《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 第2課時(shí) 用空間向量解決立體幾何中的垂直問題學(xué)案 新人教A版選修2-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 第2課時(shí) 用空間向量解決立體幾何中的垂直問題學(xué)案 新人教A版選修2-1（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2課時(shí)用空間向量解決立體幾何中的垂直問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用向量法判斷一些簡(jiǎn)單線線、線面、面面垂直關(guān)系.2.掌握用向量方法證明有關(guān)空間線面垂直關(guān)系的方法步驟知識(shí)點(diǎn)一向量法判斷線線垂直設(shè)直線l的方向向量為a(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b(b1，b2，b3)，則lmab0a1b1a2b2a3b30.知識(shí)點(diǎn)二向量法判斷線面垂直設(shè)直線l的方向向量a(a1，b1，c1)，平面的法向量(a2，b2，c2)，則laak(kR)知識(shí)點(diǎn)三向量法判斷面面垂直思考平面，的法向量分別為1(x1，y1，z1)，2(x2，y2，z2)，用向量坐標(biāo)法表示兩平面，垂直的關(guān)系式是什么？答案x1x2y1y2z1z20.

2、梳理若平面的法向量為(a1，b1，c1)，平面的法向量為v(a2，b2，c2)，則vv0a1a2b1b2c1c20.(1)平面的法向量是唯一的，即一個(gè)平面不可能存在兩個(gè)不同的法向量()(2)兩直線的方向向量垂直，則兩條直線垂直()(3)直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時(shí)，直線與平面垂直()(4)兩個(gè)平面的法向量平行，則這兩個(gè)平面平行；兩個(gè)平面的法向量垂直，則這兩個(gè)平面垂直()類型一線線垂直問題例1已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1，M是底面上BC邊的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)，且CNCC1.求證：AB1MN.考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)方向向量與線線垂直證明設(shè)A

3、B中點(diǎn)為O，作OO1AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由已知得A，B，C，N，B1，M為BC中點(diǎn)，M.，(1,0,1)，00.，AB1MN.反思與感悟證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)的坐標(biāo)求直線的方向向量證明向量垂直得到兩直線垂直跟蹤訓(xùn)練1如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，求證：ACBC1.考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)方向向量與線線垂直證明直三棱柱ABCA1B1C1底面三邊長(zhǎng)AC3，BC4，AB5，AC，BC，C1C兩兩垂直如圖，以C為坐標(biāo)原

4、點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.則C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，(3,0,0)，(0，4,4)，0.ACBC1.類型二證明線面垂直例2如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)求證：AB1平面A1BD.考點(diǎn)向量法求解直線與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線面垂直證明如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接AO.因?yàn)锳BC為正三角形，所以AOBC.因?yàn)樵谡庵鵄BCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，且平面ABC平面BCC1B1BC，AO平面ABC，所以AO平面BCC1B1.取B1

5、C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OO1，OA所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)所以(1,2，)，(1,2，)，(2,1,0)因?yàn)?(1)22()0.1(2)21()00.所以，即AB1BA1，AB1BD.又因?yàn)锽A1BDB，所以AB1平面A1BD.反思與感悟用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟方法一：(1)建立空間直角坐標(biāo)系(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示(3)找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量(4)分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0.方法二：(1)建立空

6、間直角坐標(biāo)系(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示(3)求出平面的法向量(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行跟蹤訓(xùn)練2如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)求證：直線PB1平面PAC.考點(diǎn)向量法求解直線與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線面垂直證明如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC，DA，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，(1,0，1)，(0,1，1)，(1,1,1)，(0，1，2)，(1,0，2)(1,1,1)(1,0，1)0，所以，即PB1PC.又(1,

7、1,1)(0,1，1)0，所以，即PB1PA.又PAPCP，所以PB1平面PAC.類型三證明面面垂直問題例3三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，BAC90，A1A平面ABC，A1A，ABAC2A1C12，D為BC的中點(diǎn)證明：平面A1AD平面BCC1B1.考點(diǎn)向量法求解平面與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決面面垂直證明方法一如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)D為BC的中點(diǎn)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,0)，(1,1,

8、0)，(0,0，)，(2,2,0)，1(2)12000，0(2)0200，BCAD，BCAA1.又A1AADA，BC平面A1AD.又BC平面BCC1B1，平面A1AD平面BCC1B1.方法二同方法一建系后，得(0,0，)，(1,1,0)，(2,2,0)，(0，1，)設(shè)平面A1AD的法向量為n1(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量為n2(x2，y2，z2)由得令y11，則x11，z10，n1(1，1,0)由得令y21，則x21，z2，n2.n1n21100，n1n2，平面A1AD平面BCC1B1.反思與感悟證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂

9、直去證明(2)向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直跟蹤訓(xùn)練3在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn)(1)求證：平面AED平面A1FD1；(2)在直線AE上求一點(diǎn)M，使得A1M平面AED.考點(diǎn)向量法求解平面與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決面面垂直(1)證明以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，(2,0,0)，(2,2,1)，(0,1，2)設(shè)平面AED的一個(gè)法向量為n1(x1

10、，y1，z1)由得令y11，得n1(0,1，2)同理，平面A1FD1的一個(gè)法向量為n2(0,2,1)n1n2(0,1，2)(0,2,1)0，n1n2，平面AED平面A1FD1.(2)解由于點(diǎn)M在直線AE上，因此可設(shè)(0,2,1)(0,2，)，則M(2,2，)，(0,2，2)要使A1M平面AED，只需n1，即，解得.故當(dāng)AMAE時(shí)，A1M平面AED.1下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為()若n1，n2分別是平面，的法向量，則n1n2；若n1，n2分別是平面，的法向量，則n1n20；若n是平面的法向量，a是直線l的方向向量，若l與平面平行，則na0；若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面不垂直A1B2C

11、3D4考點(diǎn)向量法求解平面與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決面面垂直答案C解析中平面，可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，可知正確2已知兩直線的方向向量為a，b，則下列選項(xiàng)中能使兩直線垂直的為()Aa(1,0,0)，b(3,0,0)Ba(0,1,0)，b(1,0,1)Ca(0,1，1)，b(0，1,1)Da(1,0,0)，b(1,0,0)考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線線垂直答案B解析因?yàn)閍(0,1,0)，b(1,0,1)，所以ab0110010，所以ab，故選B.3若直線l的方向向量為a(1,0,2)，平面的法向量為(2,0，4)，則()AlBlClDl與斜交考點(diǎn)向量法求

12、解直線與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線面垂直答案B解析a，l.4平面的一個(gè)法向量為m(1,2,0)，平面的一個(gè)法向量為n(2，1,0)，則平面與平面的位置關(guān)系是()A平行B相交但不垂直C垂直D不能確定考點(diǎn)向量法求解平面與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決面面垂直答案C解析(1,2,0)(2，1,0)0，兩法向量垂直，從而兩平面垂直5在三棱錐SABC中，SABSACACB90，AC2，BC，SB，則異面直線SC與BC是否垂直_(填“是”或“否”)考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線線垂直答案是解析如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AS所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則由AC

13、2，BC，SB，得B(0，0)，S(0,0，2)，C，.因?yàn)?，所以SCBC.空間垂直關(guān)系的解決策略幾何法向量法線線垂直(1)證明兩直線所成的角為90.(2)若直線與平面垂直，則此直線與平面內(nèi)所有直線垂直兩直線的方向向量互相垂直線面垂直對(duì)于直線l，m，n和平面(1)若lm，ln，m，n，m與n相交，則l.(2)若lm，m，則l(1)證明直線的方向向量分別與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量垂直(2)證明直線的方向向量與平面的法向量是平行向量面面垂直對(duì)于直線l，m和平面，(1)若l，l，則.(2)若l，m，lm，則.(3)若平面與相交所成的二面角為直角，則證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直一、選擇題1設(shè)直線

14、l1，l2的方向向量分別為a(2,2,1)，b(3，2，m)，若l1l2，則m等于()A2B2C6D10考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)方向向量與線線垂直答案D解析因?yàn)閍b，故ab0，即232(2)m0，解得m10.2若平面，的法向量分別為a(1,2,4)，b(x，1，2)，并且，則x的值為()A10B10C.D考點(diǎn)向量法求解平面與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決面面垂直答案B解析因?yàn)椋运鼈兊姆ㄏ蛄恳不ハ啻怪?，所以ab(1,2,4)(x，1，2)0，解得x10.3已知點(diǎn)A(0,1,0)，B(1,0，1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA平面ABC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(1,0，

15、2) B(1,0,2) C(1,0,2) D(2,0，1)考點(diǎn)向量法求解直線與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線面垂直答案C解析由題意知(1，1，1)，(2,0,1)，(x，1，z)，又PA平面ABC，所以有(1，1，1)(x，1，z)0，得x1z0.(2,0,1)(x，1，z)0，得2xz0，聯(lián)立得x1，z2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0,2)4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于()AACBBDCA1DDA1A考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)方向向量與線線垂直答案B解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D

16、xyz.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.則C(0,1,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C1(0,1，1)，A1(1,0,1)，E，(1,1,0)，(1，1,0)，(1,0，1)，(0,0，1)，(1)(1)010，CEBD.5已知平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2，1,2)，的一個(gè)法向量為n(3,1,2)，則下列點(diǎn)P中，在平面內(nèi)的是()A.(1，1,1) B.C.D.考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)法向量求解線面垂直答案B解析要判斷點(diǎn)P是否在平面內(nèi)，只需判斷向量與平面的法向量n是否垂直，即n是否為0，因此，要對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)對(duì)于選項(xiàng)A，(1,0,1)，則n(1,0,1)(3,1,2)5

17、0，故排除A；對(duì)于選項(xiàng)B，則n(3,1,2)0，故B正確；同理可排除C，D.故選B.6在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，則()AEF至多與A1D，AC中的一個(gè)垂直BEFA1D，EFACCEF與BD1相交DEF與BD1異面考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求直線的方向向量答案B解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1

18、,0)，(1，1,1)，0，0，從而EFBD1，EFA1D，EFAC，故選B.7兩平面，的法向量分別為(3，1，z)，v(2，y，1)，若，則yz的值是()A3B6C6D12考點(diǎn)向量法求解平面與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法求解面面垂直答案B解析，v0，即6yz0，即yz6.二、填空題8.如圖所示，在三棱錐ABCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DBDC，E為BC的中點(diǎn)，則_.考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)方向向量與線線垂直答案0解析因?yàn)锽EEC，故()，在三棱錐ABCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DBDC，故()(22)0.9已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果(2，1，

19、4)，(4,2,0)，(1,2，1)對(duì)于結(jié)論：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量其中正確的是_(填序號(hào))考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線線垂直答案解析(1,2，1)(2，1，4)122(1)(1)(4)0，APAB，即正確(1,2，1)(4,2,0)1422(1)00.APAD，即正確又ABADA，AP平面ABCD，即是平面ABCD的一個(gè)法向量，正確10在ABC中，A(1，2，1)，B(0，3,1)，C(2，2,1)若向量n與平面ABC垂直，且|n|，則n的坐標(biāo)為_考點(diǎn)向量法求解線面垂直問題題點(diǎn)向量法求解線面垂直答案(2,4,1)或(2，4，1)解析據(jù)題意，得(1，1

20、,2)，(1,0,2)設(shè)n(x，y，z)，n與平面ABC垂直，即可得|n|，解得y4或y4.當(dāng)y4時(shí)，x2，z1；當(dāng)y4時(shí)，x2，z1.三、解答題11.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中點(diǎn)證明：CD平面PAE.考點(diǎn)向量法求解直線與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線面垂直證明如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)PAh，則A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0，0，h)所以(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)

21、因?yàn)?800，0，所以CDAE，CDAP，而AP，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD平面PAE.12.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PAAB1，AD，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)求證：無論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PEAF.考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)方向向量與線線垂直證明以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則P(0,0,1)，B(0,1,0)，F(xiàn)，D，設(shè)BEx(0x)，則E(x,1,0)，(x,1，1)0，所以x0， 時(shí)都有PEAF，即無論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PEA

22、F.13.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)求證：(1)ACPB；(2)PB平面AEC.考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)方向向量與線線垂直證明(1)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)ACa，PAb.則有A(0,0,0)，B(0，b,0)，C(a,0,0)，P(0,0，b)，(a,0,0)，(0，b，b)從而0，ACPB.(2)由已知得D(a，b,0)，E，.設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為n，則n且n，可得n(0,1,1)n0，nPB.又PB平面AEC，PB平面

23、AEC.四、探究與拓展14.如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，當(dāng)BFPE時(shí)，AFFD的比值為()A12B11C31D21答案B解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，PAa，則B(1,0,0)，E，P(0,0，a)設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，y,0)，則(1，y,0)，.因?yàn)锽FPE，所以0，解得y，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為，所以F為AD的中點(diǎn)，所以AFFD11.15.如圖，已知ABCDA1B1C1D1是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，且AEFC11.(1)求證：E

24、，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面；(2)若點(diǎn)G在BC上，BG，點(diǎn)M在BB1上，GMBF，垂足為H，求證：ME平面BCC1B1.考點(diǎn)向量法求解直線與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線面垂直證明(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則(3,0,1)，(0,3,2)，(3,3,3)，故，共面又它們有公共點(diǎn)B，E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面(2)設(shè)M(0,0，z)，則，而(0,3,2)，由題設(shè)得3z20，得z1.M(0,0,1)，E(3,0,1)，(3,0,0)，又(0,0,3)，(0,3,0)0，0，從而MEBB1，MEBC.又BB1BCB，故ME平面BCC1B1.16