的題目)，或者涉及動(dòng)點(diǎn)問題，因動(dòng)點(diǎn)問題中點(diǎn)的位置不確定，此時(shí)應(yīng)考慮不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分情況討論；(2)確定分類標(biāo)準(zhǔn)：在分類時(shí)，先要找出分類的標(biāo)準(zhǔn)，看兩個(gè)相似三角形是否有對(duì)應(yīng)相等的角，若有，找出對(duì)應(yīng)相等的角后，再根據(jù)其他角進(jìn)行分類討論來確定相似三角形成立的條件

12、；若沒有，則分別按三種角對(duì)應(yīng)來分類討論；(3)建立關(guān)系式，并計(jì)算由相似三角形列出相應(yīng)的比例式，將比例式中的線段用所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(其長(zhǎng)度多借助勾股定理運(yùn)算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過計(jì)算得出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)(如P208T(3)，P210T1(2)(3)在直線BD上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH垂直于x軸，交直線BD于點(diǎn)H，是否存在點(diǎn)P，使四邊形BOHP是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【思路點(diǎn)撥】點(diǎn)P在拋物線上，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可表示出點(diǎn)H的坐標(biāo)，因?yàn)樽鱌Hx軸，所以可得PHOB.要證四邊形BOHP是平行四邊形，只需

13、證PHOB，再利用PH的長(zhǎng)可列方程求出P點(diǎn)的坐標(biāo)【答題示范】存在設(shè)P(t，t2t2)，H(t，2t2)如圖3，四邊形BOHP是平行四邊形，BOPH2.PHt2t22t2t23t.2t23t，解得t11，t22.當(dāng)t1時(shí)，P(1，2)；當(dāng)t2時(shí)，P(2，0)存在點(diǎn)P(1，2)或(2，0)，使四邊形BOHP為平行四邊形在解答平行四邊形的存在性問題時(shí)，具體方法如下：(1)假設(shè)結(jié)論成立；(2)探究平行四邊形通常有兩類，一類是已知兩定點(diǎn)去求未知點(diǎn)的坐標(biāo)，一類是已知給定的三點(diǎn)去求未知點(diǎn)的坐標(biāo)第一類，以兩定點(diǎn)連線所成的線段作為要探究平行四邊形的邊或?qū)蔷€，畫出符合題意的平行四邊形；第二類，分別以已知三個(gè)定點(diǎn)

14、中的任意兩個(gè)定點(diǎn)確定的線段為探究平行四邊形的邊或?qū)蔷€，畫出符合題意的平行四邊形；(3)建立關(guān)系式，并計(jì)算根據(jù)以上分類方法畫出所有符合條件的圖形后，可以利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，要具體情況具體分析，有時(shí)也可以利用直線的解析式聯(lián)立方程組，由方程組的解為交點(diǎn)坐標(biāo)求解(如P208T1(3)類型1探究線段最值問題1(xx永州)如圖1，拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，4)，拋物線與x軸相交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E(0，3)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)已知點(diǎn)F(0，3)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)G，使得EGFG最小，如果存在，求出點(diǎn)G的

15、坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，連接AB，若點(diǎn)P是線段OE上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作線段AB的垂線，分別與線段AB.拋物線相交于點(diǎn)M，N(點(diǎn)M，N都在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè))，當(dāng)MN最大時(shí)，求PON的面積圖1 圖2解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為ya(x1)24，把(0，3)代入，得3a(01)24，解得a1.拋物線的表達(dá)式為y(x1)24x22x3.(2)存在作點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EF交對(duì)稱軸于G，此時(shí)EGFG的值最小E(0，3)，拋物線對(duì)稱軸為直線x1，E(2，3)易得直線EF的解析式為y3x3.當(dāng)x1時(shí)，y3130.G(1，0)(3)A(1，4)，B(3，0)，易得直線AB的解析

16、式為y2x6.過點(diǎn)N作NHx軸于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)Q，設(shè)N(m，m22m3)，則Q(m，2m6)(1m3)NQ(m22m3)(2m6)m24m3.ADNH，DABNQM.ADBQMN90，QMNADB.MN(m2)2.0，當(dāng)m2時(shí)，MN有最大值過點(diǎn)N作NGy軸于點(diǎn)G，GPNABD，NGPADB90，NGPADB.PGNGm.OPOGPGm22m3mm2m3.SPONOPGN(m2m3)m.當(dāng)m2時(shí)，SPON2(433)2.2(xx柳州)如圖，拋物線yax2bxc與x軸交于A(，0)，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，且OB3OAOC，OAC的平分線AD交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A且垂直于AD的

17、直線l交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是x軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PFx軸，垂足為F，交直線AD于點(diǎn)H.(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)FHHP時(shí)，求m的值；(3)當(dāng)直線PF為拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，以點(diǎn)H為圓心，HC為半徑作H，點(diǎn)Q為H上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AQEQ的最小值解：(1)由題意，得A(，0)，B(3，0)，C(0，3)，設(shè)拋物線的解析式為ya(x3)(x)，把C(0，3)代入得到a，拋物線的解析式為yx2x3.(2)在RtAOC中，tanOAC，OAC60.AD平分OAC，OAD30.ODOAtan301.D(0，1)直線AD的解析式為yx1.由題意，得P(m，m2m3)，H

18、(m，m1)，F(xiàn)(m，0)FHPH，1mm1(m2m3)，解得m或(舍去)當(dāng)FHHP時(shí)，m的值為.(3)如圖，PF是對(duì)稱軸，F(xiàn)(，0)，H(，2)AHAE，EAO60.EA2OA2.C(0，3)，HC2，AH2FH4.QHCH1.在HA上取一點(diǎn)K，使得HK.AKAHHK.HQ21，HKHA1，HQ2HKHA，可得QHKAHQ.，即KQAQ.AQQEKQEQ.當(dāng)E，Q，K共線時(shí)，AQQE的值最小，最小值為EK.類型2探究角度問題1(xx萊蕪)如圖，拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)三點(diǎn)，D為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，DEBC于點(diǎn)E.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2

19、)如圖1，求線段DE長(zhǎng)度的最大值；(3)如圖2，設(shè)AB的中點(diǎn)為F，連接CD，CF，是否存在點(diǎn)D，使得CDE中有一個(gè)角與CFO相等？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由圖1圖2解：(1)由題意，得解得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yx2x3.(2)設(shè)直線BC的解析式為ykxb，由題意，得解得yx3.設(shè)D(a，a2a3)(0a4)，過點(diǎn)D作DMx軸交BC于點(diǎn)M，則M(a，a3)，DM(a2a3)(a3)a23a.DMEOCB，DEMBOC，DEMBOC.OB4，OC3，BC5.DEDM.DEa2a(a2)2.當(dāng)a2時(shí)，DE取最大值，最大值是.(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)D，使得CDE中有一個(gè)角與CFO相等

20、點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，OF，tanCFO2.過點(diǎn)B作BGBC，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GHx軸，垂足為H，若DCECFO，tanDCE2.BG10.GBHBCO，.GH8，BH6.G(10，8)設(shè)直線CG的解析式為yk1xb1，解得直線CG的解析式為yx3.解得x或x0(舍)若CDECFO，同理可得，BG，GH2，BH，G(，2)同理可得，直線CG的解析式為yx3.解得x或x0(舍)綜上所述，存在點(diǎn)D，使得CDE中有一個(gè)角與CFO相等，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為或.2(xx揚(yáng)州)如圖1，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，6)，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向

21、點(diǎn)A出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(1)當(dāng)t2時(shí)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，2)；(2)當(dāng)CBQ與PAQ相似時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)t1時(shí)，拋物線yx2bxc經(jīng)過P，Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，拋物線的頂點(diǎn)為K，如圖2所示，問該拋物線上是否存在點(diǎn)D，使MQDMKQ？若存在，求出所有滿足條件的D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由圖1圖2解：(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，且PAQ可以構(gòu)成三角形，0t3.四邊形OABC是矩形，BPAQ90.當(dāng)CBQ與PAQ相似時(shí)，存在兩種情況：當(dāng)PAQQBC時(shí)，.解得t13(舍)，t2.當(dāng)P

22、AQCBQ時(shí)，.解得t.0t3，x不符合題意，舍去綜上所述，當(dāng)CBQ與PAQ相似時(shí)，t的值是或.(3)當(dāng)t1時(shí)，P(1，0)，Q(3，2)，把P(1，0)，Q(3，2)代入拋物線yx2bxc中，得解得拋物線解析式y(tǒng)x23x2(x)2.頂點(diǎn)K(，)Q(3，2)，M(0，2)，MQx軸作拋物線對(duì)稱軸，交MQ于點(diǎn)E，KMKQ，KEMQ.MKEQKEMKQ.如圖2，MQDMKQQKE.設(shè)DQ交y軸于點(diǎn)H.HMQQEK90，KEQQMH.MH2.H(0，4)易得HQ的解析式為yx4.則解得x13(舍)，x2.D(，)同理，在M的下方，y軸上存在點(diǎn)H，如圖3，使HQMMKQQKE，圖3由對(duì)稱性得，H(0，

23、0)，易得OQ的解析式為yx.則解得x13(舍)，x2.D(，)綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)或(，)類型3探究面積問題1(xx菏澤)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bx5交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B(5，0)和點(diǎn)C(1，0)，過點(diǎn)A作ADx軸交拋物線于點(diǎn)D.(1)求此拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)E是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線AD上，求EAD的面積；(3)若點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，ABP的面積最大，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和ABP的最大面積解：(1)拋物線yax2bx5交x軸于點(diǎn)B(5，0)和點(diǎn)C(1，0)，解得此拋物線的表達(dá)式是yx24x5.(2

24、)拋物線yx24x5交y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，5)ADx軸，點(diǎn)E是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線AD上，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是5，點(diǎn)E到AD的距離是10.當(dāng)y5時(shí)，5x24x5，得x0或x4.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，5)AD4.SEAD20.(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p，p24p5)，設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為ymxn，由題意，得解得即直線AB的函數(shù)解析式為yx5.當(dāng)xp時(shí)，yp5.OB5，SABP5(p)2點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，5p0.當(dāng)p時(shí)，S取得最大值，此時(shí)S，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)時(shí)，ABP的面積最大，此時(shí)ABP的面積是.2(xx內(nèi)江)如圖，已知拋物線yax

25、2bx3與x軸交于點(diǎn)A(3，0)和點(diǎn)B(1，0)，交y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CDx軸，交拋物線于點(diǎn)D.(1)求拋物線的解析式；(2)若直線ym(3m0)與線段AD，BD分別交于G，H兩點(diǎn)，過點(diǎn)G作EGx軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)H作HFx軸于點(diǎn)F，求矩形GEFH的最大面積；(3)若直線ykx1將四邊形ABCD分成左、右兩個(gè)部分，面積分別為S1，S2，且S1S245，求k的值 備用圖解：(1)拋物線yax2bx3與x軸交于點(diǎn)A(3，0)和點(diǎn)B(1，0)，解得拋物線的解析式為yx22x3.(2)由(1)知，拋物線的解析式為yx22x3，C(0，3)由x22x33，得x0或x2.D(2，3)A(3，0)和點(diǎn)B(1，

26、0)，直線AD的解析式為y3x9，直線BD的解析式為yx1.直線ym(3m0)與線段AD，BD分別交于G，H兩點(diǎn)，G(m3，m)，H(m1，m)GHm1(m3)m4.S矩形GEFHm(m4)(m23m)(m)23.當(dāng)m時(shí)，矩形GEFH有最大面積為3.(3)A(3，0)，B(1，0)，AB4.C(0，3)，D(2，3)，CD2.S四邊形ABCD3(42)9.S1S245，S14.設(shè)直線ykx1與線段AB相交于點(diǎn)M，與線段CD相交于點(diǎn)N，M(，0)，N(，3)AM3，DN2.S1(32)34.k.類型4探究特殊三角形的存在性問題1(xx赤峰)已知拋物線yx2x的圖象如圖所示：(1)將該拋物線向上平

27、移2個(gè)單位長(zhǎng)度，分別交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，則平移后的解析式為yx2x2；(2)判斷ABC的形狀，并說明理由；(3)在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以A，C，P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：(2)當(dāng)y0時(shí)，x2x20，解得x14，x21，即B(4，0)，A(1，0)當(dāng)x0時(shí)，y2，即C(0，2)AB1(4)5，AB225，AC2(10)2(02)25，BC2(40)2(02)220，AC2BC2AB2，ABC是直角三角形(3)yx2x2的對(duì)稱軸是直線x，設(shè)P(，n)，AP2(1)2n2n2，CP2(2n)2，AC212225，當(dāng)APAC

28、時(shí)，AP2AC2，n25，方程無解；當(dāng)APCP時(shí)，AP2CP2，n2(2n)2，解得n0，即P1(，0)當(dāng)ACCP時(shí)AC2CP2，(2n)25，解得n12，n22，P2(，2)，P3(，2)綜上所述：使得以A，C，P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)(，0)，(，2)，(，2)2(xx臨沂)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ACB90，OC2OB，tanABC2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)拋物線yx2bxc經(jīng)過A，B兩點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E，使PEDE.求點(diǎn)P的坐標(biāo)；在直線PD上是否存在點(diǎn)M，使ABM為直角三角形？

29、若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)B(1，0)，OB1.OC2OB2，C(2，0)在RtABC中，tanABC2，2.AC6.A(2，6)把A(2，6)和B(1，0)代入yx2bxc，得解得拋物線的解析式為yx23x4.(2)A(2，6)，B(1，0)，易得AB的解析式為y2x2.設(shè)P(x，x23x4)，則E(x，2x2)PEDE，x23x4(2x2)(2x2)，解得x1(舍)或1.P(1，6)M在直線PD上，且P(1，6)，設(shè)M(1，y)，AM2(12)2(y6)21(y6)2.BM2(11)2y24y2.AB2(12)26245.分三種情況：i)當(dāng)AMB9

30、0時(shí)，有AM2BM2AB2，1(y6)24y245，解得y3.M(1，3)或(1，3)ii)當(dāng)ABM90時(shí)，有AB2BM2AM2，454y21(y6)2，解得y1.M(1，1)iii)當(dāng)BAM90時(shí)，有AM2AB2BM2，1(y6)2454y2，解得y.M(1，)綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，3)或(1，3)或(1，1)或(1，)3(xx眉山)如圖1，已知拋物線yax2bxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0，3)，B(1，0)，其對(duì)稱軸為直線l：x2，過點(diǎn)A作ACx軸交拋物線于點(diǎn)C，AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.(1)求拋物線的解析式；(2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的

31、拋物線上，連接PE，PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；(3)如圖2，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由圖1圖2解：(1)設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由對(duì)稱性，得D(3，0)設(shè)拋物線的解析式為ya(x1)(x3)把A(0，3)代入，得33a，a1.拋物線的解析式為yx24x3.(2)設(shè)P(m，m24m3)，OE平分AOB，AOB90，AOE45.AOE是等腰直角三角形AEOA3.E(3，3)易得OE的解析式為yx.過P作PGy軸，交OE于點(diǎn)

32、G，G(m，m)PGm(m24m3)m25m3.S四邊形AOPESAOESPOE33PGAE3(m25m3)m2(m)2.0，當(dāng)m時(shí)，S有最大值是.(3)當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)P作MNy軸，交y軸于點(diǎn)M，交l于點(diǎn)N，OPF是等腰直角三角形，且OPPF，易得OMPPNF，OMPN.P(m，m24m3)，則m24m32m，解得m或.P的坐標(biāo)為(，)或(，)當(dāng)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，過P作MNx軸于點(diǎn)N，過F作FMMN于點(diǎn)M，同理得，ONPPMF，PNFM.則m24m3m2，解得x或；P的坐標(biāo)為(，)或(，)綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：(，)或(，)或(，)或(，)類型5探究特殊四邊形存在性問題1(xx自

33、貢)如圖，拋物線yax2bx3過A(1，0)，B(3，0)，直線AD交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)P(m，n)是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)(1)求直線AD及拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的長(zhǎng)度l與m的關(guān)系式，m為何值時(shí)，PQ最長(zhǎng)？(3)在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)R(橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù))，使得P，Q，D，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：(1)把A(1，0)，B(3，0)代入拋物線解析式，得解得拋物線的解析式為yx22x3.當(dāng)x2時(shí)，y3，即D(2，3)設(shè)AD的解析式為ykxb，將A(1，0)，D(2，3)代入，得解得

34、直線AD的解析式為yx1.(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，m1)，Q(m，m22m3)，l(m1)(m22m3)(m)2.當(dāng)m時(shí)，l最大，即PQ長(zhǎng)度最長(zhǎng)為.(3)由(2)可知，0PQ.當(dāng)PQ為邊時(shí)，DRPQ且DRPQ.R是整點(diǎn)，D(2，3)，PQ是正整數(shù)PQ1或2.當(dāng)PQ1時(shí)，DR1.此時(shí)點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為312或314，R(2，2)或R(2，4)當(dāng)PQ2時(shí)，DR2.此時(shí)點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為321或325.R(2，1)或R(2，5)當(dāng)QR為邊時(shí)，QRDP，且QRDP.設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(n，nm2m3)，則QR22(mn)2.又P(m，m1)，D(2，3)，PD22(m2)2.(m2)2(m

35、n)2，解得n2(不合題意，舍去)或n2m2.點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2m2，m23m1)R是整點(diǎn)，2m1，當(dāng)m1時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0，3)；當(dāng)m0時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2，1)綜上所述，存在滿足R的點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(2，2)或(2，4)或(2，1)或(2，5)或(0，3)或(2，1)2(xx齊齊哈爾)綜合與探究如圖1所示，直線yxc與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線yx2bxc經(jīng)過點(diǎn)A，C.(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，求CEOE的最小值；(3)如圖2所示，M是線段OA的上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點(diǎn)P，N.若以C，P，N為頂點(diǎn)的三角形與

36、APM相似，則CPN的面積為或4；若點(diǎn)P恰好是線段MN的中點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)D，F(xiàn)，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由注：二次函數(shù)yax2bxc(a0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，)圖1圖2解：(1)將A(4，0)代入yxc，c4.將A(4，0)和c4代入yx2bxc，b3.拋物線解析式為yx23x4.(2)作點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，連接OC，交直線l于點(diǎn)E.連接CE，此時(shí)CEOE的值最小拋物線對(duì)稱軸為直線x，CC3.由勾股定理，得OC5，CEOE的最小值為5.存在設(shè)M坐標(biāo)為(a，0)，則N為(a，a2

37、3a4)則P點(diǎn)坐標(biāo)為(a，)把點(diǎn)P坐標(biāo)代入yx4.解得a14(舍去)，a21，則P(1，3)當(dāng)PFFM時(shí)，點(diǎn)D在PM的垂直平分線上，則D(，)當(dāng)PMPF時(shí)，由菱形性質(zhì)得，點(diǎn)D坐標(biāo)為(1，)或(1，)當(dāng)MPMF時(shí)，M，D關(guān)于直線yx4對(duì)稱，點(diǎn)D坐標(biāo)為(4，3)類型6探究全等、相似三角形的存在性問題1(xx衡陽)如圖，已知直線y2x4分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，拋物線過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PCx軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D.(1)若拋物線的解析式為y2x22x4，設(shè)其頂點(diǎn)為M，其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N.求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；(2)當(dāng)點(diǎn)P

38、的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以B，P，D為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)如圖1，圖1y2x22x42(x)2，頂點(diǎn)為M的坐標(biāo)為(，)當(dāng)x時(shí)，y243，則點(diǎn)N坐標(biāo)為(，3)不存在理由如下：MN3.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，2m4)，則D(m，2m22m4)，PD2m22m4(2m4)2m24m.PDMN，當(dāng)PDMN時(shí)，四邊形MNPD為平行四邊形，即2m24m，解得m1(舍去)，m2.此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)PN，PNMN.平行四邊形MNPD不為菱形不存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形(2)存在如圖2，OB4，OA2，則AB2.圖2

39、當(dāng)x1時(shí)，y2x42，則P(1，2)PB.設(shè)拋物線的解析式為yax2bx4.把A(2，0)代入，得4a2b40，解得b2a2.拋物線的解析式為yax22(a1)x4.當(dāng)x1時(shí)，yax22(a1)x4a2a242a，則D(1，2a)PD2a2a.DCOB，DPBOBA.當(dāng)時(shí)，PDBBOA，即，解得a2，此時(shí)拋物線解析式為y2x22x4.當(dāng)時(shí)，PDBBAO，即，解得a，此時(shí)拋物線解析式為yx23x4.綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為y2x22x4或yx23x4.2如圖，拋物線yax2c(a0)與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)(點(diǎn)C在x軸正半軸上)，ABC為等腰直角三角形，且面積為4.現(xiàn)將拋

40、物線沿BA方向平移，平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，與x軸的另一交點(diǎn)為E，其頂點(diǎn)為F，對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為H.(1)求a，c的值；(2)連接OF，試判斷OEF是否為等腰三角形，并說明理由；(3)現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點(diǎn)E，另一直角邊與y軸相交于點(diǎn)P，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P，Q，E為頂點(diǎn)的三角形與POE全等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由圖1 圖2圖3 圖4圖5 圖6解：(1)ABC為等腰直角三角形，OABC.又SABCBCOA4，即OA24，OA2.A(0，2)，B(2，0)，C(2，0)解得a，c2.(2)OEF是等腰三角形理由

41、如下：如圖1，A(0，2)，B(2，0)，直線AB的函數(shù)解析式為yx2.又平移后的拋物線頂點(diǎn)F在射線BA上，設(shè)頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m，m2)平移后的拋物線函數(shù)表達(dá)式為y(xm)2m2.拋物線過點(diǎn)C(2，0)(2m)2m20.解得m10(舍去)，m26.平移后的拋物線函數(shù)解析式為y(x6)28，即yx26x10.當(dāng)y0時(shí)，x26x100，解得x12，x210.E(10，0)，OE10.又F(6，8)，OH6，F(xiàn)H8.OF10.OEOF，即OEF為等腰三角形(3)存在點(diǎn)Q的位置分兩種情形：情形一：點(diǎn)Q在射線HF上，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖2.PQEPOE，QEOE10.在RtQHE中，QH2，Q(6，

42、2)；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖3，有PQOE10，過P點(diǎn)作PKHF于點(diǎn)K，則PK6.在RtPQK中，QK8.PQE90，PQKHQE90.HQEHEQ90，PQKHEQ.又PKQQHE90，PKQQHE.，即，解得QH3.Q(6，3)情形二：點(diǎn)Q在射線AF上，當(dāng)PQOE10時(shí)，如圖4，有QEPO，四邊形POEQ為矩形，Q的橫坐標(biāo)為10.當(dāng)x10時(shí)，yx212，Q(10，12)當(dāng)QEOE10時(shí)，如圖5.過Q點(diǎn)作QMy軸于點(diǎn)M，過E點(diǎn)作x軸的垂線交QM于點(diǎn)N.設(shè)Q的坐標(biāo)為(x，x2)，MQx，QN10x，ENx2.在RtQEN中，QE2QN2EN2，即102(10x)2(x2)2，解得x4.當(dāng)x4

43、時(shí)，如圖5，yx26，Q(4，6)當(dāng)x4時(shí)，如圖6，yx26，Q(4，6)綜上所述，存在點(diǎn)Q(6，2)或(6，3)或(10，12)或(4，6)或(4，6)，使以P，Q，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與POE全等類型7反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合1(xx宜昌)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OADB的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(6，0)，B(0，4)過點(diǎn)C(6，1)的雙曲線y(k0)與矩形OADB的邊BD交于點(diǎn)E.(1)填空：OA6，k6，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，4)；(2)當(dāng)1t6時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)M(t1，t25t)與點(diǎn)N(t3，t23t)的直線交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)P是過M，N兩點(diǎn)的拋物線yx2bxc的頂點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線y上時(shí)

44、，求證：直線MN與雙曲線y沒有公共點(diǎn)；當(dāng)拋物線yx2bxc與矩形OADB有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，求t的值；當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)P隨著t的變化同時(shí)向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求t的取值范圍，并求在運(yùn)動(dòng)過程中直線MN在四邊形OAEB中掃過的面積解：(1)A點(diǎn)坐標(biāo)為(6，0)，OA6.點(diǎn)C(6，1)在雙曲線y上，k6.當(dāng)y4時(shí)，x.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，4)(2)證明：設(shè)直線MN解析式為y1k1xb1.由題意，得解得拋物線yx2bxc過點(diǎn)M，N，解得拋物線解析式為yx2x5t2.頂點(diǎn)P坐標(biāo)為(1，5t)P在雙曲線y上，(5t)(1)6.t.此時(shí)直線MN解析式為yx.聯(lián)立8x235x480.35248481 2251 5360，直線MN

45、與雙曲線y沒有公共點(diǎn)當(dāng)拋物線過點(diǎn)B，此時(shí)拋物線yx2bxc與矩形OADB有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，45t2，得t.當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在線段DB上，此時(shí)拋物線與矩形OADB有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，5t4，得t.t或t.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，5t)，yP5t.當(dāng)1t6時(shí)，yP隨t的增大而增大，此時(shí)，點(diǎn)P在直線x1上向上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，t24t)，yF(t4)2.當(dāng)1t4時(shí)，yF隨t的增大而增大此時(shí)，隨著t的增大，點(diǎn)F在y軸上向上運(yùn)動(dòng)1t4.當(dāng)t1時(shí)，直線MN：yx3與x軸交于點(diǎn)G(3，0)，與y軸交于點(diǎn)H(0，3)當(dāng)t4時(shí)，直線MN過點(diǎn)A.當(dāng)1t4時(shí)，直線MN在四邊形AEBO中掃過的面積為SS四邊形AEBOSG

46、HO(6)433.類型8其他問題1(xx武漢)拋物線L：yx2bxc經(jīng)過點(diǎn)A(0，1)，與它的對(duì)稱軸直線x1交于點(diǎn)B.(1)直接寫出拋物線L的解析式；(2)如圖1，過定點(diǎn)的直線ykxk4(k0)與拋物線L交于點(diǎn)M，N.若BMN的面積等于1，求k的值；(3)如圖2，將拋物線L向上平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作y軸的垂線交拋物線L1于另一點(diǎn)D.F為拋物線L1的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，P為線段OC上一點(diǎn)若PCD與POF相似，并且符合條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，求m的值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)圖1圖2解：(1)由題意，知解得拋物線L的解析式為yx22x1.(2)ykxk4k(x1)4，當(dāng)x1時(shí)，y4，即該直線所過定點(diǎn)G坐標(biāo)為(1，4)yx22x1(x1)22，點(diǎn)B(1，2)則BG2.SBMN1，即SBNGSBMGBGxNBGxM1，xNxM1.由得x2(k2)xk30.解得x.則xN，xM.由xNxM1，得1，k3.k0，k3. (3)設(shè)拋物線L1的解析式為yx22x1