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1、（全國通用版）2022年高考數(shù)學一輪復習 第九單元 不等式學案 文 不等式、一元二次不等式 (2)作商法 2．不等式的性質 (1)對稱性：a>b?bb，b>c?a>c； (3)可加性：a>b?a＋cb＋c； a>b，c>d?a＋cb＋d； (4)可乘性：a>b，c>0?acbc； a>b>0，c>d>0?acbd； (5)可乘方性：a>b>0?anbn(n∈N，n≥1)； (6)可開方性：a>b>0?(n∈N，n≥2)． 3．三個“二次”間的關系 判別式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a＞

2、0)的圖象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有兩相異實根x1，x2 (x1＜x2) 有兩相等實根x1＝x2＝－ 沒有實數(shù)根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x>x2或xb>0，則下列不等式中恒成立的是(　　) A.>　　　　　　 B．a(chǎn)＋>b＋ C．a(chǎn)＋>b＋ D.> 解析：選C　由a>b>0?0<b＋，故選C. 2．設M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，則(　　) A．M >N B．M

3、≥N C．M＜N D．M≤N 解析：選A　由題意知，M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝(a－1)2＋2>0恒成立，所以M>N. 3．已知一元二次不等式f(x)＞0的解集為xx＜－1或x＞，則f(10x)＞0的解集為(　　) A．{x|x＜－1或x＞lg 2} B．{x|－1＜x＜lg 2} C．{x|x＞－lg 2} D．{x|x＜－lg 2} 解析：選C　一元二次不等式f(x)＞0的解集為xx＜－1或x＞，則不等式f(10x)＞0可化為10x＜－1或10x＞，解得x＞lg ，即x＞－lg 2，所以所求不等式的解集為{x|x＞－l

4、g 2}． 4．不等式－6x2＋2＜x的解集是________． 解析：不等式－6x2＋2＜x可化為6x2＋x－2＞0， 即(3x＋2)(2x－1)＞0， 解不等式得x<－或x>， 所以該不等式的解集是∪. 答案：∪ [清易錯] 1．在乘法法則中，要特別注意“乘數(shù)c的符號”，例如當c≠0時，有a>b?ac2>bc2；若無c≠0這個條件，a>b?ac2>bc2就是錯誤結論(當c＝0時，取“＝”)． 2．對于不等式ax2＋bx＋c>0，求解時不要忘記討論a＝0時的情形． 3．當Δ<0時，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為R還是?，要注意區(qū)別a的符號． 1．若(m＋1)x2

5、－(m－1)x＋3(m－1)<0對任何實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C. D.∪(1，＋∞) 解析：選C?、佼攎＝－1時，不等式為2x－6<0，即x<3，不符合題意． ②當m≠－1時，則解得m<－，符合題意． 故實數(shù)m的取值范圍為. 2．對于實數(shù)a，b，c，有下列命題： ①若a＞b，則ac＜bc； ②若ac2＞bc2，則a＞b； ③若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2； ④若c＞a＞b＞0，則＞； ⑤若a＞b，＞，則a＞0，b＜0. 其中真命題的序號是________． 解析：當c＝0時，若a＞b，則ac＝bc，故①

6、為假命題； 若ac2＞bc2，則c≠0，c2＞0，故a＞b，故②為真命題； 若a＜b＜0，則a2＞ab且ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故③為真命題； 若c＞a＞b＞0，則＜，則＜，則＞，故④為真命題； 若a＞b，＞，即>0，故ab＜0，則a＞0，b＜0，故⑤為真命題． 故②③④⑤為真命題． 答案：②③④⑤ 3．若不等式ax2－bx＋c＜0的解集是(－2,3)，則不等式bx2＋ax＋c＜0的解集是________． 解析：∵不等式ax2－bx＋c＜0的解集是(－2,3)， ∴a＞0，且對應方程ax2－bx＋c＝0的實數(shù)根是－2和3， 由根與系數(shù)的關系，得 即＝－6，＝1，

7、 ∴b＞0，且＝1，＝－6， ∴不等式bx2＋ax＋c＜0可化為x2＋x－6＜0， 解得－3＜x＜2， ∴該不等式的解集為(－3,2)． 答案：(－3,2) 簡單的線性規(guī)劃問題 [過雙基] 1．一元二次不等式(組)表示的平面區(qū)域 不等式 表示區(qū)域 Ax＋By＋C＞0 不包括邊界直線 Ax＋By＋C≥0 直線Ax＋By＋C＝0某一側的所有點組成的平面區(qū)域 包括邊界直線 不等式組 各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分 2．線性規(guī)劃中的基本概念 名稱 意義 約束條件 由變量x，y組成的不等式(組) 線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)

8、組成的不等式(組) 目標函數(shù) 關于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等 線性目標函數(shù) 關于x，y的一次解析式 可行解 滿足線性約束條件的解(x，y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題 　　 1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標平面內表示的區(qū)域(用陰影部分表示)應是(　　) 解析：選C　由(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?或結合圖形可知選C. 2．(2017·全國卷Ⅰ)設x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為(　　) A．0

9、B．1 C．2 D．3 解析： 選D　不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，平移直線y＝－x，當直線經(jīng)過點A(3,0)時，z＝x＋y取得最大值，此時zmax＝3＋0＝3. 3．在平面直角坐標系xOy中，P為不等式組所表示的平面區(qū)域上一動點，則直線OP斜率的最大值為(　　) A．2 B. C. D．1 解析：選D　作出可行域如圖中陰影部分所示，當點P位于的交點(1,1)時，(kOP)max＝1. 4．已知z＝2x＋y，實數(shù)x，y滿足且z的最大值是最小值的4倍，則m的值是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　根據(jù)題意畫出如圖所示的可行域如圖中陰影

10、部分所示． 平移直線l：2x＋y＝0，當l過點A(m，m)時z最小，過點B(1,1)時z最大，由題意知，zmax＝4zmin，即3＝4×3m，解得m＝. [清易錯] 1．畫出平面區(qū)域．避免失誤的重要方法就是首先把二元一次不等式化為ax＋by＋c>0(a>0)． 2．線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)解不一定是唯一的，即可行域內使目標函數(shù)取得最值的點不一定只有一個，也可能有無數(shù)多個，也可能沒有． 實數(shù)x，y滿足使z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有2個，則z1＝ax＋y＋1的最小值為(　　) A．0 B．－2 C．1 D．－1 解析：選A　畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，∵z＝a

11、x＋y取得最大值的最優(yōu)解有2個，∴－a＝1，a＝－1，∴當x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1時，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，∴ax＋y＋1的最小值是0. 基本不等式 [過雙基] 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0. (2)等號成立的條件：當且僅當a＝b. 2．幾個重要的不等式 (1)a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)； (2)＋≥(a，b同號)； (3)ab≤2(a，b∈R)； (4)2≤(a，b∈R)． 3．算術平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設a＞0，b>0，則a，b的算術平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小

12、于它們的幾何平均數(shù)． 4．利用基本不等式求最值問題 已知x>0，y>0，則 (1)如果xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)． 　 1．若實數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：選C　由＋＝，知a＞0，b＞0， 所以＝＋≥2 ，即ab≥2， 當且僅當即a＝，b＝2時取“＝”， 所以ab的最小值為2. 2．已知直線2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)過點(1,2)，則＋的最小值是(　　) A．2 B

13、．3 C．4 D．1 解析：選C　由直線2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)過點(1,2)， 可得2a＋2b＝2，即a＋b＝1. 則＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，當且僅當a＝b＝時取等號． ∴＋的最小值為4. 3．已知x，y∈R且2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍為________． 解析：根據(jù)題意知，2x＞0,2y＞0， 所以1＝2x＋2y≥2＝2， 即2x＋y≤＝2－2，x＋y≤－2， 所以x＋y的取值范圍為(－∞，－2]． 答案：(－∞，－2] [清易錯] 1．求最值時要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件． 2．多次使用

14、基本不等式時，易忽視取等號的條件的一致性． 1．在下列函數(shù)中，最小值等于2的函數(shù)是(　　) A．y＝x＋ B．y＝cos x＋ C．y＝ D．y＝ex＋－2 解析：選D　當x<0時，y＝x＋≤－2，故A錯誤；因為02，故B錯誤；因為≥，所以y＝＋>2，故C錯誤；因為ex>0，所以y＝ex＋－2≥2－2＝2，當且僅當ex＝，即ex＝2時等號成立，故選D. 2．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________． 解析：因為ab>0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，當且僅當時取等號，故的最小值是4. 答案：

15、4 一、選擇題 1．(2018·洛陽統(tǒng)考)已知a<0，－1ab>ab2　　　　　　 B．a(chǎn)b2>ab>a C．a(chǎn)b>a>ab2 D．a(chǎn)b>ab2>a 解析：選D　∵－1ab2>a. 2．下列不等式中正確的是(　　) A．若a∈R，則a2＋9>6a B．若a，b∈R，則≥2 C．若a>0，b>0，則2lg≥lg a＋lg b D．若x∈R，則x2＋>1 解析：選C　∵a2－6a＋9＝(a－3)2≥0，∴A錯誤；顯然B不正確；∵a>0，b>0，∴≥.∴2lg≥2lg＝lg(ab)＝lg a＋

16、lg b，∴C正確；∵當x＝0時，x2＋＝1，∴D錯誤，故選C. 3．若角α，β滿足－<α<β<π，則α－β的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　∵－<α<π，－<β<π， ∴－π<－β<，∴－<α－β<. 又∵α<β，∴α－β<0，從而－<α－β<0. 4．若關于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由條件知x1，x2為方程x2－2ax－8a2＝0，(a>0)的兩根，則x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－

17、4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝. 5．不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為(　　) A．1 B. C. D. 解析：選D　作出不等式組對應的區(qū)域為△BCD，由題意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(2－1)×＝. 6．(2018·成都一診)已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，則＋的最小值是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：選D?。健荩?，當且僅當x＝y(tǒng)時取等號．∵log2x＋log2y＝log2(xy)＝2，∴xy＝4. ∴＋≥＝1.故＋的最小值為1. 7．設變量x，y滿足約束條件

18、則目標函數(shù)z＝y(tǒng)－2x的最小值為(　　) A．－7 B．－4 C．1 D．2 解析：選A　法一：將z＝y(tǒng)－2x化為y＝2x＋z，作出可行域和直線y＝2x(如圖所示)，當直線y＝2x＋z向右下方平移時，直線y＝2x＋z在y軸上的截距z減小，數(shù)形結合知當直線y＝2x＋z經(jīng)過點A(5，3)時，z取得最小值3－10＝－7. 法二：易知平面區(qū)域的三個頂點坐標分別為B(1,3)，C(2,0)，A(5,3)，分別代入z＝y(tǒng)－2x，得z的值為1，－4，－7，故z的最小值為－7. 8．(2017·山東高考改編)若直線＋＝1(a＞0，b＞0)過點(1,2)，則2a＋b的最小值為(　　) A．4

19、B．3＋2 C．8 D．4 解析：選C　∵直線＋＝1(a＞0，b＞0)過點(1,2)， ∴＋＝1，∵a＞0，b＞0， ∴2a＋b＝(2a＋b) ＝4＋＋≥4＋2＝8， 當且僅當＝，即a＝2，b＝4時等號成立， ∴2a＋b的最小值為8. 二、填空題 9．(2018·沈陽模擬)已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則x＋y的最大值為________． 解析：因為x2＋y2－xy＝1， 所以x2＋y2＝1＋xy. 所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×2，當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立， 即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2. 所以x＋y的最大值為2. 答案：2 1

20、0．(2017·鄭州二模)某校今年計劃招聘女教師a名，男教師b名，若a，b滿足不等式組設這所學校今年計劃招聘教師最多x名，則x＝________. 解析：畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，作直線l：b＋a＝0，平移直線l，再由a，b∈N，可知當a＝6，b＝7時，招聘的教師最多，此時x＝a＋b＝13. 答案：13 11．一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 m，則這個矩形的長為________ m，寬為________ m時菜園面積最大． 解析：設矩形的長為x m，寬為y m．則x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，當且僅當x＝2y，即x＝1

21、5，y＝時取等號． 答案：15　 12．(2018·邯鄲質檢)若不等式組表示的平面區(qū)域為一個銳角三角形及其內部，則實數(shù)k的取值范圍是________． 解析：直線y＝kx＋3恒過定點(0,3)，作出不等式組表示的可行域知，要使可行域為一個銳角三角形及其內部，需要直線y＝kx＋3的斜率在0與1之間，即k∈(0,1)． 答案：(0,1) 三、解答題 13．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6. (1)解關于a的不等式f(1)>0； (2)若不等式f(x)>b的解集為(－1,3)，求實數(shù)a，b的值． 解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6， ∴f(1)＝－3

22、＋a(6－a)＋6 ＝－a2＋6a＋3， ∴原不等式可化為a2－6a－3<0， 解得3－2b的解集為(－1,3)等價于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的兩根為－1,3， 故解得 14．(2018·濟南一模)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值； (2)求＋的最小值． 解：(1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得2x＋5y≥2. ∵2x＋5y＝20，∴2≤20，即xy≤10，當且僅當2x＝5y時等號成立．因此有解得 此時xy有最大值10

23、. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴當x＝5，y＝2時，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝， 當且僅當＝時等號成立． ∴＋的最小值為. 高考研究課(一)不等式性質、一元二次不等式 [全國卷5年命題分析] 考點 考查頻度 考查角度 不等式性質 5年2考 比較大小 一元二次不等式解法 5年8考 與集合交匯命題考查解法 不等式恒成立問題 5年1考 利用不等式恒成立求參數(shù) 不等式的性質及應用 [典例]　若<<0，給出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>l

24、n b2.其中正確的不等式是(　　) A．①④　　　　　　　　 B．②③ C．①③ D．②④ [解析]　法一：用“特值法”解題 因為<<0，故可取a＝－1，b＝－2.顯然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②錯誤；因為ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④錯誤，綜上所述，可排除A、B、D，選C. 法二：用“直接法”解題 由<<0，可知b0，所以<，故①正確； ②中，因為b－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②錯誤； ③中，因為b－>0，所以

25、a－>b－，故③正確； ④中，因為ba2>0，而y＝ln x在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以ln b2>ln a2，故④錯誤．由以上分析，知①③正確． [答案]　C [方法技巧] 不等式性質應用問題的3大常見類型及解題策略 (1)利用不等式性質比較大小 熟記不等式性質的條件和結論是基礎，靈活運用是關鍵，要注意不等式性質成立的前提條件． (2)與充要條件相結合問題 用不等式的性質分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應用． (3)與命題真假判斷相結合問題 解決此類問題除根據(jù)不等式的性質求解外，還經(jīng)常采用特

26、殊值驗證的方法．　　 [即時演練] 1．(2018·泰安調研)設a，b∈R，若p：a

27、；因為a＜b＜0，所以a＋b＜a＜b＜0，所以③＞＞正確，故選D. 3．已知a＋b>0，則＋與＋的大小關系是________． 解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝. ∵a＋b>0，(a－b)2≥0， ∴≥0. ∴＋≥＋. 答案：＋≥＋ 一元二次不等式的解法 [典例]　解下列不等式： (1)－3x2－2x＋8≥0； (2)0＜x2－x－2≤4； (3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． [解]　(1)原不等式可化為3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0. 解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集為. (2)原不等式等價于 ? ?? 借助于數(shù)軸

28、，如圖所示， 故原不等式的解集為. (3)原不等式變?yōu)?ax－1)(x－1)＜0， 因為a＞0，所以a(x－1)＜0. 所以當a＞1時，解為＜x＜1； 當a＝1時，解集為?； 當0＜a＜1時，解為1＜x＜. 綜上，當0＜a＜1時，不等式的解集為； 當a＝1時，不等式的解集為?； 當a＞1時，不等式的解集為. [方法技巧] 解一元二次不等式的4個步驟 [即時演練] 1．若(x－1)(x－2)＜2，則(x＋1)(x－3)的取值范圍是(　　) A．(0,3) B．[－4，－3) C．[－4,0) D．(－3,4] 解析：選C　解不等式(x－1)(x－2)＜

29、2，可得0＜x＜3，(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3，由二次函數(shù)的性質可得(x＋1)(x－3)的取值范圍是[－4,0)． 2．(2018·昆明、玉溪統(tǒng)考)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－12ax的解集為(　　) A．{x|－21} C．{x|03} 解析：選C　由題意a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax，整理得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0?、?，又不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－1

30、方程ax2＋bx＋c＝0的兩根， 由根與系數(shù)的關系得即②， 將①兩邊同除以a得x2＋x＋<0， 將②代入得x2－3x<0，解得0

31、參數(shù)m∈[a，b])確定x的范圍. 角度一：形如f(x)≥0(≤0)(x∈R)確定參數(shù)的范圍 1．(2018·南昌一模)已知函數(shù)f(x)＝mx2－2x－m＋1，是否存在實數(shù)m對所有的實數(shù)x，f(x)<0恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由． 解：f(x)＝mx2－2x－m＋1＜0恒成立， 即函數(shù)f(x)＝mx2－2x－m＋1的圖象全部在x軸下方． 當m＝0時，1－2x＜0，則x＞，不滿足題意； 當m≠0時，函數(shù)f(x)＝mx2－2x－m＋1為二次函數(shù)， 需滿足開口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0無解， 即 不等式組的解集為空集，即m無解． 綜上可知不存在

32、這樣的m. [方法技巧] 對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．　　 角度二：形如f(x)≥0(≤0)(x∈[a，b])確定參數(shù)的范圍 2．(2018·西安八校聯(lián)考)設函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若對于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范圍． 解：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立， 則mx2－mx＋m－6＜0，即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立． 有以下兩種方法： 法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．

33、 當m＞0時，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)， 所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0. 所以m＜，則0＜m＜. 當m＜0時，g(x)在[1,3]上是減函數(shù)， 所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0. 所以m＜6，則m＜0. 綜上所述，m的取值范圍是(－∞，0)∪. 法二：因為x2－x＋1＝2＋＞0， 又因為m(x2－x＋1)－6＜0， 所以m＜. 因為函數(shù)y＝＝在[1,3]上的最小值為，所以只需m＜即可． 因為m≠0，所以m的取值范圍是(－∞，0)∪. [方法技巧] 解決一元二次不等式的恒成立問題常轉化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值．　　 角度三：形

34、如f(x)≥0(≤0)(參數(shù)m∈[a，b])確定x的范圍 3．對任意m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m≥0恒成立，求x的取值范圍． 解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m ＝(x－2)m＋x2－4x＋4， 令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4. 由題意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零， ∴ 解得x<1或x>3. 故當x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)時，對任意的m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)的值恒大于零． [方法技巧] 解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．即把變元與

35、參數(shù)交換位置，構造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解．　　 1．(2014·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，則A∩B＝(　　) A．[－2，－1]　　　　　　　 B．[－1,2) C．[－1,1] D．[1,2) 解析：選A　A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]． 2．(2014·全國卷Ⅱ)設集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，則M∩N＝(　　) A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2} 解析：選D　N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{

36、0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}． 3．(2012·全國卷)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1b，c>d，則ac>bd B．若ac>bc，則a>b C．若<<0，則|a|＋b<0 D．若a>b，c>d，則a－c>b－d 解析：選C　取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A錯誤；當c

37、<0時，ac>bc?a－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故C正確；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D錯誤． 2．(2017·山東高考)若a>b>0，且ab＝1，則下列不等式成立的是(　　) A．a(chǎn)＋<1， 因此a＋>log2(a＋b)>. 3．已知集合M＝{x|x2－4x>0}，N＝{x|m

38、∩N＝{x|60}＝{x|x>4或x<0}，N＝{x|m0，∴x<－1或x>1. 5．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集為{x|－2

39、則函數(shù)y＝f(－x)的圖象為(　　) 解析：選B　由根與系數(shù)的關系得＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2，∴f(x)＝－x2－x＋2(經(jīng)檢驗知滿足題意)，∴f(－x)＝－x2＋x＋2，其圖象開口向下，對稱軸為x＝，結合圖象知選B. 6．(2018·合肥一模)若不等式2kx2＋kx－<0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為(　　) A．(－3,0) B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0] 解析：選D　當k＝0時，顯然成立；當k≠0時，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0對一切實數(shù)x都成立， 則解得－3

40、實數(shù)x都成立的k的取值范圍是(－3,0]． 7．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則a的取值范圍是(　　) A．[－4,1] B．[－4,3] C．[1,3] D．[－1,3] 解析：選B　原不等式為(x－a)(x－1)≤0，當a<1時，不等式的解集為[a,1]，此時只要a≥－4即可，即－4≤a<1；當a＝1時，不等式的解為x＝1，此時符合要求；當a>1時，不等式的解集為[1，a]，此時只要a≤3即可，即1

41、每件銷售價提高1元，銷售量就要減少10件．那么要保證每天所賺的利潤在320元以上，銷售價每件應定為(　　) A．12元 B．16元 C．12元到16元之間 D．10元到14元之間 解析：選C　設銷售價定為每件x元，利潤為y， 則y＝(x－8)[100－10(x－10)]， 依題意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320， 即x2－28x＋192＜0， 解得12＜x＜16， 所以每件銷售價應為12元到16元之間． 二、填空題 9．(2018·武漢一模)已知存在實數(shù)a滿足ab2>a>ab，則實數(shù)b的取值范圍是__________． 解析：∵ab2>a>ab，∴a

42、≠0， 當a>0時，b2>1>b， 即解得b<－1； 當a<0時，b2<10，即a2>16. ∴a>4或a<－4. 答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞) 11．已知函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則不等式f(x)<4的解集為________． 解析：當x>0時，－x<0，即f(－x)＝bx2＋3x，因為f(x)為

43、奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即－bx2－3x＝x2＋ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝當x≥0時，由x2－3x<4，解得0≤x<4；當x<0時，由－x2－3x<4，解得x<0，所以不等式f(x)<4的解集為(－∞，4)． 答案：(－∞，4) 12．對一切實數(shù)x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當x＝0時，不等式恒成立，當x≠0時，將問題轉化為－a≤＋|x|，由＋|x|≥2，故－a≤2，即a≥－2.所以實數(shù)a的取值范圍為[－2，＋∞)． 答案：[－2，＋∞) 三、解答題 13．已知a∈R，解關于x的方程ax2－(a＋

44、2)x＋2＜0. 解：原不等式等價于(ax－2)(x－1)＜0. (1)當a＝0時，原不等式為－(x－1)＜0，解得x＞1. 即原不等式的解集為(1，＋∞)． (2)若a＞0，則原不等式可化為(x－1)＜0， 對應方程的根為x＝1或x＝. 當＞1，即0＜a＜2時，不等式的解為1＜x＜； 當a＝2時，不等式的解集為?； 當＜1，即a＞2時，不等式的解為＜x＜1. (3)若a＜0，則原不等式可化為(x－1)＞0， 所以＜1，所以不等式的解為x＞1或x＜. 綜上，當a＝0時，不等式的解集為(1，＋∞)． 當0＜a＜2時，不等式的解集為. 當a＝2時，不等式的解集為?. 當

45、a＞2時，不等式的解集為. 當a＜0時，不等式的解集為∪(1，＋∞)． 14．某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10 000輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產(chǎn)品質量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0

46、)－10(1＋x)]×10 000(1＋0.6x)(0

47、 ∴－3，－2是方程mx2－2kx＋6km＝0的根， ∴解得，故有5mx2＋kx＋3＞0?2x2－x－3＜0?－1＜x＜， ∴不等式5mx2＋kx＋3＞0的解集為. (2)f(x)＞1?＞1?x2－2kx＋6k＜0?(2x－6)k＞x2. 存在x＞3，使得f(x)＞1成立，即存在x＞3，使得k＞成立． 令g(x)＝，x∈(3，＋∞)，則k＞g(x)min. 令2x－6＝t，則x＝，則t∈(0，＋∞)，y＝＝＋＋3≥2 ＋3＝6， 當且僅當＝，即t＝6時等號成立． 當t＝6時，x＝6，∴g(x)min＝g(6)＝6， 故k的取值范圍為(6，＋∞)． 1．已知函數(shù)f(x)

48、＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為(－∞，0]，若關于x的不等式f(x)＞c－1的解集為(m－4，m＋1)，則實數(shù)c的值為________． 解析：∵函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為(－∞，0]， ∴Δ＝a2＋4b＝0， ∴b＝－. ∵關于x的不等式f(x)＞c－1的解集為(m－4，m＋1)， ∴方程f(x)＝c－1的兩根分別為m－4，m＋1， 即－x2＋ax－＝c－1的兩根分別為m－4，m＋1， ∵－x2＋ax－＝c－1的根為x＝±， ∴兩根之差為：2＝(m＋1)－(m－4)， 解得c＝－. 答案：－ 2．已知實數(shù)x，y，z滿足則xyz的最小值

49、為________． 解析：由xy＋2z＝1，可得z＝， 則5＝x2＋y2＋2≥2|xy|＋. 當xy≥0時，不等式可化為x2y2＋6xy－19≤0； 當xy<0時，不等式可化為x2y2－10xy－19≤0. 由x2y2＋6xy－19≤0，解得0≤xy≤－3＋2. 由x2y2－10xy－19≤0，解得5－2≤xy<0， 所以5－2≤xy≤－3＋2. 則xyz＝xy·＝－2＋， 根據(jù)二次函數(shù)的單調性可得當xy＝5－2時，xyz取得最小值為9－32. 答案：9－32 高考研究課(二) 簡單的線性規(guī)劃問題 [全國卷5年命題分析] 考點 考查頻度 考查角度 線性規(guī)劃求

50、最值 5年10考 求最大值、最小值 線性規(guī)劃實際應用 5年1考 實際應用(整點) 二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域 [典例]　(1)不等式組所圍成的平面區(qū)域的面積為(　　) A．3　　　　　　　　 B．6 C．6 D．3 (2)已知不等式組表示的平面區(qū)域被直線2x＋y－k＝0平分成面積相等的兩部分，則實數(shù)k的值為________． [解析]　(1)如圖，不等式組所圍成的平面區(qū)域為△ABC，其中A(2,0)，B(4,4)，C(1,1)，所求平面區(qū)域的面積為S△ABO－S△ACO＝(2×4－2×1)＝3. (2)畫出可行域如圖中陰影部分所示，其面積為×1×(1＋1

51、)＝1，可知直線2x＋y－k＝0與 區(qū)域邊界的交點A，B的坐標分別為及，要使直線2x＋y－k＝0把區(qū)域分成面積相等的兩部分，必有××＝，解得k＝－2. [答案]　(1)D　(2)－2 [方法技巧] 確定二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法與技巧 直線定界 即若不等式不含等號，則應把直線畫成虛線；若不等式含有等號，把直線畫成實線 特殊點定域 即在直線Ax＋By＋C＝0的某一側取一個特殊點(x0，y0)作為測試點代入不等式檢驗，若滿足不等式，則表示的就是包括該點的這一側，否則就表示直線的另一側．常選(0,0)，(1,0)或(0,1)點 [即時演練] 1．在平面直角坐標系中，不等

52、式組所表示的平面區(qū)域的面積為(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：選A　作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，A(1,1)，B(0,2)，則平面區(qū)域的面積為＝×2×1＝1. 2．不等式組所表示的平面區(qū)域內的整點個數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：選C　由不等式2x＋y<6得y<6－2x，且x>0，y>0，則當x＝1時，0

53、示一個三角形區(qū)域，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1) B．(0，＋∞) C．(0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞) 解析：選A　直線y＝k(x－1)－1過定點A(1，－1)．當這條直線的斜率為負值時，如圖1所示，若不等式組表示一個三角形區(qū)域，則該直線的斜率k∈(－∞，－1)；當這條直線的斜率為正值時，如圖2所示，y≤k(x－1)－1所表示的區(qū)域是直線y＝k(x－1)－1及其右下方的半平面，這個區(qū)域和另外兩個半平面的交集是一個無界區(qū)域，不能構成三角形．因此k的取值范圍是(－∞，－1)． 目標函數(shù)最值的求法及應用 線性規(guī)劃問題是高

54、考的重點，而線性規(guī)劃問題具有代數(shù)和幾何的雙重形式，多與函數(shù)、平面向量、數(shù)列、三角、概率、解析幾何等問題交叉滲透，自然地融合在一起，使數(shù)學問題的解答變得更加新穎別致.,常見的命題角度有： (1)求線性目標函數(shù)的最值； (2)求非線性目標函數(shù)的最值； (3)求線性規(guī)劃中的參數(shù)值或范圍； (4)線性規(guī)劃的實際應用. 角度一：求線性目標函數(shù)的最值 1．(2017·全國卷Ⅱ)設x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是(　　) A．－15 B．－9 C．1 D．9 解析：選A　法一：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示．易求得可行域的頂點A(0，1)，B(－6，－3)，C(6

55、，－3)，當直線z＝2x＋y過點B(－6，－3)時，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15. 法二：易求可行域頂點A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分別代入目標函數(shù)，求出對應的z的值依次為1，－15,9，故最小值為－15. 角度二：非線性目標函數(shù)的最值 2．(2018·太原一模)已知實數(shù)x，y滿足約束條件則z＝x2＋y2的取值范圍為(　　) A．[1,13] B．[1,4] C. D. 解析：選C　畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值為點O到直線BC：2x－y＋2＝0的距離的平方，所以zmin＝2＝，最大值為點

56、O與點A(－2,3)的距離的平方，zmax＝|OA|2＝(－2)2＋32＝13. 3．如果實數(shù)x，y滿足則z＝的最大值為________． 解析：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， z＝＝2－. 設k＝，則z＝2－k， k的幾何意義是區(qū)域內的點到原點的斜率， 要求z＝2－k的最大值，即求k的最小值， 由圖象知OC的斜率最小， 由得即C， 則k＝＝，所以zmax＝2－＝. 答案： 角度三：求線性規(guī)劃中參數(shù)值或范圍 4．已知實數(shù)x，y滿足若目標函數(shù)z1＝3x＋y的最小值的7倍與z2＝x＋7y的最大值相等，則實數(shù)k的值為(　　) A．2 B．1 C．

57、－1 D．－2 解析：選A　 作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由圖知，當z1＝3x＋y過點A時取得最小值，由解得即A(1,2)，所以z1＝3x＋y的最小值為5，故z2＝x＋7y的最大值為35，由圖知z2＝x＋7y過點B時取得最大值．由解得代入kx－y－5k＝0，得k＝2. 5．(2018·漢中質檢)若x，y滿足約束條件且目標函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，則a的取值范圍是(　　) A．[－4,2] B．(－4,2) C．[－4,1] D．(－4,1) 解析： 選B　作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，直線z＝ax＋2y的斜率為

58、k＝－，從圖中可以看出，當－1＜－＜2，即－4＜a＜2時，目標函數(shù)僅在點(1,0)處取得最小值． 角度四：線性規(guī)劃的實際應用 6．(2016·天津高考)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料．生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示： 原料 肥料　 　 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸．在此基礎上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料．已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元．分別用x，y表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)．

59、 (1)用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域； (2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤． 解： (1)由已知，x，y滿足的數(shù)學關系式為 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖①中的陰影部分． (2)設利潤為z萬元，則目標函數(shù)為z＝2x＋3y. 考慮z＝2x＋3y，將它變形為y＝－x＋，它的圖象是斜率為－，隨z變化的一族平行直線，為直線在 y軸上的截距，當取最大值時，z的值最大．根據(jù)x，y滿足的約束條件，由圖②可知，當直線z＝2x＋3y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大． 解方程組得點M的坐標為(20,2

60、4)， 所以zmax＝2×20＋3×24＝112. 答：生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時利潤最大，且最大利潤為112萬元． [方法技巧] 1．求目標函數(shù)的最值3步驟 (1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的那一條直線； (2)平移——將l平行移動，以確定最優(yōu)解的對應點的位置； (3)求值——解方程組求出對應點坐標(即最優(yōu)解)，代入目標函數(shù)，即可求出最值． 2．常見的3類目標函數(shù) (1)截距型：形如z＝ax＋by. 求這類目標函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉化為直線的斜截式：y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值．

61、 (2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2. (3)斜率型：形如z＝. 3．解答線性規(guī)劃實際問題的3步驟 (1)根據(jù)題意設出變量，找出約束條件和目標函數(shù)； (2)準確作出可行域，求出最優(yōu)解； (3)將求解出來的結論反饋到實際問題當中，設計最佳方案． [提醒]　注意轉化的等價性及幾何意義．　　 1．(2014·全國卷Ⅰ)不等式組的解集記為D.有下面四個命題： p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2， p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1. 其中真命題是(　　) A．p2，p3 B．

62、p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3 解析：選C　畫出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知，當目標函數(shù)z＝x＋2y經(jīng)過可行域內的點A(2，－1)時，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命題，選C. 2．(2017·全國卷Ⅰ)設x，y滿足約束條件則z＝3x－2y的最小值為________． 解析： 畫出不等式組 所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由可行域知，當直線y＝x－過點A時，在y軸上的截距最大，此時z最小，由解得 ∴zmin＝－5. 答案：－5 3．(2017·全國卷Ⅲ)若x，y滿足約束條件則z＝3x－4y的最小值為________． 解析：作

63、出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l：3x－4y＝0，平移直線l，當直線z＝3x－4y經(jīng)過點A(1,1)時，z取得最小值，最小值為3－4＝－1. 答案：－1 4．(2016·全國卷Ⅲ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________． 解析： 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示． 平移直線x＋y＝0，當直線經(jīng)過A點時，z取得最大值， 由得A，zmax＝1＋＝. 答案： 5．(2015·全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件則的最大值為________． 解析：畫出可行域如圖陰影部分所示，∵表示過點(x，y)與原點(0,0)的直線的斜率，

64、 ∴點(x，y)在點A處時最大． 由得 ∴A(1,3)． ∴的最大值為3. 答案：3 6．(2016·全國卷Ⅰ)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900 元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元． 解析：設生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，由已知可得約束條件為 即 目標函

65、數(shù)為z＝2 100x＋900y， 由約束條件作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分． 作直線2 100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，當直線經(jīng)過點M時，z取得最大值，聯(lián)立解得M(60,100)． 則zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 一、選擇題 1．若O為坐標原點，實數(shù)x，y滿足條件在可行域內任取一點P(x，y)，則|OP|的最小值為(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，可知|OP|的最小值為點O到直線x＋y＝1的距離，所以|OP

66、|的最小值為. 2．(2017·山東高考)已知x，y滿足約束條件則z＝x＋2y的最大值是(　　) A．0　　　　B．2　　　　　C．5　　　　　D．6 解析：選C　作出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示，將直線y＝－＋進行平移，顯然當該直線過點A時z取得最大值，由解得即A(－3,4)，所以zmax＝－3＋8＝5. 3．已知x，y滿足則z＝8－x·y的最小值為(　　) A．1 B. C. D. 解析：選D　不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，而z＝8－x·y＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由圖知當x＝1，y＝2時，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此時2－3x－y最小，最小值為. 4．(2017·浙江高考)若x，y滿足約束條件則z＝x＋2y的取值范圍是(　　) A．[0,6] B．[0,4] C．[6，＋∞) D．[4，＋∞) 解析： 選D　作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由z＝x＋2y，得y＝－x＋， ∴是直線y＝－x＋在y軸上的截距，根據(jù)圖形知，當直線y＝－x＋過A點時，取得最小值．